1、偏导数与全微分 第 1 页 共 8 页第十四章 偏导数与全微分1. 偏导数与全微分的概念1求下列函数的偏导数：(1) ； (2) ；22ln()uxy()cos(uxy(3) ； (4) .arctnxuy sin()xyue2设 ，考察函数在(0,0)点的偏导数.221sin, 0,(,)0, yxyfx3证明函数 在(0,0)点连续但偏导数不存在 .2 uxy4求下列函数的全微分：偏导数与全微分 第 2 页 共 8 页(1) ； (2) .22uxyz yzxue5求下列函数在给定点的全微分：(1) 在点(1,1,1) ； (2) 在点（0，1）.xuy (1)arcsinxuxyy6证明
2、函数 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。22, 0,(,) 0, .xyf7证明：函数 在点 处偏导数存在，但不可微.22,0(,)0,xyyf(, )偏导数与全微分 第 3 页 共 8 页8设 很小，利用全微分推出下列式 的近似公式：,xy(1)mnxy9求下列函数指定阶的偏导数：(1) ,求 ； (2) ,求 .33siniuxyx63uyln()uaxbymnu2. 求复合函数偏导数的链式法则1求下列函数指定的偏导数：（1） 设 求 .(,)xyz,uvyzuv,（2） 设 求 ),2(xyzfz2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续）(1) ， ； (2)
3、 , ；2(,)ufxy2ux ()xyufz2u偏导数与全微分 第 4 页 共 8 页(3) , ； (4) , .22()ufxyzu (,)xufy2u（5） ， .(,)xufy2,u2设 ，其中 是可微函数，验证 .2()yzfxf 21zzxy3验证下列各式：(1) ,则 ； (2) ,则 .2()uxy0uxy()yux2220uuxyxy3. 由方程（组）所确定的函数的求导法1求下列方程所确定的函数 的一阶偏导数：(,)zfxy偏导数与全微分 第 5 页 共 8 页(1) ； (2) .20xyxez22450xyzxyz2求由下列方程所确定的函数的全微分 ：dz(1) ； (
4、2) .(,)zfxy22(,)0fxyzz3设 ，其中 为由方程 所确定的隐函数，求 ， .22uxyz(,)fxy33xyzxux24 求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1） 求 ； (2) 求 .22 ,xyzax,dyzx23,uvxy,uvxy4. 空间曲线的切线与法平面1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程：偏导数与全微分 第 6 页 共 8 页(1) ,在点(1,-1,2)；22239,3xyzxy(2) ,在点 .2cos,3in,1cos3xtytzt22.证明曲线 与锥面 的母线相交成同一角度.cos,in,tttxaeyezae22xyz5. 曲面的切平面
5、与法线1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1) ，在点（1,1,2） ； (2) 在点(2,1,12) ；20xzye24zxy(3) 在点 .cos,in,xuvyzav0(,)Puv偏导数与全微分 第 7 页 共 8 页2.求曲面 的切平面，使它平行于平面 .2231xyz460xyz3.证明：曲面 的切平面与某一定直线平行，其中 为常数.(,)0Fxazyb,ab6. 方向导数和梯度1.设 ，求 在点 沿到点 的方向导数.23(,)fxyzzf0(1,)P(2,1)l2.求函数 在点 处沿到点 的方向 上的方向导数.uxyz(5,12)A(9,41)BAB3.求 ：(1) ， ， 与 轴正向的夹角为 ；()0,xyul2ln()xy0(,)(1,lx60偏导数与全微分 第 8 页 共 8 页(2) , , 与向量 同向.xyue0()(1l(1,)4.设函数 在 可微，单位向量 ， ， ，(,)fxy0,)1(,)2l21(,)l01(,)fxyl，确定 使得 .02,fll0(,)75fxyl7. 泰勒公式1.写出函数 在(1,-2)点的泰勒公式.22(,)635fxyxy2.求下列函数在 点邻域的四阶泰勒公式：(0,)(1) ； (2) .2sinfxyy(,)ln(1)xfyey
