1、第 1 页 共 6 页南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案 序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2007 年 9 月 16 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分题分 15 15 6 6 7 7 8 7 7 7 8 7 100累分人 签名得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为 8:3011:30.一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1、 . 2、0 . 3、 . 4、 . 5、12 .61e3a二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.第 2 页 共 6 页三、 （本题满分 6
2、 分） 设 为连续函数, ,讨论当 时 的极限是否存在.f01axgfdx 0ag当 时，则0a01lim()(lim()(axfdxf积分中令 则 2,2001)1li(0)2aaxfdf当 时，则0a 0li()( lim2()axfd 令. 43()2f（1） 当 时， 的极限存在，ga（2） 当 时， 的极限不存在 60f四、 （本题满分 6 分） 设 为连续函数,满足方程 ,求 .fx021xxfetfdtfx10021xxfeftdtfxfxft22xe30,ff求得 4xye通解 512xc特解 6x得分 评阅人得分 评阅人第 3 页 共 6 页五、 （本题满分 7 分） 设 ，
3、其中 均为常数， 为从点sincosx xLIeybdeyad ab、 LA沿曲线 到点 的一段弧.2,0a2ax0,O利用格林公式.添加从点 沿直线 到点 的有向直线段 ,则(,)y(2,0)A*sincossinx x xLLIeybdeadeybdx A. 1coxa12I对于 ,因为 为封闭曲线,由格林公式知 31I* 21()();DIbadba对于 ,直接计算 52I220().aIbxda所以, . 72312六、 （本题满分 7 分） 设 在 上连续，且 ，求 .xf0,110fxdA101xftdxfd解：令 ，则 ， .于是,()xftd()()A原式= 1100(10()
4、()xd10x= ()A解法二： = 110xftdxfd 1100xftdxfd= 4t= 61100ftf= = 7dA得分 评阅人得分 评阅人第 4 页 共 6 页七、 （本题满分 8 分） 已知正项级数 收敛，试判断数列 的敛散性.1na121naa证 设级数 的前 项的部分和1nS2na由正项级数 收敛知存在 使得 ， 110MnS312()()naA 12l()ln()l(1)aae由于当 时 ，因此0xlnx61212l()l()l(1)nnae S又由于 是单调递增数列， 712na因此数列 收敛. 8八、 （本题满分 7 分） 计算曲面积分 ，其中 是锥面 被平面 和2Iyd
5、zxzdy2zxy1z所截出部分的外侧.2z利用高斯公式.补充有向曲面 : 下侧；有向曲面 : 上侧.利用高斯公式,有12212 2yzxzyAzd210zrdA45其中 为: .又由于 , 5xyD22z1 12ydzxzyxd, 62 24()6dzdx A故7121255()16.IA得分 评阅人得分 评阅人第 5 页 共 6 页九、 （本题满分 7 分） 设 ，其中函数 具有二阶连续导数，求 .xyuyfg,fg22uxy令 ，则,vwufvxw2yfgx42231uvyx622yfgwx=0 72uy十、 （本题满分 7 分） 设函数 满足方程 ,且由曲线 、直线 与 轴围fx236
6、xffxyfx1x成的平面图形 绕 轴一周所得旋转体体积最小，求 .D方程通解 2326yc旋转体体积 41123006Vdxcxd= 5275令 ,xc270V736f得分 评阅人得分 评阅人第 6 页 共 6 页十一、 （本题满分 8 分） 求级数 的和函数.213nnx令 ， 12t1nts当 时， ，0xt1nt， 311nntt501 ltntdtt= ， 723nx22l3x3x当 ， =0 801nn十二、 （本题满分 7 分） 设对任意 ，有 ， ，试证 .,xab0fxfx2bafxdf证 在 上的一阶台劳公式为()f,t, 介于 与 之间. 221()()2!xfxtfxtxt因为 所以 .于是,有 30,f0()().fft不等式两边在 上对 积分,得abt()()()babfxfdfxtd()()b ba aftxtfftd. 42x所以 62()()()(.baftfxbfxf又 所以 .即0,0,0,xa)()batdaf7()().abffd
