1、1第十三章 机械波一、选择题（在下列各题中，均给出了 4个5 个答案，其中有的只有 1个正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1.在下列关于机械波的表述中，不正确的是A. 机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动；B. 在波的传播方向上，相位差为 2 的两质元之间的距离称为波长；C. 振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源；D. 波的振幅、频率、相位与波源相同;E. 波线上离波源越远的质元，相位越落后。 （ ）解：选（D） 。简谐波的频率与波源的频率相同。对于平面简谐波，我们假设了介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅
2、将保持不变，且与波源的振幅相同，但对于简谐球面波，其振幅与离开波源的距离成反比。波的相位与位置有关，且总是落后于波源的相位。2.已知一平面简谐波的波函数为 y=Acos（at-bx ）(a、b 为正值)，则：A. 波的频率为 a；B. 波的传播速度为 ；bC. 波长为 D. 周期为 （ ）2a解：选（D） 。沿 Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：。cos2()txyAT将题中给出的波函数化为 ，与标准形式比较得：周期 ，(tab2Ta波长 ，波速 ，频率 。2=b=auTb1=2T3.在下列关于波的能量的表述中，正确的是A. 波的能量 ；2kAEPK2B. 机械波在介质中传播
3、时，任一质元的 和 均随时间 t 变化，但相位相差 ；KEP 2C. 由于 和 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立；KEPD. 和 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。 （ ）解：选（D） 。在有波传播的介质中，任一体积元中的动能和势能随时间变化的规律完全相同，也就是说，当该体积元内的动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。但这并不表明能量守恒定律本身不成立，因能量守恒定律只适用于封闭（孤立）系统，而该体积元是开放系统，它不断从后面的介质中获得能量，又不断地把能量传给前面的介质。这与单个质点的简谐振动不同，当单个质点做简谐振动时，其动能最大时势能为零，势能最大
4、时动能为零，两者之和为 ，机械能守恒。21kAEPK4.传播速度为 100m/s，频率为 50Hz的平面简谐波，在波线上相距为 0.5m的两点之间的相位差为：A. ； B. ； C. ； D. 。 （ ）3624解：选（C） 。波长 ，相m501u位差 。x2.5.一列平面余弦波 t 时刻的波形如图 13-1所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：A. ； B. ； eca, fdb, C. ； D. 。 （ ）c解：选（B） 。由图可知，该时刻 b、d、f 三个质元位移为零，说明此时它们正通过平衡位置，因此动能最大，根据波动过程中能量传播的规律，它们的势能也最大。6.一频率为 500H
5、z的平面简谐波，波速为 360m/s，则同一波线上相位差为 的两点间3距离为：A. 0.24m； B.0.48m ； C.0.36m； D.0.12m 。 （ ）图 13-13解：选（D） 。波长 ，又因相位差 ，所以m72.0536u x22m。0.72.137.一平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播，其振幅 A=0.01m，频率 =550Hz，波速u=330m/s。若 t=0 时，坐标原点处的质点达到负的最大位移，则此波的波函数为：A.y=0.01cos 2（550t+1.67x）+ ；B.y=0.01cos 2（550t-1.67x）+ ；C.y=0.01cos 2（550t+1.67x）-
6、/2 ；D.y=0.01cos 2（550t-1.67x）+3/2 。 （ ）解：选（A） 。沿 Ox 轴负方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：，其中 ， ，由旋转矢量法易cos2(+)txyT1=s50T30m5u知， ，故选 A。=8.在下列关于波的干涉的表述中，正确的是：A. 两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；B. 两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强” ，就是“减弱” （即极大或极小） ；C. 干涉加强意味着合振幅 A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅 A 有极小值；D. 干涉加强点意味着该质元的 y 不随时间变化，始终处于极大值位置；E. 两列相干波形成干涉，某时刻
7、介质中 P 点处的质元距平衡位置为 y，且，表明 P 点一定既不是加强点，也不是减弱点。 （ ）minaxAy解：选（C） 。波的干涉是指频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强、某些地方振动始终减弱的现象。干涉加强的点合振幅有极大值 ，干涉减弱的点合振幅有极小值 ，其它点的合振幅则在极大值和极小max minA值之间。9.一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由 1200Hz 变为1000 Hz，空气中的声速为 330m/s，则火车的速度为4A.30 m/s； B.55 m/s； C.60 m/s； D.90m/s。 （ ）解：选（
8、A） 。注意，题中给出的两个频率都是观察者接收到的频率 ，不是波源（火o车）的频率 。由多普勒效应的频率公式知，观察者接收到的频率s=oosu上式中，假若观察者接近波源， 前取正号，反之取负号（本题观察者的速度为 ） ；o 0o波源向着观察者运动时， 前取负号，远离时取正号，因此有s3012=s301=+s消去 ，得到 。s0m/ss10.人耳能辨别同时传来的不同声音，这是因为：A. 波的反射和折射； B. 波的干涉； C. 波的独立传播性； D. 波的强度不同。 （ ）解：选（C） 。二、填空题1.已知波源在坐标原点（x=0）的平面简谐波的波函数为 y=Acos（Bt-Cx） ，其中A、B
9、、C 为正值常数，则此波的振幅为 A ，波速为 ，周期为 ，波长为/BC2B。在任意时刻，在波传播方向上相距为 D 的两点的相位差为 。2 D解：参见本章选择题 2。此题不需要明确哪点相位超前或落后，故相位差。若将此题改成，求在波传播方向上坐标为 和 的两点的相位差，=xDC MxN则应写成 ，注意下标 、 的顺序不能颠倒。MNN()MNx2.波源位于 x=-1m 处，其振动方程为 y=0.05cos（2t+/3）m，此波源产生的波无吸收地分别向 X 轴正、负方向传播，波速 u=2m/s。则向 X 轴正向传播的波动方程为：y 1= 5，向 X 轴负向传播的波动方程为10.5cos23xty2=
10、 。.+t解：仅分析波沿 X 轴正方向传播时的情况（如图） 。所谓“求波动方程”其实就是求任意质点在任意时刻的位移，其理论依据是：（1）波的传播是状态的传播（这里的“状态”是指质点振动的位移、速度、加速度等） ；（2）状态的传播需要时间。为此，任取坐标为 x 的一点 P，显然， P 点在 t 时刻的位移，应该等于波源处（M 点）在时刻的位移，于是有1xum。110.5cos23xyt3.一沿 x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为 u=10m/s，频率为 =5Hz，振幅A=0.02m。在 t=0 时，位于坐标原点处的质元的位移为 y0=0.01m，速度 ，则此列波d0yt的波动方程为：y = ；
11、位于 x1=4m 和 x2=4.1m 处两质元的相位0.2cos1-03xt差： = 。 解：把坐标原点作为参考点， 设参考点的振动方程为 ，.1 cos()yAt其中 A=0.02m， rad/s，如图，由旋转矢量法求得初相 ，因此21 =-3。在 x轴正向任取一点 P,P点在 t时刻的位移等于参考点在0.cos(-)3yt时刻的位移，因此，波动方程为 。-xtu 0.2cos1-m03xyt波长 ，位于 x1=4m 和 x2=4.1m 处两质元的相10=25位差： 。.=x4.频率为 500Hz 的波，其传播速度为 350m/s，相位差为 的两点间距为 m。23730M O P u X Y
12、 -1 x y 0.01 0.02 O 36解： ,由 可求出 m。3507=m1u2x7305.一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 损失 ，这个现象称为 半波损失 。解：(略)6.已知驻波方程为 y=0.04cos20xcos800t（SI ） ，则形成该驻波的两列行波的振幅 A= 0.02 m，波速 u= 40 m/s，相邻两波节的距离为 x= m。20解：驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿着相反方向传播时叠加形成的。若设这两列相干波的振幅均为 A、频率均为 、波长均为 、且坐标原点处的初位相都为零，则驻波方程可以写成 2c
13、osyxt与题目中给出的驻波方程比较，可以求得 ， ， 。从而，0.mA=104Hz波速 。由于相邻两波节之间的距离为半个波长，所以 。40m/su m20x7.设入射波的表达式为 y1=Acos2（t+x/ ） ，波在 x=0 处发生反射，若反射点为固定端，则反射波的表达式为 y2= ；若反射点为自由端，则反射波的表cos-+Atu达式为 y3= 。cos-xAtu解：入射波在 x=0 处引起振动的方程为 。若反射点为固定端，则应计cos2yAt入半波损失，于是反射波在 x=0 处引起振动的方程为 ，因此，反射波+t（ ）的表达式（亦称反射波的波动方程）为 （参见本章填空题第 22cos-x
14、ytu题解答） 。若反射点为自由端，则不存在半波损失，此时反射波的表达式为。3cos2-xyAtu78.一列平面简谐波在介质中传播，波速 u=1.0103m/s，振幅为 A=1.010-4m，频率为=1.0103Hz，介质密度为 =8.0102kg/m3，则该波的能流密度为I= ；在 60s 内垂直通过面积为 S=4.0104m2的总能量为 W=2421.60J/msJ。8解：波的能流密度 221()IAuAu3-4238.01.01.0（ .）242=1.6J/ms总能量 WISt44.6210=3.8J9.一个功率为 W 的波源位于 O 点，以 O 为球心作两个同心球面，它们的半径分别为r
15、1和 r2，则通过这两个球面的能流密度之比为 I1：I 2= 。若在两球面上分别取面积1:rS 1和 S 2，则通过它们的平均能流分别为 = 和 = 。1P124WS224Sr解：设介质不吸收能量，则在 时间内，通过半径为 和 的两同心球面的能量必相t12等，即 ，得 。2214IrtIrt211:Ir:若在两球面上分别取面积 S 1和 S 2，则通过它们的平均能流分别为：, 114WPIr2224WPISr10.如图 13-2 所示，可以是某时刻的波形图，图中波长为 ，就驻波而言， a、 b 两点间的相位差为 ；就行波而言，a、b 两点间的相位差为 。32解：如果图 13-2 表示驻波的波形图，那么当 a点到达正向位移最大处时，b 点恰在负方向位移最大图 13-28处；反过来，a 点到达负向位移最大处时，则 b 点正好在正向位移最大处，也就是说，它们始终“唱反调” ，换句话说，a、b 两点的振动状态反相，其相位差为 。若该图表示行波的波形图，则 a、b 两点间的相位差为 。23=42x
