1、博大教育个性化教案1第一章 集合与命题考点综述集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等） ；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件考点 1 集合的概念及相应关系典型考法 1 与含参数的方程有关的集合问题 已知集合 2|30AxaxaR， ，(1)若 A 是空集，试求 a 的取值范围；(2)若 A
2、中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来；(3)若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围必杀技： 用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题一般地，对于集合 ，其中 ， ， 均为实数，2|0xabcxR， abc当 a0 时， 是一元二次方程 的根的集合须注意：若求非空|， 20x集合 中的元素之和，则应分 与 这两种情形，具体为2|0xbcxR， 0(1)若 ，则 有两个不等的实根，于是，非空集合2中的元素之和为 ；2| xacx， ba(2)若 ，则 有两个相等的实根，于是，非空集合020b中的元素之和为 2| xcxR， 2博大教育个性化教案2实战演练1 已知 为单元素集，
3、则实数 的取值的集合为 2|1xaAR， a2 设 A=xx 2+(b+2)x+b+1=0，bR ，求 A 中所有元素的和3 对于函数 f(x)，设 ， |()Afx|()Bxfx(1) 求证： ；B(2) 若 ，且 ，求 a 的取值范围21,aRA典型考法 2 集合对某种运算的封闭性 典型例题设 2| MaxyZ， ，(1)属于 的两个整数，其积是否仍属于 ，为什么？M(2) 、 、 是否属于 ，请说明理由8910必杀技 深刻理解集合中的元素所具有的性质1 要证明 ，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式0xM2 要证明 ，通常用反证法实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意
4、 均为 中的元素，而 不413nZn， ， ， M4n是 中的元素博大教育个性化教案3实战演练1 设非空集合 满足：当 时，有 给出如下三个命题：若 ，则|SxmlxS2xS1m；若 ，则 ；若 ，则 其中正确命题的个数S1214l2l0m是（ ）.A0 B1 C2 D32 已知 2| SxmnZ， ，(1)如果 ，那么 是否为 的元素，请说明理由；st、 stS(2)当 且 时，证明： 可表为两个有理数的平方和、 0t3 已知集合 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的12(2)kAa， ， ， (12)iakZ， ， ， A集合： ，()SbbA， ， ，其中 是有序数对，集合 和 中的元素
5、个数分别为T， ， ， ()b， ST和 若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 mnaaP（I）检验集合 与 是否具有性质 并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和0123， ， ， ， ， S；（II）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；PA(1)2kn（III）判断 和 的大小关系，并证明你的结论 mn博大教育个性化教案4考点 2 子集、集合中的图形典型考法 1 子集典型例题设 为集合 的子集，且 ，若AM12(2)nAaN， ， ， ，则称 为集合 的 元“好集”1212nnaM(1)写出实数集 的一个二元“好集”；R(2)求出正整数集 的所有三元“好集”；N(3)证明：不存在
6、正整数集 的 元“好集”(4)n必杀技 充分利用所给条件1深刻理解概念并其中所给出条件；2 ABAB在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏 是 的一种情况实际上，在本例中也不存在正整AB数集 的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程 N实战演练1 若规定 = 的子集 为 的第 个子集，其中E1210,a 12,niia Ek，则312niiiik博大教育个性化教案5(1) 是 E 的第 个子集； 13,a(2) 的第 211 个子集是 2 已知集合 ， ，当 时，则实数 的22|60AxaxR， |2|BxaxR， BAa取值范围是 3 设全集为 ，集合 满足 则 与 的关UBX， ， AXAX
7、， ， 系为 典型考法 2 集合中的图形典型例题设 ， ，()| AxynabnZ， ， ， 2()|3(5)BxymZ， ， ，问是否存在实数 ，使得同时满足 ，且 2|14C， ab， AB()abC， 必杀技： 充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系 本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比另法一：假设存在实数 a ，b 使得同时满足与 且 ，由满足 得，存在整AB()abC， AB数 m 与 n 使得(n,na+b)=(m,3m 2+15)，即 n = m 且 na+b=3m2+15，消去 m 得 na+b-(3n2+15
8、)=0，即 3n2- an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即 a2+12b-1800，由此得，12b-180 ；又 得，a 2+ b2144，2()，故 ，即 12b-180 ，所以( b-6)20，从而 b=6，现将 b=6 代入12802a1414中得 a2108，再代入 a2+ b2144 中得，a 210 因此，只有 a2=108，即 a= ，最后将 a= 63及 b=6 代入方程 3n2-an-(b-15)=0 得，3n 2 n+9=0，即 n2 n+3=0，所以有 综上63 63nZ所述，不存在实数 a ，b 使得同时满足 ， AB()C，另法二：假设存在实数 a ，b 使得
9、同时满足与 且 ，由 得，存在整数 m()ab， AB博大教育个性化教案6与 n 使得(n,na+b)=(m,3m 2+15)，即 n = m 且 na+b=3m2+15，即 () ，又 得，2315bna)abC，a2+ b2144，将()代入 a2+ b2144，得，将其看着关于 的一2315)4222(1)(315)()40ana元二次不等式，又，222(35)4()n236()n， ，注意到 ，故，不等式nZ010222()(315)()140anan无实数解，即这样的实数 不存在，综上所述，不存在实数 a ，b 使得同时满足 ， a AB()abC，实战演练1 设集合 ，集合 ，且
10、与 是方程 的|21Axx或 12|Bx1x220xab两个实根， ，则 | |3BA， ab2 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3 设集合 ，集合 ，集合2()|10xy， 2()|450Bxyxy，是否存在
11、， ，使得 ？若存在，则求出 ， 的值；若()|Cxykb， kbNACkb不存在，请说明理由典型考法 一元二次不等式典型例题博大教育个性化教案7设 为实常数，函数 a2()|yxax(1)当 时， ，试求实数 的取值范围；0x1(2)当 时，求 在 上的最小值；当 时，试写出 的最小值)， Ry(3)当 时，直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 的解集()a， 1必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论1解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想2
12、解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确3一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系求一般的一元二次不等式 或 的解集，要结合 的20axbc20axbc()a20axbc根及二次函数 图象确定解集一元二次方程 ，设 ，它2y 2x(0)4的解按照 ， ， 可分为三种情况相应地，二次函数 的图象与 轴0 2ybxcx的位置关系也分为三种情况因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式 的20a()a解集，如图 2-2-1 博大教育个性化教案8实战演练1 若关于 的不等式 有唯一实数解，则实数 x212kxk2 关于 x 的不等式组 的整数解的集合为 2，则实数 k 的取值范围是 20(5)，博大教育个性化教案93 要使满足关于 的不等式 （解集非空）的每一个 的值至少满足不等式x290xax和 中的一个，求实数 的取值范围240x2680
