1、1第一讲 图形的分割【知识引领】怎样把一个图形按要求分割成若干部分?怎样把一个图形分割成若干部分后再按要求拼接成另一个图形? 同学们已经学过初步的几何知识，接触过旋转、平移等割补方法。本 讲将进一步讲解这方面的知识和技巧。同学 们经过分割图形的 练习，可以提高 观察图形特点的能力，熟悉图形的性质学会分割 图形的技巧，增 强空间观念。【面对问题】例题 1 用四种不同方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。思路点拨：我们已经学过三角形的面积计算公式：三角形的面积=底高2，由这个公式很容易得出两个非常重要的结论。(1)等底等高的三角形面积相等。(2)甲、乙两个三角形等底(或等高 )，若甲的高(
2、或底) 是乙的高 (或底)的几倍，则甲的面积就是乙的面积的几倍。根据结论 1，我们可进一步得出结论：任何一条边上的中线把三角形面积平均分成二份。这道题要把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，根据“等底等高的三角形面积相等”这一规律，我们可以将三角形中的任意一条边四等分，再将各分点与这边对应的顶点边起来即可。还可把三角形先平均分成两份，再把其中的一份平均分成两份即可。星星细语：可以灵活应用等底、等高三角形面积之间的关系进行分割。尝试解答：用不同的方法把一个等边三角形分成面积相等的三部分。例题 2 将下图分割成五个大小相等，形状相同的图形。思路点拨：因为图中共有 15 个小正方形，所以分割成的
3、图形的面积应该等于155=3(个)小正方形的面积。 3 个小正方形组成的图形只有 和 两种形式(可以旋转) ，于是可得到下面两种分割方法。星星细语：先进行计算，再抓住图形的特征进行分割，是做这种题的基本方法尝试解答：如图，将它分成形状和大小都相同的四块。2例题 3 下图是一个 44 的方格纸。现在要求把这张正方形纸分割成大小相等、形状相同的四个部分。但要保持每个方格的完整。共有哪几种分法？思路点拨：44 的方格纸共有 16 个小方格。把它分成大小相等、形状相同的四个部分。且要保持小方格的完整，说明每个部分有 4 个小方格。把这四个小方格组合起来共有四种。请同学们试一下以上述图形中的一块为基本图
4、形，将 44 的小方格纸分成四部分，想一想，各有几种分法？尝试解答：如图是一张 34 的方格纸。请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。例 4 四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。思路点拨：上图所示的三角板 A 是直角， B 十 c=90。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将 A 作为外正方形的角( 左下图)和拼内正方形的角(下中图) 两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。星星细语：本题突破点是抓住三角板特殊角(直角) 的摆放，使问题得以解决。尝试解答：将一个正方形分成 4 个小正方形怎样分?分成 7 个
5、怎么办？10 个呢?例 5 如右图，长方形的长和宽各是 9 厘米和 4 厘米。要把它剪成大小和形状都，相同的两块，并使它们能拼成一个正方形。思路点拨：计算可知，长方形的面积是 36 平方厘米。不妨把这个长方形平均分成 36 个小正方形，每一个正方形的面积都是 1 平方厘米。而把它分成两块后再拼成一个正方形，图形的面积并没有改变，即拼得的正方形面积是 36 平方厘米，其边长是 6 厘米。相比之下，长方形的宽还少 2 厘米，而长多出了 3 厘米。我们可以把上面的长分成 6 厘米和 3 厘米两段，下面的长分成 3 厘米和 6 厘米两段。而长方形的宽从中间分成两半，即向下向上剪两个格，如(1)图所示。
6、此时长方形已经分成了大小和形状相同的两块，只需要把左面的一块3向上移动两个小格，再向右移动三个小格即可拼成正方形，如(2)图所示。星星细语：图形的剪拼可以先从面积入手，然后根据具体的题目要求来确定每一部分的形状和位置。在拼的时候，要注意平移和旋转的利用。尝试解答：如下图，把边长为 5 的正方形中间挖去一个边长是 1 的小正方形(阴影部分) ，再将这个图形分成两块，拼成一个长方形。【课内练习】1、将等边三角形纸片按图(a)所示的步骤折 3 次(图(a) 中的虚线是三边中点的边线), 然后沿两边中点的边线剪去一角(图 (b)。将剩下的纸展开、铺平，得到的图形是( )。2、将下图分成 4 个大小相等
7、、形状相同的图形。3、下图是一个 44 的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部，)4、.将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。5、.把一个长 5 厘米、宽 1 厘米的长方形分割、拼接成一个正方形。4【课外练习】1、怎样把一个平行四边形剪拼成一个长方形。 （画出示意图）2、将下图分成四个大小相等、形状相同的图形。3、你能把下面的图形分成面积和形状都相同的 5 块吗?在图上丬将分法画出来。4、你能把一个等边三角形分成大小、形状都相同的 3 个、4 个、6 个三角形吗？5、两个大小相同的正方形怎样拼成一个大正方形。 （拼一拼并
8、画出示意图） 。数海拾趣：巧剪妙拼王大娘是个高明的裁剪师，她做的衣服用布最节省，连一些边角废料，在她的手里都能利用，右面形状的两块布头，被她各剪一刀，竟神奇的拼成了正方形。小朋友，你知道王大娘是怎样剪拼的吗?家长留言： 签名：5第二讲 包含与排除 【知识引领】集合是指具有某种属性的事物的全体，组成集合的每个事物称 为这个集合的元素，它是数学中最基本的概念之一。如某班全体学生可以看做一个集合。每一个学生都是这个集合的元素。两个集合也可以做加法运算。把两个集合 A、B 合并在一起，就组成了一个新的集合叫做集合 C。计算集合 C 的元素个数的思考方法主要是包含与排除。先把 A、B 的一切元素都“包含
9、”进来，加在一起 ;再“ 排除”A、 B 公共元素的个数，减去加了两次的元素，即 C=A +B-AB，在解答包含与排除问题时，要善于使用形象的 图示帮助理解 题意，搞清数量关系和 逻辑关系。【面对问题】例题 1 一个班有学生 42 人，参加体育代表队的有 30 人，参加文艺代表队的有 25 人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人?思路点拨：我们通常可以画一个图帮助思考：画两个相交的圆，其中一个圆表示体育代表队，另一个圆表示文艺代表队，那么两圆的内部共有 42 人，而体育代表队的圆中有30 人，文艺代表队的圆中有 25 人，但 30+25=55，大于 42，这是因为两队都参
10、加的人被计算了两次，因此 55-42 =13，即是两队都参加的人数。30+25-42 =13(人)，答：两队都参加的有 13 人。星星细语：重叠一次容斥原理：两部分之和减去总数等于两部分的公共部分。.尝试解答：一个班有学生 45 人，参加数学兴趣小组的有 30 人，参加音乐兴趣小组的有 22 人，并且每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人?例题 2 求 100 以内即是 5 的倍数又是 7 的倍数的数的个数？思路点拨：100 以内 5 的倍数有 1005=20 个，7 的倍数有 1007=142 即 14 个。但 100 以内既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数的个数并不是 20+14
11、=34 个。因为在 100 以内有些数既是 5 的倍数，又是 7 的倍数，如 35，这些数在计算 5 和 7 的倍数时，重复统计了，因此要求 100 以内既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数的个数时，还应减去 100 以内 5 与 7 的公倍数的个数。100 以内 5 的倍数有 1005=20（个）100 以内 7 的倍数有 1007=142 即 14（个）100 以内 35 的倍数有 10035=230 即 2（个）20+14-2=32（个）答：100 以内既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数的个数是 32 个。星星细语：可以先求出每个部分的数量，在减去他们的重叠部分。尝试解答：1 至 10
12、0 的自然数中，是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个?例题 3 五年级一班 62 个同学在课堂小测验中，答对第一题的有 52 人，答对第二题的有 49 人，两题都答对的有 43 人。问至少答对一题的有多少人 ?两题都没有答对的有几人?6思路点拨：如图所示，已知答对第一题的有兑叭，答对第二题的有 49 人，根据题意先用 52+49=101(人)求出答对第一题和第二题的总人数，但其中两题都答对的 43 人被算了两次，用 101-43 =58(人)，就得到至少有一题答对的人数。所以，两题都答得不对的有 62-58=4（人） 。星星细语：你还能开动脑筋想出别的方法吗？尝试解答：某班 39 个同学
13、在一项测试中，答对第一题的有 28 人，答对第二题的有26 人，两题都答对的有 18 人。问至少答对一题的有多少人?两题都没有答对的有几人?例题 4 某班 58 人，参加数学竞赛的有 29 人，参加语文竞赛的有 28 人，如果两科都没参加的有 25 人，同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?思路点拨：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：58 -25=33（人） ，根据参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 29 人，可以求出两科竞赛同时参加的人数：28+29-33 =24 ( 人)。星星细语：你还能想出别的方法解答吗？尝试解答：一个旅行团有 42 人，其中会法语的
14、有 21 人，会英语的有 30 人，两样都不会的有 6 人。两样都会的有多少人?例题 5 育才小学举办学生美术作品展览分学校的橱窗里展出了各个年级学生的作品，其中有 22 幅不是四年级的，有 26 幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有 12 幅，其他年级参展的作品共有多少幅?思路点拨：由题意知，22 幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；26 幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。22+26=48(幅) ，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的 12 幅即得到两个一、二、三、六年级参展作品的总数，再除以 2，就求出了其他年级参展的作品。(22+
15、26 -12)2=18(幅). 答:其他年级参展的作品共有 18 幅。星星细语：要根据具体题目，认真分析，再利用容斥原理进行解答。尝试解答：新年到了，学校把同学们制作的新年贺卡进行展览。学校的走廊里挂出了各年级同学的作品，其中有 76 张不是二年级的，有 98 张不是一年级。一、二年级的参展作品共有 24 张。其他年级参展的作品共有多少张?【课内练习】1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 23 人，会弹电子琴的有 15 人，其中两种乐器都会演奏的有 7 人。这个文艺组一共有多少人?2、五年级选出 60 个同学参加作文竞赛和数学竞赛，结果 7 人两项竞赛都获奖了，有26 人两
16、项竞赛都没有获奖，已知作文竞赛获奖的有 15 人，问数学竞赛获奖的有多少人？73、四年级一班参加舞蹈队的有 16 人，参加合唱队的有 28 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 20 人。请算一算，这个班共有多少人?4、五(1)班同学排成 4 队做操，每队人数一样多。小华的位置是从前面数第 7 个，从后面数第 9 个。这个班共有多少个学生?5、儿童节那天学校举办各年级同学的书法作品展览。其中有 26 幅不是五年级的，有30 幅不是六年级的，五、六年级的参展作品共 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级的作品总数少 6 幅。三、四年级参展的书法作品共有多少幅？
17、6、在 1 到 120 的全部自然数中，既是 3 的倍数，又不是 6 的倍数的数有多少个?【课外练习】1、五年级(2)班有 64 名同学，订阅少年报的有 32 名同学。订阅 小学生数学报的有 51 名同学。已知两种报刊每人至少订一种，有多少名同学两种报刊都订了?2、某班有 58 个同学，其中 35 人参加数学兴趣组，31 人参加科技兴趣组，有 27 个人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有加?3、一个少儿俱乐部有 92 人，其中会下中国象棋的有 70 人，会下国际象棋的有 42 人，这两种棋都不会下的有 14 人。这两种棋都会下的有多少人?4、五(4)班同学排成 6 队做操，每列人数
18、一样多。小林站在第二列，从前面数或是从后面数，她都是第 6 个。五(4)班一共有多少个学生在做操?5、学校的展览室里展出了每个年级学生的手工作品，其中有 42 件不是三年级的，有38 件不是四年级的。三、四年级的参展作品共有 20 件。其他年级参展的作品共多少件?6.在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个？数海拾趣“135 岁”的爱迪生爱迪生是举世闻名的大发明家。他的一生有许多伟大的发明，使我们的社会和生活发8生了巨大的变化。在爱迪生 79 岁生日那天，他骄傲地对前来祝寿的人宣布：“我已经是135 岁的人了。 ”-大家都赞同和理解这句话，原因很简单
19、，爱迪生工作十分勤奋。从 12 岁当报童开始，就一直进行看孜孜不倦的学习和不懈的实验，从 16 岁发明电话自动拨号机起，一生中竟有 1000 多项发明创造。在工作中，爱迪生相信的是“勤奋加恒心” 。他常常废寝忘食，在研究电灯这漫长艰苦的 10 年中，他先后选用过 6000 种不同物质作灯丝。为此，他时常在实验室里连续工作 24 小时，有一次，他和助手们竟连续工作了 5 个昼夜。即使在 80 岁高龄的时候，他白天仍在实验室一工作就是一整天，晚上还要在书房里读 35 小时的书。正如他所言：“停止就意味着生锈。必须经常收获，而不能一生只收一次。 ”有时，采访者会问他准备何时退休，爱迪生回答有两种方式
20、，其一是“葬礼之前” ；其二是“当医生搬来氧气瓶时” ，这样的回答正好解释了爱迪生的那句名言“天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋!“爱迪生在几十年间几乎每天工作十几个小时，若用平常人每天工作 8 小时来计算，他的生命当然已经延长了。生命的长短用时间计算，生命的价值用贡献计算。家长留言： 签名：第三讲 因数和倍数【知识引领】因数和倍数是研究自然数之间关系的学问。裁 们在课本中已 经学习了 2,3,5 的倍数的特征，这里再补充几个数的倍数特征 : 1、是 2 和 5、4 和 25、8 和 125 的倍数的特征，分别看这个数的末一位、末两位、末三位是否是 2 和 5、4 和 25、8 和 12
21、5 的倍数。2、是 9 的倍数的特征：这个数各位上的数字的和是 9 的倍数。3、是 11 的倍数的特征：这个数的奇位上的数字的和与偶位上的数字的和的差是 11 的倍数。4、是 7,11,13 的倍数的特征:如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差(大数减小数 )是 7 或 11 或 13 的倍数，那么这个数就是 7 或 11 或 13 的倍数。【面对问题】例题 1 有两堆糖果，第一堆有 423 块，第二堆有 344 块，哪一堆平均分给 9 个小朋友而无剩余？思路点拨：本题实际就是要判断 432 和 344 是否是 9 的倍数，而 423 各位上数字的和是 4 +2 +3
22、 =9，是 9 的倍数，344 各位上数字的和是 3 +4+4=11，不是 9 的倍数。所以，第一堆可以平分给 9 个小朋友而无剩余，第二堆平分给 9 个小朋友还剩余 2 块。星星细语：应熟练掌握是 9 的倍数的特征，并能综合运用。尝试解答：判断 45 728 是否 4 的倍数?例题 2 有一些四位数，它们的百位数字都是 3，十位数字都是 6，并且它们既是 2的倍数，也是 3 的倍数。甲是这样的四位数中最大的，乙则是最小的。问：甲、乙两数各9是多少？思路点拨：根据我们学到的判断方法，我们知道：一个数若是 2 的倍数，则它的末位必为偶数；而它若是 3 的倍数，说明它的各个数位上的数字之和是 3
23、的倍数。而它们的百位数字是 3，十位数字是 6，这就等价于这些四位数的千位和个位的数字之和为 3 的倍数。首先，我们假设这样的四位数为 a36b，因为甲是这中间最大的，那么它的千位数字也就应当最大的，我们不妨从 a=9 试起。此时，要满足甲是 3 的倍数，于是就有 9 加 b 必须是 3的倍数，即 b 必须是 3 的倍数。而要满足甲是 2 的倍数，就必须满足 b 是个偶数。结合这两种情况得出 b=6,.或 b=0，因为甲是最大的，所以甲为 9366。因为乙是最小的，那么它的千位教字也就必须最小，我们可以从 a=1 这种情况试起，这个时候，要满足乙是 3 的倍数，必须有 1 加 b 是 3 的倍
24、数，又根据 b 为偶数和乙最小这两个条件，得出 b=2，所以乙为1362。星星细语：先满足 3 的倍数的条件求出数字和的可能值，再根据 2 的倍数特征判断个位数字。尝试解答：一个五位数是 3 口 65 它既是 3 的倍数，又是 25 的倍数。求满足这种条件的最大的五位数。例 4 判断 18 109 是不是 7 或 11 或 13 的倍数?思路点拨：根据是 7，11，13 倍数的数的特征，用末三位 109 减去末三位前面所组成的数，求出差，看这个差是不是 7，11，13 的倍数。就可以判断出 18109 是不是 7 或 11 或13 的倍数。109-18=9191 是 7 的倍数，18 109
25、也是 7 的倍数。91 不是 11 的倍数，18 109 也不是 11 的倍数。91 是 13 的倍数，18 109 也是 13 的倍数。星星细语：熟记一些常用数的倍数特征，对加快解题速度很有帮助。尝试解答：判断 25 102 是不是 7 或 11 或 13 的倍数?例题 3 一名采购员买了 72 只同样的水桶，洗衣服时不慎将购货发票洗烂了，只能依稀看到 72 只水桶，共口 67.9 口元（内的数字洗烂了） ，请你帮他算一算，每只水桶多少钱?思路点拨：将口 67. 9 口元看做口 679分，这是 72 只水桶的总价钱，因为单价72=口 679 口，所以679是 72 的倍数，而 72=89，所
26、以口 679同时是 8 和 9 的倍数。因为口 679 口是 8 的倍数，所以它的末三位数一定是 8 的倍数，容易算出口内应是 2，即个位数字是 2。又因为6792 是 9 的倍数，所以它的各个数位上的数字之和是 9 的倍数。6+7+9+2=24，即 24+口的和应是 9 的倍数，所以口应该是 3。72 只水同的总价是 367.92 元，每只水桶的价钱是 367.9272=5.11(元)。星星细语：本题运用了“一个数能被两个数的积整除，那么这个数就同时能被这两个数整除”这一整除性质。尝试解答：五年级有 72 名学生，课问加餐共交口 52.7 口元，每人交了多少元?例 5 在 865 后面补上
27、3 个数字，组成一个六位数，使它是 3, 4,5 的倍数，且使这个数10值尽可能地大。思路点拨：首先，要使六位数尽可能大，百位数字应该埴 9。其次，要求是 5 的倍数，个位数字可以填 0 或 5，但是若填 5，末两位数字就不是 4 的倍数。所以个位只能填 0。这样就剩十位数字要确定，根据是 3 的倍数的数特征，各位数字之和为 8+6+5+9+口+0=28+口，十位数字可以填 2, 5, 8；但是还要是 4 的倍数，十位数字只能为 2 或 8，要使六位数最大，十位应填 8。所以这个六位数为 865980。星星细语：要求能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被每个数整除的特征，但考虑时应注意顺序
28、：一般是，首先考虑被 2 或 5 整除，因为只需考虑个位数字，其次，考虑被 4 或 25 整除，因为此时只看末两位数字；再其次，考虑被 8 或 125 整除，因为此时只要看末三位数字，最后考虑被 3 或 9 整除，因为被 3 或 9 整除时要考虑各位数字之和，考虑的范围最广。尝试解答：若五位数 32A5B 同时是 2, 3, 5 的倍数，试求满足条件的所有这样的五位数。【课内练习】1、判断 2 684 962 是不是 7 或 11 或 13 的倍数?2、在内填上合适的数，使五位数 736既是 5 的倍数，也是 9 的倍数。3、若五位数 32A5B 同时是 2, 3, 5 的倍数，试求满足条件的所有这样的五位数。4、将自然数 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 依次重复写下去组成一个 1993 位数，试问：这个数是3 的倍数吗?5、李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔，共付人民币 9 口.2 口元。已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元?6、四位数 6A2B 能被 2,3,5 整除，这样的四位数有多少个?【课外练习】1、既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，还有因数 5 的最小两位数是多少? 最大的两位数是多少?
