1、2010年全国研究生数学建模竞赛 B题 与封堵溃口有关的 重物落水后 运动 过程 的数学 建模 我国经常 发生 洪 水，溃坝溃堤 进而引发泥石流 灾害 造成国家和人民生命财产的 严重 损失 。 历年来的洪 灾 ，尤其是 最近的 溃坝、泥石流 险情 给了我们深刻的教训 ： 必须有效 地开展封堵 溃口 的研究 。 由于溃口水流 的流量和速度 会 比较大，在 通 常情况下很难 在短时间之内 将溃口彻底封堵，但如果 通过 投放重物对 尚存的 坝体产生一定的保护作用，就可以 延 缓 溃坝溃堤的过程，为人民 群众 的 撤离争取更多的时间。 利 用直升 飞 机投放 堵口 组件 ， 不 仅 能 显著 提高 溃
2、口 抢险的快速反应能力 ， 而且 容易 解决溃 口交通不便、堵口物资缺乏 等 问题。 如 2005年 8 月，美国陆军工程师团针对新奥尔良第17 大街运河的防洪堤坝缺口展开修补行动 时 动用直升 飞 机向缺口处投 放砂 袋，终于在几日后成功封住了缺 口 。 显然 ，投入溃口的重物落水后 受到溃口水流的作用 会向下游漂移 。 为了使 封堵用的 重物落水后能够沉底到 、并保持在 预想的位置 ， 尽可能减少 无效投放 ，必须 掌握 重物落水后的运动 过程 ，在预定 沉底 位置的上游一定距离投放 达到一定体积和重量的重物 。 由于溃 坝溃堤 的高度危害性 、不可重复性和经济 损失 过大 ， 肯定 无法
3、 通过 相关实物试验 去 研究封堵用重物落在溃 口 后的运动过程， 而 只能 先 通过理论分析和 小 型试验 获取 相关 数据 的方法进行研究 ，特别后者具有 客观、 经费 省 、风险 小 、 时间短、 易 重复、条件 可以 改变等优点 。 由于具体情况不同，溃口的纵、横断面千差万别，而且都 不是规则的矩形、梯形或 V字形； 溃口 的 底面 也都不是水平或具有稳定斜率的平面，粗糙度各异 ； 溃口 各部分的 流速分布 肯定 也 是不均匀的 ； 更 值得注意 的是，溃口形状和大小 一般是 不断 变化 的，流速 、流量 也随着水位和溃口形状的变化而变化 。 由于往往是就地取材 ， 封堵用重物 的 形
4、状、大小千变万化 ； 重量、 体积、面积 各不相同， 不可能一 模 一样 。 虽然 它 们都影响封堵用重物落在溃口后的运动过程 和沉底后状况 ， 但在研究前期 ，无论 理论分析 或者 小型试验获取相关数据的方法都不应该考虑上述全部因素，否则只能是欲速 则 不达 。 只有在简单情况下， 通过 固定大多数因素、条件，只让少数因素发挥作用，才能发现事物内部的规律，揭示问题的本质。为 此我们 这里 暂不考虑重物沉底后的稳定性 ， 只探索重物落水后的运动规律。 即便如此，理论分析和小型试验获取相关数据的方法也无法穷尽所有的情况，做到面面俱到。 所以 我们设计的小型试验先选取几种重物形状、四种不同速度的稳
5、定水流、在三种不同的高度多次重复进行投放 试验。希望从 大量 数据 的分析 中 发现重物在水中运动的规律，同时为机理模型的建立提供思路 及 检验 模型 用的数据。 在 理论分析和小 型试验 数据分析的 基础上， 我们 将 根据水力学已经有的方法进行推广，同时 变动 试验 的条件和物理、几何 等 参数 再进行新试验。 一方面可以补充原来方案的不足，另一方面 使 新试验 更接近真实情况 ，验证我们已经发现的“疑似规律” 和建立的数学模型 ，并 加以改进和推广。 在 进一步总结后 再 将 改进后的 试验方法、手段包括测试 方案、 数据采集 、数学模型 ,推广应用到野外中型试验， 在获得成功并掌握重物
6、在水中运动的规律后 才能够最终 应用于实 际抢险行动。 附件 1 给出了 小 型试验的 试件 名称及相关物理、几何 参数，附件 2 给出了相关试验方法的 说明，附件 3 给出了相关试验工况，附件 4 给出了经整理 归类 的试验 原始 数据，附件 5 给出了相关试验 部分 工况的 小 型 试验录像 与 截图 。请根据题意、相关附件及其 说明回答如下问题并完成相关数学建模。 问题 1、 以附录 1 中各单件 试件 为例 ， 利用所学知识及相关参考资料分析影响重物 在 水中 运动 过程 的因素 ，并 建立 大实心方砖 （如图 1） 落水后运动 过程 的数学模型。 问题 2、 利用 小 型试验数据 或
7、相关 数学、物理方法 ， 建立包含上述各种因素 ， 从而 能够 适应不同 情况 的 、 描述 重物 水中 运 动 过程 的数学模型 。其中 建立 单个 重物 在 水中 运动 过程的 数学模型是必做项目， 建立 两个 重物 连接后的组件 在 水中 运动 过程的 数学 模型为选做项目。 问题 3、 对 你们 所建 立的 数学 模型进行误差分析， 利用相关的数学 、 物理概念 、 小 型试验数据，验证 你们 所建立 的 数学模型的合理性 ， 并 根据你们的数学模型 提出 让 堵口重物恰好 在 你们认为最有效 位置触底 的猜想 和 应该进行哪些新试验 来验证你们的猜想 。 问题 4、 由于水流运动 非
8、常 复杂， 至今一些 水流现象还无法从小型试验得到， 因此小型试验的结论不能任意推广到真实情况。 水力学 理论研究的结论是： 小 型试验的流动与真实情况的流动具有一定的相似性 时 ， 小 型试验的结果方可用到原型中去。 流动相似是指在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例 。 具体的可以表述成几何相似、运动相似和动力相似。几何相似是指模型和原型的全部对应线 形长度的 比值 为一常数；运动相似是指满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小 成 比例；动力相似是指两个运动相似的流场中，对应空间点、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，方向 相同 、大小成比例。在几何相似的
9、条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则，称之为相似准则。流体力学试验 中常采用的相似准则包括重力相似准则（费劳德准则）、粘性力相似准则（雷诺准则）、压力相似准则（欧拉准则）等 （ 有关流动相似和相似准则方面的知识可参见相关流体力 学 资 料 ， 如 浙 江 大 学 国 家 级 精 品 课 程 - 工 程 流 体 力 学 ， 网 址 ：http:/ 1，附件 2 亦为相关参考资料 ） 。 由于很难 使流动完全相似， 而且 定性准则数越多， 小 型试验的设计越困难，甚至根本无 法进行。为了解决这方面的矛盾，在实际的 小 型试验 中 ， 一般 只能满足 某个或某些 相似准则，忽略对过程影响 比较
10、小的 相似 准则， 抓住问题的主要物理量， 使问题得到简化。 请 根据上述简要介绍，查阅相关资料，并根据前面 你们 建立的 数学 模型，简要回答 以 下 两个 问题。 （ 1）本题所提及的 小 型试验满足了什么相似准则 ？ 如何 依据相似准则 将本试验及你 们所建立 的数学 模型的成果 加以推广 ， 对 未来需要进行的 试验 和研究工作 提出 建议 。 （ 2） 假定溃口几何形状及水流速度与 小 型试验相似，溃口水深 分别 为 3m 和 4m， 溃口流速为 4m/s 和 5m/s， 若重物重量为 1.5t， 根据 你们 建立的 数学 模型求解距离水面 2m 投放 重物 时， 应 分别 提前多远
11、投放才能使重物沉底到预定位置？ 附录 1 试 件 模型 在 直升 飞 机 封 堵 溃 口过程中，堵口组件 的 形 状很 重要。为了分析堵口组件形 状 的合理性 ，试验模拟了不同形 状 重物在水槽中的运动情况。试验中 单 件 试件 尺寸较小，属于微型混凝土，材质为振捣结实的砂浆，经养护后， 抗压 强度达到试验要求 ，密度约为 2300kg/m3。 单个重物 尺寸 及名称 如图 1 所示： 注：尺寸单位均为 mm小实心蜂巢厚度：1 2 mm大实心蜂巢厚度：2 5 mm小空心方砖厚度：2 0 mm大空心方砖厚度：4 0 mm棱为6 0 mm 的大三角锥（正四面体），尖角不要太尖，磨圆大空心蜂巢厚度：
12、2 5 mm小空心蜂巢厚度：1 2 mm棱为3 0 mm 的小三角锥（正四面体），尖角不要太尖，磨圆大实心方砖厚度：4 0 mm小实心方砖厚度：2 0 mm图 1 单 件 试件 尺寸 及名称图 附录 2、试 验方法 重物 水中 运动 过程小 型 试验在 玻璃 水槽内进行。 试验 平面图 如图 2 所示， 水槽长 40 米 ，水槽两侧为钢化玻璃，底部为高性能复合塑料 板 。水槽进口处有消能池， 保证 水流平稳进入水槽。水槽尾部有一竖向转页式尾门， 可通过调整流量阀和尾门 来 控制流速和 水深。 单 件投放位置设置在距离水槽入口 20m 处，流速仪设置在距离水槽入口 15m 处。 重物 的 水中
13、运动轨迹，由 高清摄 像机 实时记录 。 在试验区域临近摄像机一侧的钢化玻璃 （ 玻璃 厚度不计） 表面，竖直和水平方向上都划分间距为 1cm 的网格，即是刻度尺区域。区域长 50cm，每 10cm用不同颜色的粗 线标记，以便读取数据。该区域左下角为坐标原点，重物投放的初始位置的水平坐标为 0，水槽底面的竖直坐标为 0。水槽外的高清摄像机 水平放置，它 的镜头中心与刻度尺区域相距 1.2m， 镜头中心 的 水平坐标和竖直坐标分别为 25cm 和 20cm。组件下沉运动轨迹所在平面与刻度尺区域的距离约为 20cm。 消能池转页式尾门设置流速仪 试验区域摄像机40 m15 m 5m 0. 5 m电
14、脑水流方向1.2m图 2 试验 平面布置图 附录 3、试验工况 试验进行了多种形式的 重物抗 冲性观测。其目的在于，通过多种形式 单个重物或重物组件 的试验，能够更好的分析出 重物 在 水中 运动 规律 。 溃 坝 处 的流速是 封 堵 溃 口问题必须考虑的因素之一。本试验中， 水流 流速有 以下 4 种 ：v=0.34m/s， v=0.40m/s， v=0.47m/s， v=0.55m/s，用以 观测 重物在不同流速 的 水流 中 运动 过程 。为了研究问题的方便，试验水槽的流速基本设置成均匀流速， 通过 调节 消能池 的进水量和尾门开启的程度 控制 流速 的大小 。本试验中水深控制为 27
15、.5cm， 在直升 飞 机 封堵 溃坝 口 过程中，确定堵口组件的投放高度，也是关键问题之一。投放高度不同，组件的入水初速度就会不同，所以投放高度会直接影响到 封堵 溃坝口的效果。试验中， 通过将 重物 试件 重 心 置于不同的高度 后 释放， 由于 经过一段 自由落体 运动 ， 重物试件 获得一定 入水 初速度。试验中选择了三种高度：重心位于水 表 面 ， 重心距水 表 面 5cm， 重心距离水 表 面 12cm。 同一 封 堵 溃 口组件， 按 不同的 方式 投放 ，受力状态不同， 导致 封堵溃口试件 在 水中下沉过程中运动状态不同，从而影响堵口的效果。试验中，设定了三种典型的投放方式 （
16、 平放、立放、竖放 ） ， 用以 验证投放方式对于堵口组件 水中 运动过程 的影响。以大实心砖为例，见图 3， 平放方式 ： 竖直方向阻水面积大，来流方向阻水面积小 ； 竖放方式 ： 竖直、水平方向的阻水面积都小 ； 立放方式 ： 竖直方向 阻水面积小，来流方向阻水面积大。 需要说明的是：对于蜂巢类和方砖类试件，平放时试件 有两条 边平行于水流方向，立方和竖放时试件 有两条边平行于竖直方向，而 三棱锥（正四面体）的投放方式是随意的，没有平放、竖放和立放 或方向 的特意给定 。 竖放水流方向平放 立放竖直方向图 3投放方式说明 封堵 溃坝口 时 ，多个组件连接 也是常用的方式 。试验中， 还 将
17、 两个重物 柔性 连接并观测其 在 水中 运动轨迹 。 组件的连接方法 如 图 4 所示，投放时采用的是两个重物并行放置，即两个重物重心的连线水平并垂直于水流方向，重心连线的 中点距刻度尺平面 20cm： 两个小空心蜂巢连接组件间连接距离为10三个小空心蜂巢连接组件间连接距离为10两个小空心方砖连接组件间连接距离为10四个小空心方砖连接组件间连接距离为10四个小 实心 方砖连接组件间连接距离为20两个小 实心 方砖连接组件间连接距离为10三个小 实心 蜂巢连接组件间连接距离为10两个小实心蜂巢连接组件间连接距离为10两个大实心方砖连接组件间连接距离为20两个大实心蜂巢连接组件间连接距离为20两
18、个大空心方砖连接组件间连接距离为20两个大空心蜂巢连接组件间连接距离为20两个小空心蜂巢连接组件间连接距离为10三个小空心蜂巢连接组件间连接距离为10两个小空心方砖连接组件间连接距离为10四个小空心方砖连接组件间连接距离为10四个小 实心 方砖连接组件间连接距离为20两个小 实心 方砖连接组件间连接距离为10三个小 实心 蜂巢连接组件间连接距离为10两个小实心蜂巢连接组件间连接距离为10两个大实心方砖连接组件间连接距离为20两个大实心蜂巢连接组件间连接距离为20两个大空心方砖连接组件间连接距离为20两个大空心蜂巢连接组件间连接距离为20两个小空心蜂巢连接组件间连接距离为1 0三个小空心蜂巢连接
19、组件间连接距离为1 0两个小空心方砖连接组件间连接距离为1 0四个小空心方砖连接组件间连接距离为1 0四个小 实心 方砖连接组件间连接距离为2 0两个小 实心 方砖连接组件间连接距离为1 0三个小 实心 蜂巢连接组件间连接距离为1 0两个小实心蜂巢连接组件间连接距离为1 0两个大实心方砖连接组件间连接距离为2 0两个大实心蜂巢连接组件间连接距离为2 0两个大空心方砖连接组件间连接距离为2 0两个大空心蜂巢连接组件间连接距离为2 0图 4 连接 方式说明 根据以上分析，将本试验的试验组次分为以下几种 ，见表 1： 表 1 试验工况说明表 第一组次 试验工况 1： 水流速度为： 0.34m/s 重
20、物 重心在 水面投放 试验工况 2： 水流速度为： 0.34m/s 重物 重心 距离水面 5cm投放 试验工况 3： 水流速度为： 0.34m/s 重物 重心 距离水面 12cm 投放 第二组次 试验工况 4： 水流速度为： 0.40m/s 重物重心在水面投放 试验工况 5： 水流速度为： 0.40m/s 重物重心距离水面 5cm投放 试验工况 6： 水流速度为： 0.40m/s 重物重心距离水面 12cm 投放 第三组次 试验工况 7： 水流速度为： 0.47m/s 重物重心在水面投放 试验工况 8： 水流速度为： 0.47m/s 重物重心距离水面 5cm投放 试验工况 9： 水流速度为：
21、0.47m/s 重物重心距离水面 12cm 投放 第四组次 试验工况 10： 水流速度为： 0.55m/s 重物重心在水面投放 试验工况 11： 水流速度为： 0.55m/s 重物重心距离水面 5cm投放 试验工况 12： 水流速度为： 0.55m/s 重物重心距离水面 12cm 投放 在每一组次中分别进行不同形状的 重物 的 水中 运动 过程 试验。每种组件在不同工况的试验中按照抛投方式的不同，进行 9 次抛投试验。每种抛投方法抛投三次。 附录 4、模型试验的数据 试验数据分 12 个 excel文件存放，其中文件名的前两个数表示流速， 如 34、 40、 47 和55 分别表示流速为 0.
22、34m/s、 0.40m/s、 0.47m/s和 0.55m/s。 括号中的数字 1、 2、 3 分别表示重物重心在水面投放 、 重物重心 距离水面 5cm 和 重物重心 距离 水面 12cm投放。 表 中数据为依据 重物下沉过程 的 录像中 某 个 时 刻 的截图，显示 在 玻璃 网格 上 的 重物的重心 纵横坐标值（ 其值并不完全代表重物的真实位置， 每一帧读取一组数据，每帧的时间间隔为 0.04s），文件中“ NaN”表示该时刻 重物 已经触底或试验录像模糊无法读取数据。 附录 5、 部分 模型试验 录像 与 截图 下面各图为 流速 0.34m/s 时工况 的试验录像截图 ， 通过观看 附录 5 试验录像可以增加 对试验情况的感性认识 。
