1、第二十一章 一元二次方程211 一元二次方程1通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bxc0(a0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别活动 1 复习旧知1什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式(1)2x1 (2)mxn0 (3) 10 (4)x 2
2、11x3下列哪个实数是方程 2x13 的解？并给出方程的解的概念A0 B1 C2 D3活动 2 探究新知根据题意列方程1教材第 2页 问题 1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程2教材第 2页 问题 2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有 5个队参赛，每个队比赛几场？一共有 20场比赛吗？如果不是 20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有 x个队参赛，一共比赛多
3、少场呢？3一个数比另一个数大 3，且两个数之积为 0，求这两个数提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4一个正方形的面积的 2倍等于 25，这个正方形的边长是多少？活动 3 归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念1一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是 ax2bxc0(a0)，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项提出
4、问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制 a0，b，c 可以为 0吗？(3)2x2x10 的一次项系数是 1吗？为什么？3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)活动 4 例题与练习例 1 在下列方程中，属于一元二次方程的是_(1)4x281；(2)2x 213y；(3) 2；1x2 1x(4)2x22x(x7)0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是 2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为 0，这样的
5、方程不是一元二次方程例 2 教材第 3页 例题例 3 以2 为根的一元二次方程是( )Ax 22x10 Bx 2x20Cx 2x20 Dx 2x20总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等练习：1若(a1)x 23ax10 是关于 x的一元二次方程，那么 a的取值范围是_2将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项(1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x3.3教材第 4页 练习第 2题4若4 是关于 x的一元二次方程 2x27xk0 的一个根，则 k的值为_答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4.活动 5
6、课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第 4页 习题 21.1第 17 题.21.2 解一元二次方程212.1 配方法(3 课时)第 1课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a(exf) 2c0 型的一元二次方程重点运用开平方法解形如(xm) 2n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想难点通过根据平方根的意义解形如 x2n 的方程，将知识迁移到根
7、据平方根的意义解形如(xm) 2n(n0)的方程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1：填空(1)x28x_(x_) 2；(2)9x 212x_(3x_) 2；(3)x2px_(x_) 2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)( )2 .p2 p2问题 2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了 x29，根据平方根的意义，直接开平方得 x3，如果 x换元为 2t1，即(2t1)29，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老
8、师点评：回答是肯定的，把 2t1 变为上面的 x，那么 2t13即 2t13，2t13方程的两根为 t11，t 22例 1 解方程：(1)x 24x41 (2)x 26x92分析：(1)x 24x4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2) 21.(2)由已知，得：(x3) 22直接开平方，得：x3 2即 x3 ，x32 2所以，方程的两根 x13 ，x 232 2解：略例 2 市政府计划 2年内将人均住房面积由现在的 10 m2提高到 14.4 m2，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为 x，一年后人均住房面积就应该是 1010x10(1x)；二年后人均住房面积就应
9、该是 10(1x)10(1x)x10(1x) 2解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10(1x) 214.4(1x) 21.44直接开平方，得 1x1.2即 1x1.2，1x1.2所以，方程的两根是 x10.220%，x 22.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 22.2 应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为 20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习教材第 6页 练习四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2p(p0)的
10、方程，那么 x 转化为应用直接开平方p法解形如(mxn) 2p(p0)的方程，那么 mxn ，达到降次转化之目的若 p0 则方程无解p五、作业布置教材第 16页 复习巩固 1.第 2课时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接化成 x2p(p0)或(mxn) 2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如 x26x160 的一元二次方程的解题步骤难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3
11、x215 (2)4(x1) 290 (3)4x 216x169 (4)4x 216x7老师点评：上面的方程都能化成 x2p 或(mxn) 2p(p0)的形式，那么可得x 或 mxn (p0)p p如：4x 216x16(2x4) 2，你能把 4x216x7 化成(2x4) 29 吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x的
12、完全平方式而后二个不具有此特征既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x26x160 移项x 26x16两边加(6/2) 2使左边配成 x22bxb 2的形式x 26x3 2169左边写成平方形式(x3) 225 降次x35 即 x35 或 x35解一次方程x 12，x 28可以验证：x 12，x 28 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为 2 m，长为 8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例 1 用配方
13、法解下列关于 x的方程：(1)x28x10 (2)x 22x 012三、巩固练习教材第 9页 练习 1，2.(1)(2)四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有 x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、作业 教材第 17页 复习巩固 2，3.(1)(2)第 3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难点对于用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数
14、一半的平方；对于二次项系数不为 1的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x24x70 (2)2x 28x10老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略 (2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp) 2q 的形式，如果
15、q0，方程的根是 xp ；如果 q0，方程无实根q例 1 解下列方程：(1)2x213x (2)3x 26x40 (3)(1x) 22(1x)40分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x的完全平方式解：略三、巩固练习教材第 9页 练习 2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到五、作业布置教材第 17页 复习巩固 3
16、.(3)(4)补充：(1)已知 x2y 2z 22x4y6z140，求 xyz 的值(2) 求证：无论 x，y 取任何实数，多项式 x2y 22x4y16 的值总是正数.21.2.2 公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2bxc0(a0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程重点求根公式的推导和公式法的应用难点 一元二次方程求根公式的推导一、复习引入1前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法” ，比如，方程(1)x24 (2)(x2) 27提问 1 这种解法的(理论)依据是什么
17、？提问 2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程)2面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式)(学生活动)用配方法解方程 2x 237x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为 1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp) 2q 的形式，如果 q0，方程的根是 xp ；如果 q0，方程无实根q二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2
18、7x30 (2)ax 2bx30如果这个一元二次方程是一般形式 ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知 ax2bxc0(a0)，试推导它的两个根 x1 ，x 2 (这个 b b2 4ac2a b b2 4ac2a方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax 2bxc二次项系数化为 1，得 x2 xba ca配方，得：x 2 x( )2 ( )2ba b2a ca b2a即(x )2b2a b2 4ac4a24a
19、 20，当 b24ac0 时， 0b2 4ac4a2(x )2( )2b2a b2 4ac2a直接开平方，得：x b2a b2 4ac2a即 x b b2 4ac2ax 1 ，x 2 b b2 4ac2a b b2 4ac2a由上可知，一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2bxc0，当 b24ac0 时，将 a，b，c 代入式子 x 就得到方程的根 b b2 4ac2a(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最
20、多有两个实数根例 1 用公式法解下列方程：(1)2x2x10 (2)x 21.53x(3)x2 x 0 (4)4x 23x20212分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补：(5)(x2)(3x5)0三、巩固练习教材第 12页 练习 1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0；2)找出系数 a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算 b24ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，
21、代入求根公式，算出结果(4)初步了解一元二次方程根的情况五、作业布置教材第 17页 习题 4，521.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重点用因式分解法解一元二次方程难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x2x0(用配方法) (2)3x 26x0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以 2后，x 前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上( )12 12 14 142，同
22、时减去( )2.(2)直接用公式求解14二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x1)0 (2)3x(x2)0因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是(1)x0 或 2x10，所以x10，x 2 .12(2)3x0 或 x20，所以 x10，x 22.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘
23、积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1 解方程：(1)10x4.9x 20 (2)x(x2)x20 (3)5x 22x x 22x (4)(x1) 2(32x) 214 34思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？三、巩固练习教材第 14页 练习 1，2.四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0.五、作业布置教材第 17页 习题 6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
24、1掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用2培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系一、复习引入1已知方程 x2ax3a0 的一个根是 6，则求 a及另一个根的值2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3由求根公式可知，一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根为 x1 ，x
25、2 b b2 4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是b 与b .两根之间通过什么计 b b2 4ac2a b2 4ac b2 4ac算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1x 2 x1x2x22x0x23x40x25x60观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于 x的方程 x2pxq0(p，q 为常数，p 24q0)的两根 x1，x 2与系数 p，q 之间有什么关系？(2)关于 x的方程 ax2bxc0(a0)的两根 x1，x 2与系数 a，b，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1x 2 x1
26、x22x27x403x22x505x217x60小结：根与系数关系：(1)关于 x的方程 x2pxq0(p，q 为常数，p 24q0)的两根 x1，x 2与系数 p，q 的关系是：x1x 2p，x 1x2q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)(2)形如 ax2bxc0(a0)的方程，可以先将二次项系数化为 1，再利用上面的结论即：对于方程 ax 2bxc0(a0)a0，x 2 x 0ba cax 1x 2 ，x 1x2ba ca(可以利用求根公式给出证明)例 1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x23x10 (2)2x 23x50(3) x22x0 (4) x2 x13 2 6 3(5)x210 (6)x 22x10例 2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x22 x10 (x 1 1，x 2 1)2 2 2
