1、极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数yx,t并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这条曲线上，),(tgyfxt ),(yxM那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
2、,t相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点 Po(x0,y0)，倾斜角为 的直线 的参数方程是l(t 为参数，其几何意义是 PM 的数量)atyxsinco0(2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tg= 的直线的参数方程是ab(t 为参数， ) btyx01tan3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是 ( 是参数)sincorbyax(2)椭圆 椭圆 (ab0)的参数方程是 ( 为参数)12yax i椭圆 (ab0)的参数方程是 ( 为参数)2 sincoaybx
3、(3)抛物线 抛物线 的参数方程为pxy为 参 数tp24.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线 Ox 叫 做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点，用 表示线段 OM 的长度， 表示射线 Ox到 OM 的角度 ，那么 叫做 M 点的极径， 叫做 M 点的极角，有序数对(,)叫做 M 点的极坐标.注意：点 与点 关于极点中心对称；点 与点),(P),(1),(P是同一个
4、点；如果规定 ，那么除极点外，平面内的点,(20,2可用唯一的极坐标 表示（即一一对应的关系） ；同时，极坐标 表示的点也是唯, ,一确定的。极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 P( ， )（极点除外）的全部坐标为( , )或（ ， ） ，( Z)极点的极径为 0，k2)12(k而极角任意取圆的极坐标方程以极点为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；aa以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；(,0) cos2以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；2 in直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是 和
5、. )0(0)过点 ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 . 化为直角坐标)0(,aA acos方程为 .x过点 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 . 化为直角坐标方程为(,)2in.ya极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式 的象限由点(x,y)所在的象限确定sincoyx)0(22xytg三、课前预习1直线 的参数方程是（ ）12xA、 （t 为参数） B、 （t 为参数） 2y 142yxC、 （t 为参数） D、 （t 为参数）12yx1sin2yx答案：C2已
6、知 ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )3,5MA、 B、 C、 D、, 34,532,535,答案：A3在极坐标系中，圆 =-2sin 的圆心的极坐标系是（ ）A、 B、 C、 (1,0) D、(1， )(1,)2(1,)2 解：将极坐标方程化为普通方程得： ，圆心的坐标为 ，其极坐标0yx 1,0(为 ，选 B)3,(4点 ，则它的极坐标是 ( ),1PA、 B、 C、 D、3,234,23,234,2答案：C5直角坐标系 xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点 A,B 分别在曲线 （ 为参数）和曲线 上，则 的最小值为( )13cos:iny2:1CABA、1
7、 B、2 C、3 D、4答案：A6参数方程为 表示的曲线是（ ）1()2xty为 参 数A、一条直线 B、两条直线 C、一条射线 D、两条射线答案：D7 （ ）12413xtxkyky若 直 线 为 参 数 与 直 线 垂 直 ， 则 常 数A、-6 B、 C、6 D、6 16答案：A8极坐标方程 4cos化为直角坐标方程是( ) A、 2()xy B、 24xy C、 D、 2(1)()答案：A9曲线 24sin()x与曲线12xty的位置关系是（ ）A、 相交过圆心 B、相交 C、相切 D、相离答案：D 10曲线的参数方程为 (t 是参数)，则曲线是（ ）123tyxA、线段 B、双曲线的
8、一支 C、圆 D、射线答案：D11在极坐标系中，圆 上的点到直线 的距离的最小值是 .26sin3co答案： 112圆 C： ( 为参数)的圆心到直线 ： (t 为参数)的距离为 x=+cosyinlx=2+ty13。答案： 213已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们5cosinxy(0)254xty()R的交点坐标为_答案： 25(1,)14以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，已知曲线 1C、 2的极坐标方程分别为 0,3，曲线 3C的参数方程为 2cosinxy（ 为参数，且 ,2） ，则曲线 1C、 2、 所围成的封闭图形的面积是 .答案： 3四、典例分析考向一 极坐标系，曲
9、线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化相关知识点：极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或 sincoyx)0(ta22xy【例 1 】 （1）点 M 的极坐标分别是 ， ， ，2,4,(6,)3(2,)4换算成直角坐标依次是 ， ， ， （2）点 M 的直角坐标分别是 ， ， ， 如果(,0),)(2,)(,1)0,2换算成极坐标依次是 ， ， ， 【例 2】在极坐标系中，过圆 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 4cos分析：由 得 所以 ， 圆心坐标cos42 xy422()4y(,0)过圆心的直线的直角坐标方程为 直线的极坐标方程为 。xcos【变式
10、 1】在极坐标系中，圆心在 且过极点的圆的方程为（ B ）()， A、 B、 C、 D、2cos2cos2inin分析：圆心在 即指的是直角坐标系中的 圆的直角坐标方程：()， )0(，。圆的极坐标方程为2()xy cs【变式 2】已知曲线 的极坐标方程分别为 （21,Ccos4,3o） ，则曲线 与 交点的极坐标为_ _.0,2解:曲线 的直角坐标方程分别为 ,且 ，两曲线交点的21 )(,32yx0直角坐标为（3， ）. 所以，交点的极坐标为36,【变式 3】在极坐标系中，已知点 （1， ）和 ,则 、 两点间的距离是 A4B)(AB解:如图所示,在OAB 中， 6537,5|,| OOs
11、in21BASAOB评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化【例 3】 （1）曲线 C: ( 为参数)的普通方程为 ( C )cos1.inxyA、 B、 22()()22(1)()1xyC、 D、 （2）参数方程 表示的曲线是（ ）tytx1A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆答案：B【变式 1】已知抛物线 的参数方程为 （ 为参数）若斜率为 1 的直线经过抛物28,.xty线 的焦点，且与圆 相切，则 =_。C224(0)xyrr答案： 2解：抛物线的标准方程为 ，它的焦点坐标是 ，所以直线的方程是 ，圆xy82),2(F2
12、xy心到直线的距离为【变式 2】若直线 与圆 （ 为参数）没有公共点，340xymsin2co1yx则实数 的取值范围是 .m(,)(,)【变式 3】直线 被圆 所截得的弦长为（ 21ty为 参 数 223(1)5xy）A、 B、 C、 D、98140834分析: ， 得圆心到直线的距离2101xtxyy 22(3)(1)5xy， 弦长=32d28rd【例 4】已知点 是圆 上的动点，求 的取值范围。(,)Pxy2y2xy解：设圆的参数方程为 ，cos1inxy2cosin15sin()1xy5125小结：设动点的坐标为参数方程形式；将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；利用三角性质及变换公
13、式求解最值.【变式 5】在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求xOy()Pxy， 213xy的最大值Sxy解：因椭圆 的参数方程为 ，故可设动点 的坐标为213cos (iny为 参 数 ） P，其中 . 因此(cos,in） 02。所以,当 是，31si(cosi)2si()3Sxy 6取最大值 2。【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系x=f(t)（或 y=(t)） ，再代入普通方程
14、 F（x，y）0，求得另一关系 y=(t)（或 x=f(t)） 。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使 的取值范围保持一致。,【课后巩固练习】1椭圆 （ ）的 两 个 焦 点 坐 标 是是 参 数 )(sin51co3yxA、(-3，5)，(-3，-3) B、(3，3)，(3，-5)C、(1，1)，(-7，1) D、(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得 ，a 2=25,b2=9,得 c2,c=4.F(x-125)(9)3(yx3,y+1)=F(0,4)
15、，在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选 B.2参数方程 ( )表 示)20()sin1(2coyxA.双曲线的一支，这支过点(1， ) B.抛物线的一部分，这部分过(1， )21C.双曲线的一支，这支过(-1， ) D.抛物线的一部分，这部分过(-1， )2解：由参数式得 x2=1+sin=2y(x0).即 y= x2(x0).应选 B.13在方程 ( 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )2cosinyxA、(2,-7) B、 （ ， ） C、( ， ) D、(1，0)3121解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2，将 x= 代入，得 y= 。应选 C
16、.4曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为( )A、x 2+(y+2)2=4 B、x 2+(y-2)2=4 C(x-2)2+y2=4 D、(x+2) 2+y2=4解：将 = ，sin= 代入 =4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)y2y2=4.应选 B.5已知圆的极坐标方程 =2sin(+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )6A、(1, ),r=2 B、(1, ),r=1 C、(1, ),r=1 D、(1, - ),3 33r=2答案：C6在极坐标系中，与圆 =4sin 相切的一条直线的方程是( )A、sin=2 B、cos=2 C、cos=-2 D、cos=-4
17、解：点 P(,)为 l 上任意一点，则有 cos= ，得 cos=2，应选 B.2OPB7 表示的曲线是( )52sin4A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线解：4sin 2 =5 4 把 = .5cos221cos 2yxcos=x，代入上式，得 2 =2x-5. 平方整理得 y2=-5x+ 它表示抛物线.yx.4应选 D.8.极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是( )A、两条射线 B、两条相交直线 C、圆 D、抛物线解：由 4sin2=3,得 4 3,即 y2=3 x2，y= ,它表示两相交直线.应选 B.2xy39直线：3x-4y-9=0 与圆： 的位置关系是( )(,sin
18、co为 参 数A、相切 B、相离 C、直线过圆心 D、相交但直线不过圆心答案：D10在极坐标系中，点 (,) 到圆 2cos 的圆心的距离为（ ）A、 2 B、 249C、 219D、 3解：分别化为直角坐标进行计算， 化为直角坐标是 ，圆 的直角坐)3,( )3,(cos标方程是 ，圆心的坐标是 ，故距离为 。答案：D022xy0,111经过点 M(1，5)且倾斜角为 的直线，以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程是( )A、 B、tyx2351 tyx2351C、 D、 tyx2351 tx215答案：A12若直线 ( (t 为参数)与圆 x2+y2-4x+1=0 相切，则直
19、线的倾斜角为( )btyax4A、 B、 C、 或 D、 或332335答案：C13设 的最小值是（C ）baba则,6,2RA、 B、 C、3 D、235 2714.若直线 的参数方程为 (t 为参数)，则过点(4，-1)且与 平行的直线在 yltyx524l轴上的截距为 .答案：-415直线 (t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点 P(x ，y)与点 M(-1，2)的tyx321距离为 .答案：135，|3 t|16圆 的圆心坐标为 ，和圆 C 关于直线34cos,()2inxCy为 参 数对称的圆 C的普通方程是 。0答案：（3，2） ；（x2） 2（y3） 216 17在极坐标系中，圆
20、 与直线 的位置关系是 .coscos1答案：相切18在极坐标系中，直线 （ ）与圆 交于 、 两点，则3R4s3inABAB答案： 819在直角坐标系 xOy中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为 3cosinxay.（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（4， 2 ） ，判断点 P 与直线 l 的位置关系；（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值.解：（）把极坐标下的点 化为直角坐标得： 又点的坐标满足直线方程，),()4,0(所以点在直线 上。l（）因为点在曲线上，故可设点的坐标为 ，从而点到直线 的)cos,in3(l距离为，因此当24)6cos(2|4sinco3| d 2)6cos(时， 去到最小值，且最小值为 。1)6s(d20直角坐标系 中，以原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点xyxA，B 分别在曲线 ： （ 为参数）和曲线 ： 上，则 的最小1C3cos4in2C1|AB值为 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线 的方程是 ，曲线 的方程是 ，两圆外离，122(3)()1xy221xy所以 的最小值为 |AB4【答案】3
