1、不等式一、知识点：1. 实数的性质：； ； 0ba0ba0ba2. 不等式的性质：性 质 内 容对称性 ， abab传递性 且 c加法性质 ； 且 cdacbd乘法性质 ； ，且 ,0000乘方、开方性质 ； nabNab,nN倒数性质 1,3. 常用基本不等式：条 件 结 论 等 号 成 立 的 条 件aR20a0a,b， ，2ab()b22()abb0,a基本不等式： 常见变式： ； 21aa,b 21bab b4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题 1：已知 a，b 都是正数，若 ab 是实值 P，则当 a=b= 时，和 ab 有最小值 2 .命题 2：已知 a，b 都是正数，若 ab
2、 是实值 S，则当 a=b= 时，积 ab 有最大值 .2s4s注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等” ，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设 a0,x1x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 x1x 2，则有结论：ax 2+bx+c0 ；ax 2+bx+c0 =0 0 解集 x xx2 xx x 1 Rax2+bx+c0 解集 x x1xx2 (3)方程 有两个相同的解 210x12x根据 的图象，可得原不等式 的解集为 y 0(4)因为 ，所以方程 无实数解，根据 的图象，可得原不等式
3、 的解集02x2yx20x为 练习 1. （1）解不等式 ；（若改为 呢？）073x307x（2）解不等式 ；1解:(1)原不等式 03,03,xx或 |3x(该题后的答案: ).|7(2) 即 .0x18、最值定理设 、 都为正数，则有xy 若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 sxyx24s 若 （积为定值） ，则当 时，和 取得最小值 xypp即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则
4、向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)熟练掌握一元一次不等式( 组)、一元二次不等式(组) 的解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 头htp:/w.xjky
5、gcom126t:/.j (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1：如果多项式 可分解为 个一次式的积，则一元高次不等式 （或 ）可用)(fn 0)(f0)(xf“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况当分式不等式化为 时，要注意它的等价变形)0()或xgf (0)(fxgf 0)(0)
6、()(0)()( xgfxfxgfxgff 或或用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含x重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图不等式左右两边都是含有 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解x例：解不等式：（1） ；（2 ） 01523)2(5)4(3xx解：（1）原不等式可化为 0)(52x把方程 的三个根 顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次33,25,01xx经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为 3025xx或（2 ）原不等式等价于 2450)2(45)(32xx或原不等式解集为 或或
7、解下列分式不等式：例：（1） ； （2 ）123x127342x（1 ）解：原不等式等价于0)2()(160)2(165)()(30232xxxxx用“穿根法”原不等式解集为 。,),(（2 ）解法一：原不等式等价于 027312x212307307)(13(22xxxx或或 或原不等式解集为 。),(),3,(解法二：原不等式等价于 0)2(13x)(1)2(xx用“穿根法”原不等式解集为 ),2()1,3,(例 2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 )0(a二是根据绝对值的性质： 或 ，因此本题有如下两种解法axaxax.,例：解不等
8、式 242解：原不等式等价于 24)(xx即 )2(42x3123xx故或例 3：已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f(1)=1，若 m、n1，1 ，m+n0 时0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nff()(1)用定义证明 f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(x+ )f( )；(3)若 f(x)t 22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1 恒成立，求实数 t 的取值范围技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)问单调性的证明，利
9、用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把 f(x)转化成“1”是点睛之笔 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 任取 x1x 2，且 x1，x 21，1 ，则 f(x1)f (x2)=f(x1)+f(x 2)= (x1x 2)21)()ff1x 1x 21，x 1+(x 2)0，由已知 0，又 x1x 20，21)()xfff(x 1)f(x 2)0，即 f(x)在1，1上为增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)解 头htp:/w.xjkygcom1
10、26t126.hp:/wxjkygco f( x)在1，1上为增函数， 解得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x| x1，xR 21x3(3)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由(1)可知 f(x)在1，1上为增函数，且 f(1)=1，故对 x1，1 ，恒有 f(x)1，所以要 f(x)t 22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1恒成立，即要 t22at +11 成立，故 t22at0，记 g(a)=t22at ，对 a1，1 ，g( a)0，只需 g(a)在1，1上的最小值大于等于 0，g(1) 0，g(
11、1) 0，解得，t2 或 t=0 或 t2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco t|t2 或 t=0 或 t2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 5：解关于 x 的不等式 1( a1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(x解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0，当 a1 时，原不等式与(x )(x2) 0 同解 头htp
12、:/w.xjkygcom126t:/.j 1a由于 原不等式的解为(， )(2，+) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12a当 a1 时，原不等式与(x )(x2) 0 同解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由于 ,2若 a0， ,解集为( ，2) ；12a1a若 a=0 时， ，解集为 ；若 0a1， ,解集为(2， )112a综上所述 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 a1 时解集为(， )(2，+)；当 0 a1 时，解集为(2， )；当 a=0 12时，解集为 ；当 a0 时，解集为( ，2） 头htp:/
13、w.xjkygcom126t:/.j a例 6 设 ，解关于 的不等式 Rx03分析：进行分类讨论求解解：当 时，因 一定成立，故原不等式的解集为 0m03R当 时，原不等式化为 ；0)1(mx当 时，解得 ；x当 时，解得 0m31当 时，原不等式的解集为 ；mx1当 时，原不等式的解集为 0mx3说明：解不等式时，由于 ，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当 时，原不Rm 0m等式化为 ，此时不等式的解集为 ，所以解题时应分 与 两种情况来讨论3 0m的解是 1x例 8 解关于 的不等式 0)(322axx分析：不等式中含有字母 ，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法
14、完全一样：求a出方程 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母 ，故需比较两根的大0)(322ax a小，从而引出讨论解：原不等式可化为 0)(2ax(1)当 （即 或 ）时，不等式的解集为：2a10a；2ax或(2)当 （即 ）时，不等式的解集为：2a10；axx或2(3)当 （即 或 1）时，不等式的解集为：2a0axR且说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 ， ，因此不等式的解就是 小于小根或 大于大ax12xx根但 与 两根的大小不能确定，因此需要讨论 ， ， 三种情况a2 a2例 9
15、不等式 的解集为 ，求 与 的值02bx21xb分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 ，不等式 需满足21x02bxa条件 ， ， 的两根为 ， 0a02bxa1x2解法一：设 的两根为 ， ，由韦达定理得：22由题意：ax21 1a ， ，此时满足 ， b00)2(42ab解法二：构造解集为 的一元二次不等式：1x，即 ，此不等式与原不等式 应为同解不等式，故需满足：0)2(1x02 02bxa ， ba1ab例 10 解关于 的不等式 x01)(2x分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想解：分以下情况讨论(1)当 时，原不等式变
16、为： ，0axx(2)当 时，原不等式变为： 0)1(a当 时，式变为 ，不等式的解为 或 0a0)1(xa1xa当 时，式变为 ，当 时， ，此时的解为 当 时， ，此时的解为a110aax11a1xa说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： 10aaR分类应做到使所给参数 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意a在讨论 时，解一元二次不等式 应首选做到将二次项系数变为正数再求解0a 01)(2x例 11 解不等式 x81032分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为 或
17、 ，而 等价于：)(xgf)(gf )(xgf)(xgf或 0)(xf2)(0xgf解：原不等式等价于下面两个不等式组： 01382x22)8(1038xx由得 ，5x或 8由得 ，.137428x或 81374x所以原不等式的解集为 ，即为 81374xx或 1374x说明：本题也可以转化为 型的不等式求解，注意：)(gf2)(0)(xgffxgf例 12.已知关于 的不等式 的解集是 ，求实数 之值0mn|51x,mn解： 不等式 的解集是2x|是 的两个实数根，15,由韦达定理知： 1n45练习已知不等式 的解集为 求不等式 的解集20axbc|23x20cxba解：由题意 ， 即 30
18、a60ac代入不等式 得： 2cxb25(0)xa即 ， 所求不等式的解集为 26511|32x1).恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AxfDDminfxA若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上B aB如（1）设实数 满足 ，当 时， 的取值范围是,y22(1)xy0xyc_（答： ） ；21,（2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围ax34xa_（答： ） ；（3）若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值)1(22m2mx范围_（答：（ , ） ） ；7123（4）若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取nan1)(2)1(na值范围是_（答： ） ；32,)（5）若不等式 对 的所有实数 都成立，求210xm1xx的取值范围.m
