1、试题答案及解析请参见本人上传的其他资料！1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_.1(3)与两直线 t及 2xyz都平行且过原点的平面方程为_.2z(4)设 L为取正向的圆周 29,则曲线积分 2()(4)LxydxdyA= _.(5)已知三维向量空间的基底为 123(0),1,0,1则向量 (,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1s
2、inxxtda成立.三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufxyvgxy求 ,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,=AB其中301,4求矩阵 .B四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) ()f的导数存在 ,且 ()0f(B) ()fx取得极大值(C) x取得极小值 (D) 的导数不存在(2)设 ()f为已知连续函数 0,
3、(),stIfxd其中 0,ts则 I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和 x(C)依赖于 、 x,不依赖于 s(D)依赖于 ,不依赖于(3)设常数 0k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 的行列式 |0,aA而 *是 的伴随矩阵，则 *|A等于(A)a (B) 1(C) 1n (D) n 六、 （本题满分 10 分）求幂级数 112nnxA的收敛域，并求其和函数 . 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 3()0 zfx绕 轴旋转一周而
4、成的曲面 ,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 .2 八、 （本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间 (0,1)内,且()fx1,证明在 (0,1)内有且仅有一个 ,x使得 ().fx九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 p现进行 n次独立试验,则 A至少发生一次的概率为_;而事件 至多发生一
5、次的概率为 _.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为 21()e,xf则 X的数学期望为_,X的方差为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 ,Y相互独立,其概率密度函数分别为 ()Xfx10 其, ()Yfy e0y,求 2ZX的概率密度函数.考研英语作文模板，超强！本人已考上研究
6、生，现有考研英语超强作文万能模板，本套模板含四篇，含盖了四大类不同形式，本套模板句型复杂多变，需填文字极少！而且不论考什么题目都能用！保证大作文 16（满分 20）不但能使您做文拿个高分，而且节约了大量时间做别的题目！此万能模板决对不同于辅导班的作文，本人也上过辅导班，而且当时同学也上了很多，基本大的辅导班都上了，相信你们已经上过英语辅导班的也都清楚了，那些老师就是能吹，时不时的说我跟命题的有什么什么关系，再就是讲些笑话说点轶闻什么的，根本就没什么收获，花几百块钱还不说，还浪费了我们大量宝贵时光！那些辅导班冲刺班提供的作文资料不是一大本很厚的书就是只有一些连接词的所谓的作文模板，你们也可问一下
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9、中横线上)(1)若 2)lim(1)txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 2 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 1x处收敛于 _.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中 234,均为 4 维列向量,且已知行列式,B则行列式 = _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (
10、B)与 同阶的无穷小(C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 4y的一个解且 00(),(),fxf则函数 ()fx在点 0处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域 22221:,0:,xyzRxyzRxyz则(A) 124dv (B) 124dv(C) 124zdvz(D) 124xyzdvxyzv (4)设幂级数 1()nnax在 1处收敛,则此级数在 处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数
11、 12,sk 使 120skk(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求22.uxy五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程 32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线 21yx在该点处的切线重合,求函数 ().x六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 M之间的距离),质点M沿直线 2yx自 (,0)B运动到 (,0)O
12、求在此运动过程中质点 对质点 的引力所作的功.七、 （本题满分 6 分）已知 ,AP其中110,20,P求 5.A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明: 在 (,)ab内存在唯一的 ,使曲线y与两直线 ()yfx所围平面图形面积 1S是曲线 yfx与两直线 ()yfxb所围平面图形面积 2S的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件
13、 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19,27则事件 A在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,1)内任取两个数 ,则事件” 两数之和小于 5”的概率为_.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 21()e,(.)0938,uxd则 落在区间 (9.5,10)内的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量 31YX的概率密度函数 ().Yfy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
14、(1)已知 (3)2f则 0()(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10),fxftd则 ()fx=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 2y则曲线积分 2)Lyds=_.(4)向量场 divu在点 (1,)P处的散度 ivu=_.(5)设矩阵3004,1AI则矩阵 1(2)AI=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近
15、线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面 210,xyz则点的坐标是(A) (1,) (B) (1,) (C) 2 (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B) 12123()cycy(C) 123()cy(D) (4)设函数 ),0,fx而 1()sin,Sxbx其中102(sin,2,3nbfd则 )2等于(A) 12 (B) 14 (C) 4 (D) 2 (5)设 A是 n阶矩阵,且 的行列式 0,A则 中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合
16、(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)()zfxygx其中函数 (ft二阶可导 ,()guv具有连续二阶偏导数,求2.zxy(2)设曲线积分 cdy与路径无关,其中 x具有连续的导数,且 (0),计算(1,)20()xydxy的值.(3)计算三重积分 ),zv其中 是由曲面 2zxy与 21zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)将函数 1arctnxfx展为 的幂级数.五、(本题满分 7 分)设 0)si(),xfxtfd其中 f为连续函数,求 ().fx六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exx在区
17、间 (0,)内有且仅有两个不同实根.七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 13x24136x有解,并求出解的一般形式.八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1) 1为 的特征值.(2) 为 的伴随矩阵 *的特征值.九、 （本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定球面 22(0)xyza上,问当 R为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件 A的概率 ()0.5P随机事件 B的概率 ()0.6P及条件概率 (|)0.8,PBA则和事件
18、B的概率 (=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量 在 (1,6)上服从均匀分布 ,则方程 210x有实根的概率是_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2的正态分布,而 Y服从标准正态分布.试求随机变量 23Z的概率密度函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 4y垂直的平面方程是_.1zt(2
19、)设 a为非零常数,则 lim()xxa=_.(3)设函数 ()f 10 ,则 (f=_.(4)积分 220eyxd的值等于_.(5)已知向量组 1234(,34),(,5),(,6),(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx是连续函数,且 e()(),xFftd则 ()Fx等于(A) e(fx (B) e()xff(C) )xf (D) x (2)已知函数 (具有任意阶导数,且 2(),fxf则当 n为大于 2 的正整数时 ,()fx的 n阶导
20、数()nfx是(A) 1!()nf (B) 1()nfx (C) 2x (D) 2! (3)设 a为常数,则级数 21sin()a(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与 a的取值有关 (4)已知 ()fx在 0的某个邻域内连续 ,且 0()(),lim2,1cosxff则在点 0x处 ()f(A)不可导 (B)可导,且 f(C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知 1、 2是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解 1,、 2是对应其次线性方程组AX0的基础解析 1,k、 2为任意常数,则方程组 的通解( 一般解)必是(A) 12()k(B) 121212)k (C) 12
21、1 (D) ( 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 120ln().xd(2)设 (,sin),zfy其中 (,)fuv具有连续的二阶偏导数,求2.zxy(3)求微分方程 24ex的通解( 一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数 0(21nnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdxy其中 S是球面 224xyz外侧在 0z的部分.六、 （本题满分 7 分）设不恒为常数的函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续,在开区间 (,)ab内可导,且 ().fab证明在(,)ab内至少存在一点 ,使得 0.七、 （本题满分 6 分）设四阶
22、矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式 1()AEB其中 E为四阶单位矩阵 1,C表示 的逆矩阵 ,C表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、 （本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.九、 （本题满分 8 分）质点 P沿着以 AB为直径的半圆周 ,从点 (,2)A运动到点 (,)B的过程中受变力 F作用(见图).的大小等于点 P与原点 O之间的距离,其方向垂直于线段 O且与 y轴正向的夹角小于 .2求变力 F对质点 P所作的功.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量 X的
23、概率密度函数 1(e,xf则 X的概率分布函数 ()Fx=_.(2)设随机事件 A、 B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 B表示 的对立事件,那么积事件AB的概率 ()P=_.(3)已知离散型随机变量 X服从参数为 2 的泊松 ()Poisn分布,即2e,01,!kX则随机变量 3ZX的数学期望 ()EZ=_.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)XY在区域 :01,Dxy内服从均匀分布,求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量 21Z的方差 (.Z1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.
24、把答案填在题中横线上) (1)设 21cosxty,则 dyx=_.(2)由方程 22zz所确定的函数 (,)zxy在点 (1,0)处的全微分dz=_.(3)已知两条直线的方程是 1 23:;:.01xyzl l则过 1l且平行于 2l的平面方程是_.(4)已知当 0x时 23,()ax与 cosx是等价无穷小,则常数 a=_.(5)设 4 阶方阵501,2A则 A的逆阵 1=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线21exy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直
25、渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数 ()fx满足关系式 20()()ln2,tfxfd则 ()fx等于(A) eln2x (B) ex (C) (D) 2l (3)已知级数 121(),5,nna则级数 1na等于(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设 D是平面 xoy上以 (1,)、 ,和 (1,)为顶点的三角形区域 1,D是 在第一象限的部分,则(csin)xyd等于(A) 12Dyx(B) 12Dxyd (C) 14(cosi) (D)0 (5)设 n阶方阵 A、 B、 C满足关系式 ,ABE其中 是 n阶单位阵,则必有(A) E(B) C (C) (D)
26、 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20lim(cos).x(2)设 n是曲面 2236yz在点 (1,)P处的指向外侧的法向量 ,求函数268xyuz在点P处沿方向 的方向导数.(3) 2(),xyzdv其中 是由曲线20yzx绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 4所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点 0,O和 (,A的曲线族 sin(0)yax中,求一条曲线 ,L使沿该曲线 O从到 A的积分3(1)2)Lydxy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数 2(1)fxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 21n的和.六、 （本题满分 7 分）设函
27、数 ()fx在 0,1上连续 ,()内可导,且 123()(0),fxdf证明在 (,1)内存在一点 ,c使().fc七、 （本题满分 8 分）已知 1234(,03),(1,5)(1,2,)(1,8)aa及 (1,3,5).b(1)a、 b为何值时 不能表示成 24的线性组合?(2) 、 为何值时 ,有 1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、 （本题满分 6 分）设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵 ,证明 AE的行列式大于 1.九、 （本题满分 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 (,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数( Q是法线与 x轴的
28、交点 ),且曲线在点 1,)处的切线与 轴平行.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量 X服从均值为 2、方差为 2的正态分布,且 240.3,PX则0P=_.(2)随机地向半圆 2(yax为正常数)内掷一点 ,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 轴的夹角小于 4的概率为 _.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)XY的密度函数为 (,)fxy(2)e0,0 xy其求随机变量 2Z的分布函数.考研英语作文模板，超强！本人已考上研究生，现有考研英语超强作文万能模板，本套模板含四篇，含盖了四大类
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