1、利用数学实验 提高 竞赛 数学 的趣味性 1.问题的提出 竞赛数学 ，俗称奥数， 是我国数学教育的传统强项，无论是普及程度还是竞赛水平 都 位居世界前列 ，我国选在历届参赛的 国际数学奥林匹克竞赛（ IMO）中，都有优异的表现。 但是，近年来 受 功利主义的驱动， “奥数”出现了泛化的趋势 ， 连小学数学竞赛都被冠以“奥数”的头衔 ， 出现了“全民奥数”的不正常现象 ， 引起许多人对奥数的批判和反思 。 批评者认为：奥数 并不 教 给学生科学研究的方法 ， 而 只是一味追求 偏、难、怪的 解题技巧 ， 舍弃了数学最核心 ， 也是最有用 的 数学 思想方法 ； 还有人 对我国获得 IMO 奖牌
2、的选手进行 了 追踪调查 ， 发现 “这些公认的数学尖子基本上没有在数学研究上 做 出突出成就的 ， 甚至鲜有喜欢数学的” ， 由此认为奥数一无是处 ， 更有甚者宣称“奥数已成公害 ， 对学生危害堪比黄、赌、毒” 。 与我国相比 ， 国外的奥数 则 显得非常冷清。比如日本 ， 虽然奥数教育也很成功 ， 但日本只有 6%作用的中小学生有过奥数学习的经历 ， 或者正在学习奥数。美国 也类似 ， 中小学生对数学感兴趣的不多 ， 但 对数学感 兴趣的人 ， 则会非常投入 。 这些学生由于兴趣支撑 ， 发展后劲很大。 对于这一点 ， 我国 奥数教育家 熊斌老师 在谈对国内外 IMO 选手的 对比 时 也
3、 感慨的 说：“ 相 对国内的 IMO 选手 而言 ，国外选手 尽管也有相当强的竞争意识 ， 但在日常积累的过程中操练的成分更少一些。而且 ， 相对而言 ， 他们将数学抽象思维与生活场景结合的能力更强。 ” 其实奥数 的教育价值早已经被 世界各国教育界 肯定 ， 所谓 IMO 奖牌获得者后来的成就普遍不大 ， 在世界范围内根本 就 不成立。 之所以出现前面所述的种种弊端 ， 主要 是 因为 我们 大多 用一种急功近利的心态去 对待 奥数 ， 教 师都 大多 采用“超前学习知识 ， 枯燥题海训练” 的 应试教育模式 进行教学 ， 使学生对奥数 甚至数学产生了恐惧和厌烦 ， 即使 少数同学 能坚持
4、学下去 ， 也多 数 是为了获得升学加分或 保送的奖励。 这也正是国内的 IMO 获奖选手一旦升入大学就很少选择数学专业的主要原因。 丘成桐先生 一针见血的指出： “ 国外奥数考得好的学生 ， 往往能够成才 ， 而我们的学生不一定能成才 ， 因为国内是机械性的学数学 ， 不是出于兴趣。 ” 基于以上分析 ， 我们非常有必要探讨如何提高奥数学习的趣味性 ， 使其真正成为“较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代数学的普及教育” 。 同时 ， 为了与已被泛化的“奥数”一词相区别 ， 下文将在相应的地方使用“竞赛数学” ， 同时将其限定在中学 ， 尤其是高中范围 内 进行讨论
5、。 2 竞赛数学 的基本特点 数学竞赛的是 以 解题 为核心 的比赛 ， 因此竞赛数学的教学主要是围绕着解题而展开的。就内容而言 ， 它 在广度和深度上 都 对中学数学进行了大幅度加深 ，涉及代数、几何、初等数论、和组合等领域 ， 数学的抽象、严谨等特点在竞赛数学中表现的尤为突出。同时 ， 由于竞赛的需要 ， 竞赛数学的问题 往往具有深厚的高等数学背景 ， 并 呈现非模式化的特点 ， 灵活性很强 。 学习者 除了要有 扎实的数学基本功 ， 还要有更强 的抽象思维能力 和 数学直觉。 由于竞赛数学内容 表现出 很强的抽象性 ， 且大多远离实际生活背景（与大学基础数学专业的研究有很多相似之处） ，
6、 同时 ， 竞赛数学教学主要占用课余时间 ，教学时间紧、任务重 ， 因此多数教师都是采用讲授法进行教学 ， 几乎没有人使用数学实验、数学史等教学方法。笔者认为 ， 竞赛数学虽然有其特殊性 ， 但仍然 应当遵循数学教育的一般规律 。如前所述 ， 竞赛数学同高等数学具有许多的相似之处 ， 高 等院校 数学教学改革（如开展数学建模、数学实验等活动）表明 ， 我们应该 ， 也完全可以 改变以往那种 一味“ 题海战术 ”的教学方式。 3提高竞赛数学趣味性的基本 途径 3.1 数学史 融入竞赛数学教学 数学竞赛 ， 尤其是 IMO 的试题大多具有深厚的数学史背景 ， 甚至直接来自某些著名的定理或 历史名题
7、。 例如 第一届数学奥林匹克国家集训队 就提供了这样一道 训练题 ： 试题 1 设 ()fx为实多项式 ， 且对任何 aR ， ( ) 0fa （即 ()fx是正定的）求证：存在多项式 ( ), ( )g x hx ， 使 22( ) ( ) ( )f x g x h x 说明： 本题其实有着深厚的历史背景。在 1900 年 ， 德国 数学家希尔伯特（ Hilbert） 在巴黎国际数学家大会上提出 了 23 个数学问题 ， 即著名的 Hilbert 问题 ， 引导 着 整个 20 世纪世界数学研究的潮流 。 此题 就来源于 其中的第 17 个问题：关于 1, nxx的实系数正定有理函数是否一定
8、可表成有限个关于 1, nxx的实系数有理函数的平方和 . 在教学中 ， 将往届试题的这种背景展示给学生 ， 可以很好的激发学生的学习热情 ， 使他们以研究的角度看待竞赛数学学习 ， 而不是单纯的为了应试而学。 3.2 实际应用融 入竞赛数学教学 从表面上看 ， 竞赛数学研究 的对象大多远离实际应用 ， 以至于许多把数学竞赛看 作 是纯粹的智力挑战 。 其实 ， 与实际应用没有任何关联的数学是不存在的。即使以往被视为“最纯洁”的数论 ， 今天也已经广泛运用在了密码等多个领域。再者 ， 人毕竟不能“不食人间烟火” ， 还是希望能学到“有用”的数学 ， 因此 如果 将竞赛数学与实际应用联系起来 ，
9、 能够极大的激发学生的学习兴趣。 例如 ， 1978年北京市数学竞赛就以著名的 Butchart-Moster 定理 的 一个 推论 （定理 1）为基础 ，设计了一个 与实际应用密切相关 的竞赛题 ， 不过遗憾的是这类 竞赛 试题出现的 还较 少 。 定理 1 设 1 naa， 1, n Q ， 则函数 11( ) | | | |nnf x x a x a 存在唯一的极小值 . 试题 2：图 一 是一个化工厂的地图 ， 一条公路（粗线）通过这个地区 ， 七个工厂 1 2 7,A A A 分布在公路两侧 ， 由一些小路（细线）与公路相连。现在要在公路上设一个长途汽车站 ， 车站到个工厂（沿公路、
10、小路走）的距离总和越小越好 ， 问： （ 1） 这个车站设在什么地方最好 ？ （ 2） 证明你所做的结论； (3) 如果在 P 的地方又建立了一个工厂 ， 并且沿着图上的虚线修了一条小路 ，那么这时车站设在什么地方好？ 分析 : (1 7)iAi 与 P 到距离之和是定值 ， 记为 1 2 3 4 5 6 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S d A B d A C d A D d A D d A E d A F d A F 可将公路拉直 ， 则 B、 C、 D、 E、 F 的位置关系不变 ， 且它们的距离之和不变 ， 即这个拉直变换既保序又保距 ， 可以将该直线视为数轴
11、 .设长途汽车站设在 x 处 ， 则问题变为求 1 2 3 4 5( ) | | | | 2 | | | | 2 | |f x S x a x a x a x a x a ，其中 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 分别表示 B、 C、 D、 E、 F 到原点的距离（第三问与之类似） ，这样就转化成了定理 1 的形式 ， 可以求得 ()fx的最小值点。 2.3 数学实验 融入竞赛数学教学 奥数学习与其它的学习一样 ， 是 一个由直观到抽象 ， 由简单到复杂的过程 。 数学实验可以给学生提供丰富的 数学学习 体验 ， 成为其 学习抽象程度更高的数学知识的 必要基础。 相对常规数学
12、 ， 竞赛数学 复杂且 抽象 ， 要进行 数学实 验一般 要借助计算机 才能 完成。 一般来说 ， 我们可以将竞赛数学中的数学实验分为 两大类：基于算法思想的验证归纳模式和基于 图形变化的模拟演示模式 ， 下面进行简单介绍。 2.3.1 验证 归纳 模式 在数学问题解决中 ， 一般要 首先 从特殊情况入手进行归纳 ， 然后提出猜想 ，并检验猜想 ， 最后才是严格的推理与证明 ， 这在竞赛数学中表现的尤为突出 。 这主要是因为 ， 应试教育中 借助“题海战术”使学生在解题时“一帆风顺”的策略在数学竞赛中是不可能成功的 ， 竞赛数学的问题解决者更像一个研究者 ， 要完整的经历数学发现的各个阶段 。
13、 由于竞赛数学的问题一般涉及“ 无限”或大数字（如数论） ， 手工计算进行验证、归纳往往难度较大 ， 使用 计算机可以将学生从繁琐的机械计算中解放出来 ，将精力集中在算法的设计和 寻找 证明 的 等更富创造性的活动上。 本类型的数学的关键是设计相应的算法 ， 并使用高级程序设计语言实现之。 试题 3：确定是否存在满足下列条件的正整数 n ， 使得 n 恰好能被 2000 个互补相同的质数整除 ， 且 21n 能够被 n 整除 .(2000 年第 41 届 IMO) 2.3.2 模拟演示模式 平面几何 是 竞赛数学的一个基本模块 ， 此 外 许多 代数问题也需要借助数形结合思想从“形”的角度进行
14、研究。 本类型的数学实验主要是借助几何画板、 Matlab等专业 软件 ， 直观 演示相关量的运动变化过程 ， 揭示 其规律 ， 进而解决问题。 试题 4：给定凸四边形 ABCD， BC=AD， 且 BC 不平行于 AD.设点 E 和 F 分别在边 BC 和 AD 内部 ， 满足 BE=DF。直线 AC 和 BD 相交于 P， 直线 BD 和 EF 相交于 Q， 直线 EF 和 AC 相交于 R。求证：当 E、 F 变动 时 ， PQR 的外接圆除经过 P 外还过另一个定点 . 分析：在几何画中根据题设构建相应模型， 如图三所示，线段 a 为标记量，改变其长度，则 E、 F 也会相应的在 BC
15、 和 AD 上移动。在此过程中，观察 PQR 的外接圆，可以发现它除一定过 P 外，还总过 PDC 内一点，由此大胆猜想：该定 点为完全四边形 APBGDC 的 Moqueil 点 。在几何画 板中构造该点，并重复前述变化过程，可发现猜想成立，证明略 . 3结束语 笔者坚信，作为基础数学教育的一个分支，竞赛数学必须要遵循数学教学的一般规律 。 在目前数学改革的背景下， 竞赛数学教学 也 应当 与时俱进的 进行 教学方法 的 改革， 决不能再使用那种 “超前学习，题海训练”的 填鸭式教学方法 。同时，竞赛数学 的 教材 也应当进行 相应的 改革， 尽量 增加 教材的 趣味性 ，便于教和学 。当然，凡事过犹不及 。 首先， 竞赛数学的一个目标是培养学生更强的（相对非奥数学习者）抽象思维能力和空间想象能力， 过度强调增加数学史、数学实验等丰富学生直 观体验 的内容 并不利于这一目标的实现， 其次，竞赛数学的问题往往比较复杂、抽象，而教学时间又很紧（以课外学习为主），因此很难也没有必要处处考虑问题的趣味性。 总的来说，笔者认为，我们应当引导学生以研究者的 态度考察 问题的 数学史背景，从中 学习 解决的问题的思想方法；像现代数学家那样，注重数学实验， 以便提出猜想；增强数学应用意识，提高数学建模能力，提高综合数学修养，为未来的发展打下坚实的基础。
