1、1第十二章 轴对称复习案一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形 ,这条直线就叫做 .折叠后重合的点是对应点,叫做 .2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的 3.等腰三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做 ,另一条边叫做 ,两腰所夹的角叫做 ,底边与腰的夹角叫做 .4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做 .二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的 .2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上
2、的点与这条线段两个端点的距离 .3.通过画出坐标系上的两点观察得出:(1)点 P(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为 P(x,-y).(2)点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为 P(-x,y).4.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角 (简称“等边对等角” ).(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合.(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的 .(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也 .(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的 。(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的 . 5.
3、等边三角形的性质(1)等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 .(2)等边三角形是轴对称图形,共有 条对称轴.(3)等边三角形每边上的 、 和该边所对内角的平分线互相重合.2三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上.2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边 (简写成“等角对等边” ).3.三个角都相等的三角形是 三角形.4.有一个角是 60的 三角形是等边三角形.四、误区警示1注意分类讨论思想,如等腰三角形的周长为 20,有一边为 8,这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底。再比如涉及三角形的高时,通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。2应用“三线合一”
4、性质作辅助线时,所作的辅助线不能同时满足两线的性质(如过点 A作 EF BC,并使 EF 平分 BC) 。3不要认为:有一个角等于 300,那么它所对的边就一定等于另一条边的一半,前提条件是在直角三角形中。五、课堂探究(一). 专题训练 1 专题一:根据轴对称及线段垂直平分线性质的作图题1如图所示,EFGH 是一矩形的弹子球台面,有黑、 白两球分别位于 A、B 两点的位置上,试问:怎样撞击白球,使白球先撞击边 EF反弹后再击中黑球?2. 如图所示,一牧人带马群从 A 点出发,先到草地边缘 MN 放牧,再带马群到河边缘 PQ 去给马饮水,试问: 牧人应走哪条路线才能使总路程最短?专题二:线段垂直
5、平分线性质的运用1.如图所示,在ABC 中,AB=AC ,A=120,AB 的垂直平分线 MN分别交 BC、AB 于点 M、N,求证:CM=2BM BAH GFEBAQPNMNMCB A32如图所示,AD 是ABC 的角平分线,EF 是 AD 的垂直平分线,交 BC 的延长线于点 F,连结AF求证:BAF=ACF专题三:等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想与方程思想1已知等腰三角形的一个内角是 800,则它的另外两个内角是 2已知等腰三角形的一个内角是 1000,则它的另外两个内角是 3已知等腰三角形有两边的长分别为 6,3,则这个等腰三角形的周长是 4已知等腰三角形的周长为 24,一边长为
6、6,则另外两边的长是 5已知等腰三角形的周长为 24,一边长为 10,则另外两边的长是 6等腰三角形的周长是 16,其中两边之差为 2,则它的三边的长分别为 7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30,则它的顶角度数为 8一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 15cm 和 18cm 两部分,则这个等腰三角形的底边长是 9如图, DEF =36 ,AB=BC=CD=DE=EF,求 A专题四.关于等腰三角形证明题1如图所示,F、C 是线段 BE 上的两点, A、D 分别在线段 QC、RF 上, AB=DE,BF=CE ,B=E,QRBE求证:PQR 是等腰三角形BAFED CFEDCB
7、APQ RF EDCBA42.(参考题)如图,在 RtABC 中,AB=AC ,BAC=90,D 为 BC 的中点.(1)写出点 D 到 ABC 三个顶点 A、B、C 的距离的关系(不要求证明)(2)如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动, 在移动中保持 AN=BM,请判断DMN 的形状,并证明你的结论(3)如图:由四个小正方形组成的图形中,请你添加一个小正方形,使它成为一个轴对称图形(4)画出ABC 关于直线 l 的轴对称图形AB C(5)在矩形 ABCD 中,将ABC 绕 AC 对折至AEC位置,CE 与 AD 交于点 F,如图.试说明 EF=DF.(6)在 RtABC 中,C=90 0,BD 平分ABC 交 AC 于点 D,DE 垂直平分线段 AB,试找出图中相等的线段,并说明理由。若 DE=1cm,BD=2cm,求 AC 的长NMDCBA