1、12011 中考冲刺数学专题 6综合型问题例题 1 （2010 四川攀枝花）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6,AD=2 ,点 P 是边 BC 上的动3点（点 P 不与点 B、C 重合） ，过点 P 作直线 PQBD,交 CD 边于 Q 点，再把PQC 沿着动直线 PQ 对折，点 C 的对应点是 R 点。设 CP=x, PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y。（1）求CPQ 的度数。（2）当 x 取何值时，点 R 落在矩形 ABCD 的边 AB 上？（3）当点 R 在矩形 ABCD 外部时，求 y 与 x 的函数关系式。并求此时函数值 y 的取值范围。例题 3 （2010 浙江义乌）
2、如图 1，已知ABC=90， ABE 是等边三角形，点 P 为射线BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合） ，连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F.（1）如图 2，当 BP=BA 时，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段 AB= 3，设 BP= x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x的函数关系式例题 4 （2010 重庆）已知：如图（1） ，在直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的等边OAB的顶点 在第一象限，
3、顶点 A在 x轴的正半轴上 . 另一等腰 OCA的顶点 在第四象限， CA， 20现有两动点 P， Q分别从 ， 两点同时出发，点 Q以每秒 1 个单位的速度沿 OC向点 运动，点 以每秒 3 个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的 PQ的面积 S与运动的时 间 t之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（2）在等边 AB的边上（点 除外）存在点 D，使得 OC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D 的坐标；（3）如图(2)，现有 60MCN，其两边分别与 B， A交于点 M， N，连接N将 绕着 点 旋转（ 旋转角 60） ，使
4、得 ， 始终在边OB和边 上试判断在这一过程中， MN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由图1ACBEQF P图2ABEQPF C图1ACBEQF P2例题 5 （2010 甘肃兰州） 如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合， AD、 AB 分别在 x轴、 y 轴上，且 AD=2， AB=3；抛物线 cbxy2经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点E（ 4,0）（1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P 也以相同的速度从点 A
5、 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒（0 t3） ，直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）. 当 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；4t 以 P、 N、 C、 D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可能，请说明理由图 1 图 2例题 7 （2010 四川成都）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2yaxbc与 x轴交于 AB、 两点（点 在点 B的左侧） ，与 轴交于点 C，点 A的坐标为 (30)， ，若将经过C、两点的直线 ykxb沿 y轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 2x（
6、1）求直线 及抛物线的函数表达式；（2）如果 P 是线段 AC上一点，设 ABP、 的面积分别为 ABPS、 C，且:3ABPCS，求点 P 的坐标；（3）设Q 的半径为 l，圆心 Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q 的半径为 r，圆心 在抛物线上运动，则当 r取何值时，Q 与两坐轴同时相切？解答：（1） ykxb沿 y轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点， 3， (0 )， 。将 A ， 代入 kx，得 0k。解得 1k。直线 AC 的函数表达式为 。抛物线的对称轴是直线 239302abc解得143a
7、b抛物线的函数表达式为 2yx。（2）如图，过点 B 作 BD AC 于点 D。 :3ABPCS， 11()()2:32D :。过点 P 作 PEx 轴于点 E，PECO ， APEACO ， 25EACO， 6 635x，解得 95点 P 的坐标为 ()，（3） （）假设Q 在运动过程中，存在 QA与坐标轴相切的情况。设点 Q 的坐标为 0()xy， 。 当Q 与 y 轴相切时，有 1，即 0x。当 01x时，得 20143， 1( )，当 时，得 8， 2 )， 当Q 与 x 轴相切时，有 0y，即 0当 0y时，得 20，即 4x，解得 02x，3(2 1)，当 0时，得 2043x，即
8、 20，解得 0，4 ， 5( 1)， 。综上所述，存在符合条件的Q ，其圆心 Q 的坐标分别为 1( )， ， 2(1 8)Q， ，3(2 1)， 4 ， ， 5( )， 。（）设点 Q 的坐标为 0()xy， 。当Q 与两坐标轴同时相切时，有 0x。由 0yx，得 203，即 203，= 2341此方程无解。由 0，得 200x，即 205x，xyOA BCDEP4解得 05132x当Q 的半径 05132rx时，Q 与两坐标轴同时相切。例题 8 （2010 湖南常德）如图, 已知抛物线 21yxbc与 x轴交于 A (4，0) 和B(1，0) 两点，与 y轴交于 C 点（1）求此抛物线的
9、解析式；（2）设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF/AC 交 BC 于 F，连接 CE，当CEF 的面积是BEF 面积的 2 倍时，求 E 点的坐标;（3）若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标解答：（1）由二次函数 21yxbc与 x轴交于 (4,0)A、 (1,)B两点可得：21(4)0cb，解得： 32bc，故所求二次函数的解析式为 21yx（2）S CEF =2 SBEF , ,BFC.3EF/AC, EAEBCA ,BEFBAC, 13BEFAC得 5,故 E
10、 点的坐标为( 2,0).（3）解法一：由抛物线与 y轴的交点为 C，则 点的坐标为（0，2） 若设直线的解析式为 kxb，则有 2,04bk 解得：1,kb故直线 AC的解析式为 1y 若设 P点的坐标为 23,a，又 Q点是过点 P所作 y轴的平行线与直线的交点，则 Q点的坐标为（ 1,2)a则有：213()(a 2a 即当 时，线段 P取大值，此时 P点的坐标为（2，3）解法二：延长 Q交 x轴于 D点，则 AB要使线段 PQ最长，则只须APC的面积取大值时即可.5设 P点坐标为（ ),0yx，则有: ACODPSACS梯 形 11()22 0000142xyyx 4 2003 x 24
11、x即 0x时， APC的面积取大值，此时线段 PQ最长，则 点坐标为（2，3）【技巧提炼】解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。1、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解
12、析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。3、 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。4、 综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三
13、角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。【体验中考】1 （2010 福建德化）已知：如图，点 P是正方形 ABCD的对角线 上的一个动点( A、 C除外)，作 ABPE于点 ，作 F于点 ，设正方形 ABCD的边长为x，矩形 F的周长为 y，在下列图象中，大致表示 y与 x之间的函数关系的是（ ）. 62 （2010 四川南充）如图，直线 l1l 2，O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B点 M 和点N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移O 的半径为 1，160下列结论错误的是（ ） （A） 43M（B）若 MN 与O 相切，则 3AM（C）
14、若MON90 ，则 MN 与O 相切（D）l 1 和 l2 的距离为 23 （2010 湖北鄂州）如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A、C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上， 点 在 OA 上，且 点的坐标为（2，0） ，P 是 OB 上的一个动点，试求PD+PA 和的最小值是（ ）A 102 B 10 C 4 D64 （2010 湖北宜昌）如图,在圆心角为 90的扇形 MNK 中，动点 P 从点 M 出发，沿 MNKM 运动，最后回到点 M 的位置。设点 P 运动的路程为 x，P 与 M 两点之间的距 NK离为 y，其图象可能是（ ） 。5 （2010 湖南怀化）图 9
15、是二次函数 的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).kmxy2)(（1）求出图象与 轴的交点 A,B 的坐标； x（2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 ,若存在，求出 P 点的MABABS45坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，xx得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 与此)1(bxy图象有两个公共点时， 的取值范围.bl1l2ABMNO1xy0 A xy0 Dxy0 Byx0 CPDA BCCEF76 （2010 湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0） ，B（0，2） ，一动点 P 沿过 B 点且垂直
16、于 AB 的射线 BM 运动，P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度，射线 BM 与 x 轴交与点 C（1）求点 C 的坐标（2）求过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式（3）若 P 点开始运动时，Q 点也同时从 C 出发，以 P 点相同的速度沿 x 轴负方向向点 A运动，t 秒后，以 P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形 （点 P 到点 C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求 t 的值（4）在（2） （3）的条件下，当 CQ=CP 时，求直线 OP 与抛物线的交点坐标7 （2010 湖北荆州）如图，直角梯形 OABC 的直角顶点 O 是坐标原点，边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正
17、半轴上，OABC，D 是 BC 上一点，BD= 41OA= ，AB=3，OAB=45，E、F 分别是线段 OA、AB 上的两动点，且始终保持DEF=45 （1）直接写出 D 点的坐标；（2）设 OE=x，AF=y，试确定 y 与 x 之间的函数关系；（3）当AEF 是等腰三角形时，将AEF 沿 EF 折叠，得到 EFA，求 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积8 （2010 湖北省咸宁）如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC， 90DAB，24ADC， 6AB动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以 相 同 的 速 度 ，从点 C 沿折线 C
18、-D-A 向 点 A 运 动 当 点 M 到 达 点 B 时 ，两 点 同 时 停 止 运 动 过 点 M 作 直 线 lAD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒） 全品中考网（ 1） 当 0.5t时 ， 求 线 段 Q的 长 ；（2）当 0t2 时，如果以 C、 P、 Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值；（3）当 t2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 Q是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由8A BCD（备用图 1）A BCD（备用图 2）QA BCDl MPE9 （2010 江苏扬州）在ABC 中，C
19、90，AC 3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AE x，AEF 的面积为 y（1）求线段 AD 的长；（2）若 EFAB，当点 E 在线段 AB 上移动时，求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x的取值范围）当 x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、 C 两点均不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问：是否存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理由答案1 【答案】A 2 【答案】B
20、 3 【答案】A 4 【答案】B 5 【答案】(1) 因为 M(1,-4) 是二次函数 的顶点坐标，kmxy2)(所以 324)1(2xxy令 解之得 .,032 ,1A，B 两点的坐标分别为 A（-1，0） ，B（3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点 P，使 MABAS45设 则 ，),(yxpySPAB2又 ,8421MAB .5,yy即二次函数的最小值为-4， .当 时， .54,x或故 P 点坐标为（-2，5）或（4，5）（3）如图 1，当直线 经过 A 点时，可得)1(by .1b当直线 经过 B 点时，可得 3由图可知符合题意的 的取值范围为 396 【答案】（1）点 C 的坐
21、标是（4，0） ；（2）设过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，将点 A、B 、 C 三点的坐标代入得： 02164abc解得123ab，抛物线的解析式是：y= 12x2+ 3x+2（3）设 P、Q 的运动时间为 t 秒，则 BP=t，CQ =t以 P、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若 CQ=PC，如图所示，则 PC= CQ=BP=t有 2t=BC= 5，t= 若 PQ=QC，如图所示，过点 Q 作 DQBC 交 CB 于点 D，则有 CD=PD由ABCQDC，可得出 PD=CD= 25t， 45tt，解得 t= 401若 PQ=PC
22、，如图所示，过点 P 作 PEAC 交 AC 于点 E，则 EC=QE= 25PC， 1t=25（ -t） ，解得 t= 325401（4）当 CQ=PC 时，由（3）知 t= ，点 P 的坐标是（ 2，1） ，直线 OP 的解析式是：y= 12x，因而有 x = 2x2+ x+2，即 x2-2x-4=0，解得 x=1 5，直线 OP 与抛物线的交点坐标为（1+ 5， 1）和（1- 5， 1） 7 【答案】 （1）D 点的坐标是 )23,(.（2）连结 OD,如图（1） ，由结论（1）知：D 在COA 的平分线上，则DOE=COD=45,又在梯形 DOAB 中，BAO=45,OD=AB=3由三
23、角形外角定理得：1=DEA-45,又2=DEA-451=2, ODEAEF10 AEODF，即： xy243y 与 x 的解析式为：y312（3）当AEF 为等腰三角形时，存在 EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 种情况. 当 EF=AF 时，如图（2）.FAE=FEA=DEF=45,AEF 为等腰直角三角形.D 在 AE 上（AEOA）,B 在 AF 上（AFEF）AEF 与五边形 OEFBC 重叠的面积为四边形 EFBD 的面积. 25324CDOAEA 54sin0F8)2(12SAE 4213)25(1DEABD 梯 形 87-4S-FEEF梯 形四 边 形 （也可用 BDAEFS-阴 影 ）当 EF=AE 时，如图（3） ，此时AEF 与五边形 OEFBC 重叠部分面积为AEF 面积.DEF=EFA=45， DEAB ， 又 DBEA四边形 DEAB 是平行四边形AE=DB= 2 EFA1SEFEFA )(22/
