1、巧解排列组合的 21 种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的 21 种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的,ABCDE,ABA排法种数有A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，,种，答案： .42D2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把
2、无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 种，再用甲乙去插 6 个空位有 种，不同的排5A26A法种数是 种，选 .526303.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那,ABCDEBA,B么不同的排法种数是A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种解析：
3、在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排A列数的一半，即 种，选 .51602B4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9 种填法，选 .5.有
4、序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .2075CC（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有A、 种 B、 种 C、 种 D、 种4128C412834312
5、8A41283A答案： .6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共24C3A有 种方法.2346CA说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种答案： .7.名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10
6、 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.6984C8.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方48A法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；若乙参
7、加而甲不参加同理也有 种；383 8A若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种.28A287 43288740A9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9.（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是 0、1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有 、5A、 、13413和 个，合并总计 300 个,选
8、.2 B（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 共有 14 个元,14298A素,不能被 7 整除的数组成的集合记做 共有 86 个元素；由此可知，从1,234,0IA中任取 2 个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种A214CI1486C情形共符合要求的取法有 种.8695（3）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和
9、能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集,10I；能被 4 除余 1 的数集 ，能被 4 除余 2 的数集4,8120A 1,597B，能被 4 除余 3 的数集 ，易见这四个集合中每一个有 252,698C 3,719D个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数ABC也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种.2125510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .()()()nBnA例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力
10、赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.()()nIAnB4326545A11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 种方法；13A4A所以共有 种.14372A12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再
11、分段处理.例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共6720种，选 .C（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 种，某 1 个元素排24A在后半段的四个位置中选一个有 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 种，故共有14A5种排法.1254760A13.“至少” “
12、至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选.3394570解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2台乙型 1 台；故不同的取法有 台,选 .21254CC14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14.
13、（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种， “再排”在四24C个盒中每次排 3 个有 种，故共有 种.34A2341CA（2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各 2 名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，254 2A故共有 种.25410CA15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70
14、 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但 6 个表面和 6 个48C对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个.1258（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种解析：10 个点中任取 4 个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的410四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；过空间四边形各边中点的646C平行四边形共 3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情
15、况的种数是 种.4106314C16.圆排问题线排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按nn顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：n在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重12323411,;,;,nnnaaa 合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的!元素全排列.n例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可4A插入其姐姐
16、的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 种不同站法.52768说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法.nm1mn17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有n种方法.nm例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案 .6718.复杂排列组合问题构造模型法:例 1
17、8.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 种35C方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码
18、相同，问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对25C应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 种.20C20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2 必取，3，
19、5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.012345532CC（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所4125C以 8 个顶点可连成的异面直线有 358=174 对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的410C交点有 个.410C（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路AB径有多少种？AB解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走 7 小段，其中：向东AB4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.47C
