1、第 3 章 3.3 3.3.1、2一、选择题1若三条直线 2x3y 80，x y1，和 xky0 相交于一点，则 k 的值等于( )A2 B12C2 D.12答案 B解析 由Error!得交点(1， 2)，代入 xky0 得 k ，故选 B.122已知点 M(0，1) ，点 N 在直线 xy 10 上，若直线 MN 垂直于直线x2y30，则 N 点的坐标是( )A(2，3) B(2,1)C(2,3) D( 2，1)答案 C解析 将 A、B、C、D 四个选项代入 xy10 否定 A、B，又 MN 与 x2y30 垂直，否定 D，故选 C.3直线 l 的倾斜角为 30，且过点 B(0,1)，直线
2、l 交 x 轴于点 A，则|OA|、|AB| 的值分别为( )A1,2 B. ，23C1， D. ，2333答案 B解析 由直线 l 的倾斜角是 30及|OB|1 知，|AB|2 ，| OA| .34若直线 yx 上的点 Q 到点 P(0， )的距离为 ，则点 Q 的坐标为( )2 2A( ， )2 2B( ， )2 2C(0,0) 或( ， )2 2D( ， )或( ， )2 2 2 2答案 C解析 点 O(0,0)在直线 y x 上且满足|OP| ，故排除 A、B、D，选 C.25若两直线 2x3y k 0 和 xky120 的交点在 y 轴上，则 k 的值为( )A24 B6C6 D以上
3、都不对答案 C解析 由条件知 x0 时， ，k 6.k3 12k6过两直线 3xy 10 与 x2y70 的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )Ax3y70 Bx 3y130C2x y70 D3xy50答案 B解析 解法 1：交点坐标为(1,4) ，第一条直线斜率为3，所以所求直线斜率为 ，由13点斜式可得 y 4 (x1)，即 x3y 130.13解法 2：设所求直线方程(3xy1)(x2y7)0 整理得(3) x(12)y( 1 7) 0，由条件知，3(3)1(12) 0， 2，直线方程为 x3y 130.7已知 A(1,2)，B(5，2)，在 x 轴上有一点 P(x,0)满足|P
4、A| |PB|，在 y 轴上有一点Q(0，y)，它在线段 AB 的垂直平分线上，则(x，y)为( )A(3，3) B(3,3)C(3,3) D( 3，3)答案 A解析 (1)在 x 轴上取点 P(x,0)，使 |AP|BP |，则 ，(x 1)2 (0 2)2 (x 5)2 (0 2)2解得 x3.(2)在 y 轴上取点 Q(0，y)，使|AQ|BQ|，则 ，(0 1)2 (y 2)2 (0 5)2 (y 2)2解得 y3，故 选 A.8ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，则三角形 AB 边上的中线长为( )A. B.26 65C. D.29 13答案 A解
5、析 AB 的中点 D 的坐标为 D(1， 1)|CD| ；( 1 4)2 ( 1 ( 2)2 26故选 A.9若直线 l1：x a 2y60 和直线 l2：(a2)x3ay2a 0 没有公共点，则 a 的值是( )A1 B0C1,0 D1,0,3答案 C解析 若 l1 与 l2 不相交应满足 3aa 2(a2) 0，解得： a0、1、3当 a3 时，l 1 与 l2 重合，故 a1,0.10当 0m 时，直线 l1：mxy m 10 与 l2：xmy2m0 的交点所在的象限12为( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 由Error!，得交点( ， )mm 1 2m 1m
6、 10m 交点在第二象限12二、填空题11若线段 AB 在 x 轴、y 轴上的射影长分别为 a，b，则 A、B 两点间的距离为_答案 a2 b212函数 y 的最小值是_x2 1 x2 4x 8答案 13解析 y x2 1 x2 4x 8 (x 0)2 (0 1)2 ，(x 2)2 (0 2)2上式可看成点 P(x,0)到两定点 A(0,1)，B(2,2)的距离之和，即y|PA| PB|，求函数最小值 就是在 x 轴上求一点 P，使 |PA|PB| 最小，如图作 A 点关于 x轴的对称点 A(0，1) ，连结 AB 交 x 轴于 P 点，点 P 使|PA| PB|最小，即|PA| |PB| |
7、AB| .(2 0)2 (2 1)2 1313直线 l 过点 P(2,3) 且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，若 P 恰为线段 AB 的中点，则直线 l 的方程为_ 答案 3x2y 120解析 解法 1：由题意知直线 l 的斜率 k 存在，设直线方程为 y3k (x2) (k0) ，即 kxy2k30，令 x0，得 y2k3；令 y0，得 x 2，3kA( 2,0) ，B(0,2k3) ，3kAB 中点为(2,3)，Error! ，得 k .32直线 l 方程为 y3 (x 2)，32即直线 l 方程为 3x2y120.解法 2：设 A(a,0)，B(0，b)，P 为 A、B 的中点
8、， 2， 3，a 02 b 02a4，b6，直线 l 的方程为 1 ，即 3x2y120.x 4 y614分别求过两直线 l1：x 2y40 和 l2：x y20 的交点且满足下列条件的直线方程平行于 l：8x 6y110，_.垂直于 l2，_.答案 4x3y 60 xy20解析 解法 1：解方程组Error!得交点 P(0,2)由直线平行于 l 知斜率 k .43所求直线方程为 y2 x.即 4x3y6043直线垂直于 l2 知，斜率 k1，所求直线方程为 y2x ，即 xy20.解法 2：设所求直线方程为 x2y4 (xy2) 0.即(1 )x( 2)y(42) 0.与 l：8x6y110
9、 平行， ，1 8 2 6 4 211 ，直线 方程为：4x3y60.57与 l2：xy20 垂直，1(1)1(2)0， ，直线方程为：xy20.12三、解答题15直线 l 过定点 P(0,1)，且与直线 l1：x3y100，l 2：2xy80 分别交于A、B 两点若线段 AB 的中点为 P，求直线 l 的方程解析 解法 1：设 A(x0，y0)，由中点公式，有 B(x 0，2y 0)，A 在 l1 上， B 在 l2 上，Error! Error!k AP 1 20 4 14故所求直线 l 的方程为：y x1，14即 x4y40.解法 2：设所求直线 l 方程为：ykx 1，l 与 l1、l
10、2 分别交于 M、N.解方程组Error!N( ， )73k 1 10k 13k 1解方程组Error!M ( ， )7k 2 8k 2k 2M、N 的中点为 P(0,1)则有：( )0k .12 73k 1 7k 2 14故所求直线 l 的方程为 x4y40.解法 3：设所求直线 l 与 l1、l2 分别交于 M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为 MN 的中点，则有：Error! Error!代入 l2 的方程，得：2(x 1)2y 180 即 2x1y 160.解方程组Error!M (4,2)由两点式：所求直线 l 的方程 为 x4y40.解法 4：同解法 1，设 A(x0
11、，y0)，Error!，两式相减得 x04y 040， (1)考察直线 x4y 40，一方面由(1)知 A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线 x4y40 过点 P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线 l 的方程为：x4y40.16是否存在实数 a，使三条直线l1：axy10，l 2：x ay10，l 3：x ya0 能围成一个三角形？请说明理由解析 首先 a0 时，三条直 线能围成一个三角形当 a0 时，l 1 的斜率 k1a， l2 的斜率 k2 ，1a又 l3 的斜率 k 1，显然当 a1 时，三直线重合，a1 时，l 1l 2.由Error! ，得E
12、rror!，代入 axy10 中得 a2(a1 上已讨论)a2 时，三直线交于同一点 (1,1)，故当 aR 且 a1，且 a2 时，这三条直线能围成一个三角形17证明矩形的对角线长相等解析 设矩形为 ABCD，以 A 为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立直角坐标系，有 A(0,0)，设 B(a,0)，D(0，b)，则点 C 的坐标为( a，b)因 为|AC| ，(a 0)2 (b 0)2 a2 b2|BD| ，(0 a)2 (b 0)2 a2 b2所以|AC |BD|.因此，矩形的对角线相等18已知点 A(2,0)、B(0,2) ，试在线段 AB 上求一点 P，使得|OP|最小，并求出这个最小值解析 解法 1：直线 AB 的方程 为 yx2，点 P 在线段 AB 上，可设其坐标为(x,2x)，因此，| OP|2x 2(2x) 22(x1) 22，当 x1 时，|OP|最小，使|OP|取最小值的点为 P(1,1)，|OP|的最小值为 .2解法 2：显然 OPAB 时，| OP|最小，kAB 1，k OP1，2 00 2OP 的方程为 yx，又 AB 的方程为 xy2，P(1,1) ，| OP| .2
