1、“两 点 间 的 距 离” 教 学 设 计 基本说明 1、 模块：高中 数学 2（必修） 2、 年级：高中一年级 3、 所用教材版本： 普通高中课程标准试验教科书 人民教育出版社 A 版 4、 所属的章节： 第三章第三节第二课时 5、 学时数： 45分钟 教学设计 一、教学目标 1. 知识与技能： 掌握直角坐标系两点间 的 距离，用坐标法证明简单的几何问题。 2. 过程和方法： 通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 3. 情 感、 态 度 和价值： 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题 . 二、 教材分 析 “点到点的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点它是
2、在学生学习数轴上两点间的距离公式和勾股定理及 直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容 .我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离最后是通过点到点的距离来解决的一方面 使得 点到点的距离公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力 三 、 教 学重点、难点： 教学重点： 两点间的 距离公式的推导和应用 教学难点：发现 两点间的 距离公式的推导方法， 应用两点间距离公式证明几何问题。 四、
3、教学过程 第一步：情境设置，导入新课 课堂设问一：数轴上两点间的距离公式 是什么？ 课堂设问二：你 能否用以前所学的知识来解决以下问题 . 已知 平面直角坐标系中两点 1P 、 P2，如何求 1P 、 P2的距离 1P P2（在教学过程中， 可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到）？ 分析： 从点 1P 、 P2分别向 y 轴和 x 轴作垂线 1P N1和 P2M2，垂足分别为 1 1 2 200N y M x ， ， .设直线 12PN N12与 P 相交于点 Q. 在 Rt 1P QP2中， 2 2 21 2 1 2P P P Q QP。 为了计算其 长度，过点 1P
4、 向 x 轴作垂线，垂足为 110Mx， ； 过点 P2向 y轴作垂线，垂足为 220Ny， ，于是有 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1P Q M M x x Q P N N y y ， 所以， 2 2 21 2 1 2P P P Q QP= 222 1 2 1x x y y 。 由此得到两点间的距离公式： 221 2 2 2 2 1P P x x y y 特别地 ，原点 O（ 0， 0）与任意一点 P（ x， y）的距离 O P = 第 二 步： 例题解答 （ 细心演算，规范表达 ） . 例 1 ：已知点 A（ -1， 2）， B（ 2， 7 ），在 x 轴上求一
5、点，使 PA PB ,并求 PA 的值。 解： 法一（直接运用两点间的距离公式） 设所求点 P（ x， 0），于是有： 22 2 21 0 2 2 0 7xx . 由 PA PB 得： 222 5 4 1 1x x x x . 解得： x=1 . 所以，所求点 P（ 1， 0）且 221 1 0 2 2 2PA 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。 法二：由已知得，线段 AB 的中点为 12 ， ，直线 AB 的斜率为k= 12 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 12 在上述式子中，令 y=0，解得 x=1。 所以所求点 P的坐标为（ 1， 0）。因此 第三步：巩固反思，灵活应用
6、 （ 用两点间距离公式来证明几何问题） . 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关 系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，）。 设（，），（，），由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为 2 2 2 22 2 2 2A B a CD a A D b c B C ， ， 2AC a b ， 所以， 所以， 因此，平行四边形四
7、条边的平方和等于两条对角线的平方和。 第四步：“坐标法”解决问题的基本 思想 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 1.建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。 2.进行有关代数运算。 3.把代数结果“翻译”成几何关系。 思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。 第五步：课堂练习 1.书本 112 页第 1， 2 题 2.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 3.在直线 x-3y-2=0 上求两点，使它与（ -2， 2）构成一个等边三角形。 第六步： 课堂小结 主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重
8、要性。 附： 设计说明 1、本文档是采用 Microsoft Word2007 编辑的，请您采用 Microsoft Word2007 打开。 2、确定教学目标 确定的依据： （ 1）教学大纲、考试大纲的要求 （ 2）新教材的特点 （ 3）所教学生的实际情况 目标内容： 知识与技能 ， 过程与方法 ， 情感、态度与价值观三个 方面的内容 3、教学方法的选择 （ 1）指 导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体” （ 2）教学方法：问题解决法、讨论法等 本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用我选择的是问题解决法、讨论法等通过一系列问题，创造思维情境，通
9、过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体 4、教学用具的选用 在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具 它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率 5、教学过程的设计 “数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受
10、数学的整体性课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境 提出问题 引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务同时 激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力；自主探索 推导公式 ；变式训练 学会应用 通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式通过例题的不同解法，进一步让学生体会转化（或化归）的数学思想；学生小结 教师点评 通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力；课外练习巩固提高 检查学生所学知识掌握的程度，让学生总结公式推导的方法，发挥学生学习的自主性和思维的广阔性”五个
11、环节来完成。 6、课标与大纲的比较 课标与大纲的目标对比 内容 标准目标表述 大纲目标表述 两点间的距离 探索 并掌握 两点间的距离公式 . 能推导两点间的距离公式，并运用此公式 . 能用两点间的距离公式解决一些简单问题 . 能推导两点间的距离公式，并运用此公式 . 能用两点间的距离公式解决一些简单问题 . 7、 板书 设计 两点间的距离 第一步：情境设置，导入新课 第二步：例题解答 第三步：巩固反思，灵活应用 第四步：“坐标法”解决问题的基本步骤 第五步：课堂练习与课外作业 1.书本 112 页第 1， 2 题 2.证明直角 三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 3.在直线 x-3y-2=0 上求两点，使它与（ -2， 2）构成一个等边三角形。 第六步：课堂小结 8、课后记 新课程标准提出要加强过程性评价，因而在 教学过程中， 不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现 的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。通过教师创设疑问，学生想办法解决疑问，及 教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。同时 我对于学生的语言与行为的表现，及时给予肯定性的表扬和鼓励；学生思维暴露出问题时及时评价， 矫正思维方向，调整教学思路；通过观察学生完成作业情况，了解学生在知识技能和数学方法方面的收获和不足，指导我今后教学 。
