1、黑龙江省哈尔滨市第六中学 2009 届高三第一次模拟考试数学理科试卷本试卷分第卷(选择题)和第 卷(非选择题) 两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟；第卷（选择题 满分 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 21|log,1|(),02xAyxBy，则 AB为 （ ）A)2,0(B ),2(C(,)D (0,2)2若复数 ia13（aR ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 （ ）A2 B4 C6 D63函数xxf 32sin)32sin()的图象相邻的两条对称轴之间的距离
2、是 （ ）A、 B、 6 C、 2 D、 434已知向量 )1,(xa， b(1, x1)，则 |ba的最小值是 （ ）A1 B 2C 3D25已知数列 n为等差数列，且 1714，则 12tan() （ ）A 3 B 3 C 3 D36下面给出四个命题： 直线 l与平面 内两直线都垂直，则 l； 经过直线 a有且仅有一个平面垂直于直线 b； 过平面 外两点，有且只有一个平面与 垂直； 直线 l同时垂直于平面 、 ，则 ；其中正确的命题个数为 （ ）A、0 B、1 C、2 D、37一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共 15 只，以不同的点亮方603xy式增加舞台效果，设计者按
3、照每次点亮时，恰好有 6 只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是 （ ）A28 B84 C180 D3608直线 0axby与圆 230xy的位置关系是 （ ） A相交 B相离 C相切 D与 a、 b的取值有关9已知 x，y 满足， zxy若 的最大值为 93a，最小值为3a，则 a 的范围为 （ ）A 1 B 1a C 1a D 1a或10若()sin2()3fxxf, 则()f与f(3的大小关系是 ( )A)3(f)(fB)(f)(fC)(f)3(fD不能确定11椭圆21 0xyaba的中心、右焦点、右顶点、右准线与 x轴的交点依次为
4、OFAH、 、 、 ，则|FO的最大值为 （ ）A12B13C14D不能确定 12如图，已知平面 平面 ， A、 B是平面 与平面 的交线上的两个定点，,DCB，且 A， C， 4D， 8C， 6AB，在平面 内有一个动点P，使得 BP，则 A的面积的最大值是 （ ）A 24 B 3 C 12 D第卷 （非选择题 满分 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上13二项式6)2(x的展开式中常数项为_；14在四面体 ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为 34、 1、5，则此四面体ABCD 的外接球的半径 R 为_；15已知 12F
5、、 分别为双曲线21(0,)xyab的左右焦点， P为双曲线左支上的一点，若21|8|Pa，则双曲线的离心率的取值范围是_；16对于函数,0()21xef（ a为常数，且 0） ，给出下列命题： 函数 fx的最小值为-1； 函数 ()在每一点处都连续； 函数 fx在 R 上存在反函数； 函数 ()在 0处可导； 对任意的实数 12,x且 12x，恒有1212()(xfxff；其中正确命题的序号是_；三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本题满分 10 分）在 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ， (2,)bcam，(cos,)
6、n，且 mn；（1 ）求角 的大小；（2 ）当2sini()6yB取最大值时，求角 B的大小；18. （本题满分 12 分）一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个球,取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为 ；（1 ）求 时的概率；（2）求 的概率分布列及数学期望；19. （本小题满分 12 分）如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边 BC，且使两个三角板所在平面互相垂直，若 90BACD， ABC， 60D， （）求证：平面 平面 （）求二面角 的平面角的余弦值（）求 到平面 的距离20. （本题满分 12 分）已知函数23l
7、n)(xxf；（1 ） 上 的 极 值在求 1,0f；（2 ）若对于任意 ,3x，不等式 5ln)(xfa恒成立，求实数 a 的取值范围；（3 ）若关于 x 的方程 bf2)(在 1,0上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围；ABCD21. （本题满分 12 分）已知数列 na中，2111, (,)nnnaaN，且1nak；（1 ）求证： k；（2 ）设1()!nxg， ()f是数列 ()gx的前 项和，求 ()fx的解析式；（3 ）求证：不等式32fn对于 N恒成立；（ 3）问只理科生做，文科生不做）22 （本题满分 12 分） 在ABC 中， 32AC，B 是椭圆1452yx的上顶点
8、，l 是双曲线 22yx位于 x轴下方的准线，当 AC 在直线 l 上运动时（1 ）求ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程；（2 ）过定点 F(0， 23)作互相垂直的直线 l1、l2，分别交轨迹 E 于 M、N 和 R、Q；求四边形 MRNQ 的面积的最小值；哈尔滨市第六中学 2009 届高三第一次模拟考试理科数学试卷答案一、选择题： 1. C 2. D 3.C 4. B 5. A 6.B 7. A8. A 9. C 10. B11. C 12. C二、填空题： 13. 60 14. 5215. (1,3 16. 三、解答题：17 （本题满分 10 分）在 ABC中，角 、 、 的对
9、边分别为 abc、 、 ， (2,)bcam，(cos,)n，且 mn；求角 的大小；当2sii()6yB取最大值时，求角 B的大小；解：由 n，得 0A，从而 (2)cos0bAaC由正弦定理得 2sicosiniCsic(),nB,(0,)A， 1si0,cs2BA， 3（4 分）2sini()(o)sincos2in666y B311icosi(2)6B由 ()得，270,62B时，即 3B时， y取最大值 （10 分）18. （本题满分 12 分）一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最
10、大的数为 .（1 ）求 3时 的概率；（）求 的概率分布列及数学期望 .18. 解：（解法一 ） （） 3表示取出的三个球中数字最大者为 3三次取球均出现最大数字为 3 的概率31()4P三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率236()4C三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率123()P 1239(3)64PP 4 分（）在 k时, 利用（）的原理可知： 23213131()()()4446kkkPC,( =1,2,3,4) 的概率分布为：E=1 2 3 4 = 12 分164 764 1964 3764 5516（解法二） （） 表示取出的三个球中数字最大者为 3329()4
11、6P 4 分（）在 k时, 利用（）的原理可知：32(1)31()644k,(k=1,2,3,4) 的概率分布为： P437E=1 2 3 4 = 12 分164 764 1964 3764 551619 （本小题满分 12 分）解：（）由于平面 ABC平面 D，且 BC，那么 BD平面 AC，而 平面ABC，则 D，又 A, ，所以 平面，又因为 平面 ,所以平面 平面 A；（）取 中点 E，作 F于 ，连 ,EF，则 平面 ， FE为二面角的平面角。RtABC中， 6，则 32ABC， 3A， C，32E，tEF中，tanEF二面角 D的正切值为 2；（）作 BHA于 ，则 BH平面 AD
12、Rt中， 23， 0，65B，即 B到平面 ACD的距离为65。20 (本大题满分 12 分)已知函数23lnxxf（1 ） 上 的 极 值在求 1,0)(f。（2 ）若对于任意 ,3x，不等式 5ln)(xfa恒成立，求实数 a 的取值范围。（3 ）若关于 x 的方程 bf2)(在 1,0上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围。解：（） 23)(3)( xxf（1 分） P437EDFABC令 0)(xf得 31或 x（舍去）列表得： 6lnf为函数 )(f在 1,0上的极大值,无极小值；（4 分）（）由 5l)(xfa，可得 5lnxa或 5ln)(xfa即 n或 )(f 由（）当
13、1,3x时， max1ln36ff， min3()(1)l52fxf 5ln)(fa恒成立，5ll l)(xf恒成立， 23ln5la a的取值范围为： 61ln或 （8 分）（）由023)2l()( bxxbxf令x3)2ln()2（或令23()ln)x求也可）则 xx3973)( 2令 0)(得 或（舍去）当37,x时， 0)(x，于是 )(x在37,0上递增当1,时， )(，于是 )(在1,上递减而137,0)37( bxf2即 )(在 ,0恰有两个不同实根等价于0215ln)(376)370l)0( bb由此得： 3726)l(l b（12 分）21. （本题满分 12 分）已知数列 na中，2111, (,)nnnaaN，且1.nak（1 ）求证： k；（2 ）设1()!nxg， ()f是数列 ()gx的前 项和，求 ()fx的解析式；（3 ）求证：不等式32fn对于 N恒成立。（1 ）11kan， 121ka又因为 )2*,(,2111 nNnnn，则213a，即231a，又23ka， ka2， .4 分（2 ）1n，!12)(121 nnann .5 分因为1)!()nnxaxg，所以当 x时，)(3)( f.6 分当 1时，123nf，xxxf2)(，-：nnxxf 11)(12，
