1、 1一、 【检查作业并讲评】二、 【课前热身】了解学生对本次内容的掌握情况，便于查漏补缺。三、 【内容讲解】1和、差角公式；sincosin)si(；ccotattan()1n2二倍角公式；cosisi；2222 sin1csico 2tanta13降幂公式； ； sicosi2cos1i22cos124半角公式； ； 21sinscossin1costan1cosi5万能公式； ； 2tasin121tancos2tt1an6积化和差公式； ；)sin()si(cosi )sin()si(sico； c21 coc21n7和差化积公式； ；2ossinisn sinosi ； c2co 22
2、co8.三倍角公式：sin3 = cos3 =3sin4i3s349.辅助角公式： 2coinaxbabx两角和与差的三角函数，二倍角公式是高考的重点内容之一，22sins其 中 ，2同时也是三角部分中后继学习的基础，最重要的是多数考生得分的主要阵地之一。如 2005 年全国高考巻（）理科第（7） （11）题，文科第（6） （11）考查两角和与差及倍角公式 ，且得分率是相当高的；再如2005 年全国高考巻（）文理科第（7） （8）题，也是得分率比较高的；而且在 2005 年全国高考巻（）文科卷第（17）题以大题出现。这些都足以说明和、差、倍角的三角函数的重要地位。两角和与两角差的正弦、余弦、正
3、切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如， 等；（3）注意倍角的相对性；（4）要时时22，注意角的范围；（5）化简要求；（6）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占 5%。因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知 ，求 cos 。0cos1sin， ） 的
4、值（ 分析:因为 既可看成是 看作是 的倍角，因而可得到下面的两种解法。）（ 的 和 ， 也 可 以与 2解法一：由已知 sin +sin =1 ， cos +cos =0 2 2 得 2+2cos cos1）（ 1）（ 2 2 得 cos2 +cos2 +2cos（ ）= 1 即 2cos（ ） = 1 cos）（ 1cos解法二：由得 2cssin2由得 0oc得 ，2t 12cottan1cos 22 点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解 sin 、cos 、 sin 、 cos ，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与
5、已知式的关系。本题关键在于化和为积促转化， “整体对应”巧应用。例 2 已知 求2tan560x， 是 方 程 的 两 个 实 根 根 ，2si3sicoscos的 值分析：由韦达定理可得到 进而可以求出 的值，再将所求值的三tanttan及 的 值 ， tan3角函数式用 tan 表示便可知其值。解法一：由韦达定理得 tan 6tan5tan，所以 tan.16t1t 2 222sin3sincoscos原 式 2tata131n解法二：由韦达定理得 tan 6tan5tn，所以 tan.16ta1t 34kZ于 是 有 2 2331sinsin2cos342kk原 式点评：（1）本例解法二
6、比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区” 。 （2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。 （3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如 。， ， tantanttant ttt1t cosisicos例 3 化简下列各式（1） ，232cos12，（2） 4cs
7、otin2分析：（1）若注意到化简式是开平方根和 2 以及其范围不难找到解题的突破的 二 倍 ，是的 二 倍 ，是 2口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角 ，若注意到这两大特征， ，不难得到解题的4切入点。4解：（1）因为 ，cos2cos123 ， 所 以又因 ，inis124， 所 以所以，原式= sin（2）原式= 4cossin24costa2= 。1s2sin点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于 2 是 的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意 三个角的内在联系的作用，4，是常用的三角变换。 （2）化简题一定要找准解题的突破口cossin2sin
8、2co或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形 ， 。，sin2co2122cos1sin2例 4 若 的 值 。求， xxxtai,47153s分析：注意 的两变换，就有以下的两种解法。242， 及解法一：由 435712xx， 得cossin.44又 因 ， 2cocsinsi4410xxxx ， 72sintan.10xx从 而 ，解法二：22727102sincosin 8.1ta 5xx原 式 i itant xx原 式527sin2icos2cos144425xxxx而 sita3co4xx，728.2575所 以 ， 原 式点评
9、：此题若将 的左边展开成 再求 cosx，sinx 的值，就很繁琐，把3cos4x 3cosins45x，并注意角的变换 2 运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简。所作 为 整 体x4 ，2以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如 ，22， 等。 ，例 5 已知正实数 a,b 满足 的 值 。， 求 abba158tnsi5coin分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以 a，则已知等式可化为关于 程，从的 方ab而可求出由 ，若注意到等式左边的分子、分母都具有 的结构，可考虑引入辅助角求解。ab cos
10、sinb解法一：由题设得 158cosinsi5coinab.3tan518cosin5si18in5cos18sin ab解法二： 2i inbab因 为 ，62cosincostan558tatan.1553tanttan.bbbkkb， 其 中 ，由 题 设 得所 以 ， 即 ，故解法三：t85t151anb原 式 可 变 形 为 ： ，tt 85tanttan5151an8,53tanttan33bkZkZba令 ， 则 有 ，由 此 可 所 以 ，故 ， 即点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式 ， ，或s
11、incossi 2bbtanb其 中 sincob在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换2costanab， 其 中元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。例 6 试求 cos2730+cos2470+cos730cos470 的值。分析：由于本题非常对称，且两角之和为 1200，所以可以构造对偶式，又因其形式与余弦定理相似，所以构造三角形利用正余弦定理求值。解法一：设 x= cos2730+cos2470+cos730cos470，y=sin 2730+sin2470+sin730sin470，则 x+y=2+cos260 ；xy=cos146 0
12、+cos940+cos1200=2cos1200cos260 .216cos1于是，得 2x= .432x， 即故 cos2730+cos2470+cos730cos470=解法二：由于原式=sin 2170+sin24302sin17 0sin430cos1200，构造三角形 ABC,使 A=170,B=430,C=1200,其外接圆半径为 1，于是由正弦定理，有 a=sin170,b=sin430,c=sin1200 ，237再由余弦定理，得 a2+b2-2abcosC=c2，即sin2170+sin2430-2sin170sin430cos1200= .43故 cos2730+cos24
13、70+cos730cos470= .点评：在三角函数中，同一个角的正弦与余弦、正切与余切分别互为对偶式，它们之间存在着某些特定的关系，利用这种对偶式，可以巧妙求出某些三角函数的值。同时仔细观察和这种类比能力是高考必考查的能力之一，通过仔细观察寻找到解题的突破口，通过类比，知识与能力得以提升。例 7 是否存在锐角 ，同时成立？若存在，求出32tan231；， 使和 明 理 由 。的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说和 分析：欲求角 ，则应先求出其三角函数值，由题意条件可知，应求 的正切值。， ，2解法一： 2tanta23233， 代 入 中 得 ： ，所以 满足条2tantttn011tan
14、3ta 146n232ta42即 ， ，由 此 解 得 ， ， 或 ，当 时 ， 又 因 为 锐 角 ， 所 以 ， 并 代 入 得 ；当 时 ， 代 入 中 得 ，由 于 为 锐 角 ， 所 以 为 锐 角 ， 故 ， 这 与 已 知 矛 盾 ， 46，存 在件。解法二： tant1tan32312由 得 ， ， 所 以 ， 212tant3tan 30,3t024antan12046.6xxx 将 代 入 上 式 ， 得 ，所 以 ， 是 一 元 二 次 方 程 的 两 根 。，若 ， 但 由 于 ， 所 以 这 是 不 可 能 的 。从 而 ， ，因 为 ， 所 以 ， 并 代 入 中
15、， 得 ，故 ， 存 在 这 样 的 锐 角 ，8点评：三角函数条件式本身就是方程的形式，在进行三角变换时要重视方程的思想方法并会灵活运用。一般地，若知道 tanttan， 及 ，是某二次方程的两根，这往往与公式 有必然的联系；若已知 及则 由 韦 达 定 理 ， ， Tcosin二次方程的两根 有联系，在解题时可充分利用这些sicosic， 则 ， 是 某 22sincos1这 往 往 与联系，列方程求解未知数，另外，解方程组的消元法也是常用的三角变换，当已知条件中有某角时，而所求中没有该角时，常常可以用消元法求解，当求解两个角或其函数值时，可以用消去一角，先求出另一角，其一般方法是代入消元
16、或借助同角三角函数关系式。值得一提的是凡是求某角，基本上是先求出其三角函数值，再求角。例 8 已知 ， ， ， ， ，求证：sincoa， cosinb， 2cos0b， 12ab3c= 。tt2cos952分析：由题意首先将向量 的坐标求出，再由数量积寻找角 的三角函数值。c， 证明：设 的坐标为（ x,y） ，则cos2cscosin2s0in0xbxyy， ，=（ ） ， 所 以siycio，所以 ，nosinscosinac， ，而 ，所以13，31i又因 1scsisi2b2co21n.则所以 ，5cotan31cotansicosisin ，故 = 。所以原题得证。ttan2co1
17、52点评：求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为 “五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角。 “五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效。其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化） ，两种数学思想（转化思想，和方程思想） ，三个追求目标（化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项） ，四种变换方法（切割化弦法，消元降次法，辅助元素法）四、 【巩固练习】1.设 （ ）的 值 是则，中 ， CBABCcos,135sincoA. B. C. D. 或65665192. 函数 y= 的
18、最大值是（ ）xcosin21A. B. C.4 D.2343.求下列各式的值：（1）tan34 0+tan260+ ， （2） 。06tant3001tan35sin4.已知 ，分别求 的值。 254cos54cos ， 且， 2cos和5.观察 sin100+sin200+sin300+sin2000= ；sin12 0+sin240+sin360+sin1920=01sin写出一个与以上两式规律相同的一个等式。02sin1i96，6.已知 求 的值i2cossincosxx， ， ， 成 差 数 列 ， ， ， 成 等 比 数 列 ， cos2x7.已知 22inif ， 其 中 、 是 适 合，的常数，试问0 无 关 的 定 值为 与为 何 值 时 ，、 f五、 【课堂总结】六、 【课后作业】
