1、台阶设计中的建模分析数学系 2 班 李铭璜 03231022 一问题的提出台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？(下文主要针对上楼过程给出讨论，下楼的讨论在最后涉及)作为解决问题的第一步，我们首先来证明这个最佳设计的存在性，下面两张图为两种不同类型的台阶保持总高度，台阶宽度，体力消耗一定时令台阶高度 h 充分小，则台阶数目会充分大，最终上楼时间 t 趋于无穷。因此我们是不会去登此楼梯的。再令 h
2、充分大，而人腿运动能力是有限的，由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长，这种 h 我们同样无法接受。由于各种状态的连续变化，我们就可以断定，存在这样一个 h，使得 t 最小。同理，台阶长度 r 很小时，人无法站稳，r 充分大时，时间 t 趋于无穷。所以我们便有充足理由相信最优的 r，h 皆存在。分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观，下面我们将用数学的观点给出尽可能合理的解答。二问题的分析符号表示：M 人体质量g 重力加速度l 人的小腿长度v 人的正常行走速度F 上楼过程中腿部力量H 楼梯总体高度h 台阶高度r 台阶长度P 人体登上高度 H 的楼梯时最舒适的输出功率C 人的脚长要
3、细致而全面的分析此问题，可以将人登楼的全过程分解处理，将上楼的每一步设为一个单元，那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程，为了抓住主要矛盾并简化问题，一些人为的假设将是必要的。模型的假设：1，人每走一步脚的前端接触到 B 点。2，人的所有重量可以看成质点并集中在 O（与集中在 N 是等价的） ，其他部位没有重量3，每一步迈出同样的距离（台阶宽） ，并且连续前进。4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力 F，F 与 h 有关且在 h取定的情况下 F 大小不变且始终保持 ON 方向。5，上台阶过程做功只在 DN 段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P 恒定）上楼
4、。6，台阶宽度大于等于脚长运动的分解：可以将登上台阶看为两个运动过程1.（由 M 到 N）人若想登上台阶，向前倾斜重心将是第一步，毕竟人是前进的。要在 D 点发力，将 M 点移动到 N 点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近（这里将它们等同看待，速度也为 v，v 的方向近似水平） 。为了简化计算，可以令此段做功充分小从而可以忽略（因为我们的主要矛盾是上楼，此段做功的变化也是相当于平地上走 5 米与 10 米的区别，而这种差别在正常人看来是微乎其微的）2.（N 点竖直向上达到直立并回到初始状态）在此过程中所做的功为 F 的贡献（这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程
5、，因为当时的主要矛盾为球的初速度，所以可以将其近似看做线性关系，然而此时的重点是这个屈申过程，因此假设与模型机理自然不同） 。随后根据生物课所学知识，可以知道，人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的（伸缩方向只能沿腿的方向） ，因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力，方向总是沿着腿的方向，大小恒定（实际上 F 要随着角度的变化而变化，为了简化问题可以将其设为恒定） 。由于考虑到人在 2 过程上升时做的功实际为非保守力所做功（并不是 w=mgh） ，一个很简单的直观，就是同样登上两米的高度我们分 10 步与分 2 步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的
6、大小(也就是说台阶越高，我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念，假设 4 将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常，在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高，即功率 P 过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。三数据的获得行走速度 v 的测算：首先所谓“正常速度”就是一个模糊概念，但又是客观存在的，为了尽可能得到人正常行走时的速度并要求误差尽量的小，所以这里采用多次测量的方法。并且需要亲自进行实验。恰好家附近的楼门口的地面由方砖铺成，每块砖为正方形，边长为 0.48 米。这就为距离的测定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走
7、，规定走过五块砖时开始记时并规定这点为距离零点（为了将加速段去掉） 。最终得到 11 组数据距离(米) 时间（秒）1 2.4 2.032 2.88 2.423 3.36 2.784 3.84 3.225 4.32 3.576 4.8 3.977 5.28 4.478 5.76 4.819 6.24 5.1910 6.72 5.5311 7.2 6.05在 matlab 中进行拟合得到下图。一次多项式为 y=0.012909+0.83186x 所以算得自己的正常行走速度为 1.202m/s体重 53 公斤，小腿长 0.47 米，脚长 0.26 米，都是可以精确测量的。唯有功率P 未知，但由于我们
8、假定它的大小不变，所以在随后的模型求解中可以根据关系式将其反解出。四模型的建立由假设 台阶总数即为 （有分数出现时如 则可近似看为取hHnm每一小段时间的 倍。这种误差是可以被忽略的）nm设 那么过程一的时间为 且满足关系 代入可得过程xBEvAExcAE一的总时间为hHvxct1过程二的总时间为pFlft),(2其中 为 h,l,F,p 的函数由于我们假设了 M,N 点有近似相同的高),(pvFlhf度。那么 是与 x 无关的函数。若令总时间2t 21tT最小，一定要求 x 最小。所以可得 。我们得到结论台阶宽度应设计为0x近似脚长的宽度。由此，我们得到如下 A 图所示。并据此讨论 h 的变
9、化由于我们先假设 F 大小恒定。若 F 能带动人体上移，必要求 Fy 至少等于mg，那么在最省力的情况下，我们取 .此时我们已将 F 分解。因此 Nmgy点运动到 S 点过程中要求 F 所做的功只需对 Fx Fy 分别求功即可。我们将运动过程细致分析并放大为 B 图当台阶高为 h 时 Fy 方向上的做功：设 NNm 的长度为变量 m，当 Nm 由 N 运动到 S 时。M 由 0h 变化。计算得 )2()lhFmy用微元分析，当 m 变化m 时。 )()( mSySymFWy其中 S（m）为 Om 竖制直方向上运动距离。 2)()()(ymWy21F对 m 积分 )2(4)2(1)()()( 0
10、00 hlFdmlhdydyhhh 2，当台阶高为 h 时 Fx 方向上的做功：22)()(hllFmx微元分析，增加m，我们得到 )()()()( mSxmFxWmx 两边同除m，并令m0。因此)()(Sx其中 S（m）为 PmOm 的长度。对 m 积分dmhlmhllFdWxhh )2()2()()( 2200 由于我们假定的 F 为 h 的函数(h 取定时大小恒定)。所以取hlg2综上我们得到上楼总时间 vchHPWyxHtT)(1下面我们来由此式确定 T 的最小值，将参数 26.0c47.l53m8.9g2.1vP 待定。以上计算都可交给 maple 完成。计算过程如下 t:=m-sq
11、rt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2); :=tm.209.47012hm2 diff(t(m),m); 12.09.47012h2 e:=m-sqrt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)2)(1/2)*(-.4700000000+1/2*h-1/2*m)/0.47; em1.0638297 :=.209.47h.4012hm.209.472h int(e(m),m=0.h); .49h.2659748h2 wy:=h-(2*0.47*h-h2/2)/(4*0.47); :=wx.0.2 F:=
12、h-(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h); :Fh48.23619h wx:=h- .4999999999*h-.2659574468*h2 :=wy.9.57482由此，我们发现，Wx,Wy 做功基本是一样的。所以最终，总时间表示为f:=h-H*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h2+.5*h-.2659574468*h2)+0.26*P)/(h*P*1.2); :=fh.83H 58.329h.5319486h2.PP而且根据如上结果我们可以观察出人腿做功（Wx(h)+Wy(h)）与实际有效功Mgh之间的关系随h变化的过程图。其中红线为人腿做的总功，黄线为有效功Mgh。这种变化也是符合我们感觉的，例如，随h的增大，我们迈上台阶会感到越发的费力，h越大这种变化越明显。
