1、第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分 160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程一、 （ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图） 若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长） ，要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于 1.
2、00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo 0 ）的粒子作角速度为 、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为 d ( d R ) ，在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为 d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知五、 （20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q 和
3、-Q (Q 0) ，半径分别为 R 和 R/2，小球面与大球面内切于 C 点，两球面球心 O 和 O的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点 B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为 m，带电荷为q(q0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静电力常量为 k，重力加度为 g. 1要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点，所需的最小初动能为多少？ 2要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、 （ 20 分）由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列n=1 时，正方形网络边长为
4、 L,n= 2 时，小正方形网络的边长为 L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为 L/9当 n=1、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？七、 （15 分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波） 热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四
5、次方成正比，即 J=T4 ,其中是一个常量已知太阳表面温度 Ts=5.78103 K ，太阳半径 Rs=6.69105 km ,地球到太阳的平均距离d=1.50108 km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为=0.38 . 1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 =0.30 ，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？ 2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为 1=0.85 ，其余部分的反射率处 2=0.25 间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K .八、 （20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角 =
6、45 0 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.九、 （ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0 ，粒子 1 静止，粒子 2
7、 以速度 v0与粒子 1 发生弹性碰撞1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角若不考虑相对论效应结果又如何？2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.一、参考解答：1以 表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是 40s 的整数分之一，即il（N i 为正整数） （1）ii402lTg(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.由(1)可得，各单摆的摆长（2）i2il依题意， ，由此可得i0.45m1.0l（3）i0.45gN即（ 4）i29因此，第 i 个摆的摆长为（5）i240(1i)gl,10)i
8、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.4722 0s评分标准：本题 15 分第 1 小问 11 分 （2）式 4 分， （4）式 4 分，10 个摆长共 3 分第 2 小问 4 分二、参考解答：设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为 ，根据题意有d（1）2L将有关数据代入（1）式，得 又根据质心的定义有AU1053d（2）Mdrm式中 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有r（3）22GrT由（2） 、 （3）两式得（4）2341d
9、Mm若考生用 表示行星到恒星 行星系统质心的距离，从而把(2)式写为 ，把(3) 式写为r Mdrm，则同样可得到(4)式，这也是正确的. 利用（1）式，可得22MmGdT（5）3221LGTm（5）式就是行星质量 所满足的方程可以把(5)试改写成下面的形式（6）33221M因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得（7）3S2(AU)y4G注意到 ，由（6）和（7）式并代入有关数据得SM(8)3102S8.61mM由（8）式可知 S由近似计算可得（9） 3S10mM由于 小于 1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即 mM（10）32(1AU)yrT代入有关数据得（11）5r评分标准：本
10、题 20 分（1）式 2 分， （2）式 3 分， （3）式 4 分， （5）式 3 分， （9）式 4 分， （11）式 4 分三、参考解答：解法一一倾角为 的直角三角形薄片(如图 1 所示) 紧贴于半径为 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形R薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有（1）tan2R可得， （2）5sicos设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为 ，则环上每一质量为 的小质元绕转轴转动im线速度的大小都相同，用 u 表示，（3）uR该小质元对转轴的角动量 2iiiLm整个螺旋环对转轴的角动量（4）2iiR
11、小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为 时，设小球相对螺旋环的速度为 ，则小球在水平面内作圆周运动的速度为v（5）cosP沿竖直方向的速度（6）sinv对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为 0，系统对转轴的角动量守恒，故有（7）0mRLP由（4） 、 （5） 、 （7）三式得（8） vcos=图1hm vu在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有（9）22i11mghmuPv由（3） 、 （5） 、 （6） 、 （9）四式得（10）2222sin=RRcos解（8） 、 （10）二式，并利用（2）式得（11）13gh（12）
12、v=0由（6） 、 （12）以及（2）式得（13 ）23gh或有（14）21v（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度（15）3ag若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为 ，则有t（16）21h=由（11）和（16）式得（17）3gtR（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度（18）小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力 ，在图 1 所示的薄片平面内，方向垂直于薄片N的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力 的反作用力 向心力 在水平222N面内，方向指向转轴 C，如图 2 所示 、 两力中只有 对螺旋环的转轴有力矩，由角动121量定理有（
13、 19）1sinNRtL由（4） 、 （18）式并注意到 得tCRm 2图2（20）153sinmgN而（21）22RPv由以上有关各式得（22）23hNmg小球对螺旋环的作用力（23）22145hR评分标准：本题 22 分（1） 、 （2）式共 3 分， （7）式 1 分， （9）式 1 分，求得（11）式给 6 分， （20）式 5 分， （22）式 4 分，（23）式 2 分解法二一倾角为 的直角三角形薄片(如图 1 所示) 紧贴于半径为 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形R薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有（1）
14、tan2可得， （2）5si 5cos螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为 的位置时，设小球相h对薄片斜边的速度为 ，沿薄片斜边的加速度为 薄片相对地面向左移动的速度为 ，向左移动的加vau速度为 就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为 ，则有0au （3）uR而 就是螺
15、旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为 ，则有0 （4）0a图 1hm vu小球位于斜面上的受力情况如图 2 所示：重力 ，方向竖直向下，斜面的支持力 ，方mgN向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力 ，方向水平向右，其大小f（5）0fa由牛顿定律有（6）cossinmgNf（7）ima（8）0s解（5） 、 （6） 、 （7） 、 （8）四式得（9）2insa=g（10）co1iNm（11）02+sn利用（2）式可得（12）53a=g（13）Nm（14）013ag由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度（15）R若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为 ，则
16、此时螺旋环的角速度t（16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度（17）sina故有（18）21h=t由（15） 、 （16） 、 （17） 、 （18） 、以及（2）式得（19）3ghR小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2 中的纸面垂直，亦即与 垂直向心力的大小N（20）21mRPv式中 是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若 为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则AvaA有（21）tPv令 为 在水平面内的分量，有aA（22）00cosaaP-由以上有关各式得（2
17、3）123hNmgR小球作用于螺旋环的力的大小（24）201由（13） 、 （23）和（24）式得（25）20453mghNR评分标准：本题 22 分（1） 、 （2）式共 3 分， （9）或（12）式 1 分， （10）或（13）式 5 分， （11）或（14）式 1 分，（19）式 6 分， （23）式 4 分， （25）式 2 分四、参考解答：以 v 表示粒子的速率，以 B 表示电流 i 产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有（1）2qmRv而（2）由（1） 、 （2）两式得dR qtO xyi（3）mBq如图建立坐标系，则粒子在时刻 的位置
18、t， （4）()cosxRt()sinyt取电流的正方向与 y 轴的正向一致，设时刻 t 长直导线上的电流为 ，它产生的磁场在粒子所在处()i磁感应强度大小为 （5）()itBkdx方向垂直圆周所在的平面.由（4） 、 （5）式，可得（6）()(cos)mitRtq评分标准：本题 12 分（3）式 4 分， （4）式 2 分， （5）式 4 分， （6）式 2 分五、参考解答：1质点在 应作减速运动（参看图 1） 设质点在 A 点的最小初动能为 ，则根据能量守恒，ABk0E可得质点刚好能到达 B 点的条件为（1）k03/225/kqQqQmgRE由此可得（2）k072 质点在 的运动有三种可能情况：BOi质点在 作加速运动（参看图 1） ，对应条件为（3）249kqQmgR此时只要质点能过 B 点，也必然能到达 O 点，因此质点能到达 O 点所需的最小初动能由（2）式给出，即（4）k073qEg若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的 略大一点k0Eii质点在 作减速运动（参看图 1） ，对应条件为BO（5）24kqQmgROCABRRQM 2qN图1
