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1、1n 维混合型双曲 半抛物方程的 cauchy 问题 摘要：本文提出了两类 1n 维混合型双曲 半抛物型偏微分方程及其柯西问题， 利用 Gauss 公式和带 yong 不等式 ， 导出此问题的先验模估计。 再利用先验模估计证明解的唯一性， 解与初值函数和自 由函数的连续依赖性 。利用幂级数的一致收敛性证明 解的存在性。 关键字： 1n 维混合型双曲 半抛物型偏微分方程， cauchy 问题，先验模估计，唯一性，连续依赖性，存在性。 1、 问题的提出 设函数 2 ,1( , ) ( ( ) ( ) )TTu x t c Q c Q满足下列方程和初值条件： 问题( , ) ( , ) ( , )

2、,( , ) ( , ) ( , ) ,( , 0 ) ( , 0 ) ( ) ,( , 0 ) ( , 0 ) ( ) ,tttttu x t u x t f x tv x t v x t g x tv x u x xv x u x x ( , ) ,( , ) ,TTnnx t Qx t QxRxR(1)(2)(3)(4)其中 12( , ,. )nx x x x ， 12( , ) ( , , . , )nu x t u x x x t ， 12( , ) ( , , . , )nf x t f x x x t ， 12( , ) ( , , . , )ng x t g x x x t

3、， 2 2 22 2 212 . nx x x ， ( , ) : t x t x R t ， 12( ( , , . . . . . . , ) , , 1 , 2 , . . . . . . )n n i iR x x x x x R i n ， T T TQ Q Q， (0, nTQ R T ， , 0)nTQ R T ， 0, nTQ R T ， , 0nTQ R T 。 ,fg是已知连续可微函数 ， ,是未知连续可微函数。 问题 ( , ) ( , ) ( , ) ,( , 0 ) ( ) ,( , 0 ) ( ) ,tttu x t u x t f x tu x xu x x (

4、, ) ,Tnnx t QxRxR(1)(3)(4)问题 ( , ) ( , ) ( , ) ,( , 0 ) ( ) ,tv x t v x t g x tv x x ( , ,Tnx QxR(2)(3)2，主要结构 定理 1、 设 2 ,1( , ) ( ( ) ( ) )TTu x t c Q c Q是初值问题的解，如果 ( ), ( )xx存在 ， 则对于依赖于 T 的常数 11()c c T ， u 满足 如下 先验模估计： 0222 2 210( ) ( ) ttttu u dx c dx f dx dt ， (5)其中122 2 2 2. nx x xu u u u ，122 2

5、 2 2. nx x x ， 12. ndx dx dx dx 。 定理 2、 设 2 ,1( , ) ( ( ) ( ) )TTv x t c Q c Q是初值问题的解，如果 ()x 存在 ，则对于依赖于 T 的常数 22()c c T ， v 满足先验模估计： 0022 2 22( ) ( )tt tv v dx c dx g dx dt (6) 证明 ：对方程 (2) 两边乘以 v 并在 TQ 上积分，得 00()tttv v v dx dt gv dx dt (7) 把 (7) 式左端的被积函数化成散度形式， 21()2ttvv v 1 1 2 2 1 21 1 2 22 2 22(

6、) ( ) . ( ) .( ) ( ) . ( )n n nnnx x x x x x x x xx x x x x xv v v v v v v v v v vv v v v v v v 对 (7) 式左端利用 Gauss 公式进行简化 ， (7) 是左端记为 I，得 0ttI 1 1 2 2221 ( ) ( ) ( ) . ( ) 2 nnt x x x x x xv v v v v v v v d x d t 12022121 c o s c o s c o s . . c o s 2 ntTx x x n tQ v v v v v v v d s v d x d t 其中 TQ 表

7、示 TQ 的边界， n 表示 TQ 上的单位外法向量， 12, , ,. n 分别是 n 与 12, , ,., nt x x x 轴正向夹角，若用 t 表示 TQ 的侧面，则 TQ = 0tt 。 又因为 0 2 2 20t t ttv dx dt v t dx t v dxt ，所以，有 02 2 21122ttI v d x d x t v d x 122 121 c o s c o s c o s . . . c o s 2ntx x x nv v v v v v v d s 12def II . (8) 因为 TQ 的侧面 t 的解析式为 0 2 0 2 0 2 21 1 2 2 0

8、( ) ( ) . . . . . . ( ) ( )nnx x x x x x t t ， 0Tt 所以 t 上的单位外法向量 n 可以表示为 0001 1 2 21 ( , , . . , , 1 )2 nnxxx x x xn r r r 0 2 0 2 0 21 1 2 2( ) ( ) . . . . . . ( )nnr x x x x x 从而 2 2 2 212c o s c o s c o s . . . . . . c o s n 将其代入 2I 的表达式，得 2 0I . (9) 将 (8) 、 (9) 式代入 (7) 式，得 00222( 2 ) 2tt tv t v

9、dx dx gv dx dt 002 2ttdx gv dx dt 利用 带 yong 不等式 ， 得 00022 2 2 22( 2 )t t tttv t v dx dx g dx dt v dx dt . (10) 记 0002 2 22( ) , ( ) .ttY t v dx dt F t dx g dx dt 利用 Gronwall 不等式 20( ) ( 0) ( 1 ) ( )tt ttv dx dt Y t Y e e F t 00 222( ) tttte F t e g dx dt dx 把上 式代入 (10) 式，得 0022 2 224( 2 ) ( 1 2 )ttt

10、ttev t v dx e dx g dx dt . (1) 取 3 max1, 2 ct，22 331 2 2 4( ) m a x , tteec c Tcc .则 (6) 式成立。 定理 3、 设 ( , ) ( ( )Tu x t Qc 2,1( )TQc 是初值问题的解，则 对于依赖于 T 的常数 ()c cT ， u 满足 先验 模估计： 00222 2 2 2 2 20( 2 ) ( )t t ttt tu u u dx c dx f dx dt g dx dt ， (12) 定理 4、 双曲 抛物型方程 cauchy 问题至多有一个 解 . 证明：设问题有两个 解， 12( ,

11、 ) ( , )u x t u x t和 ，令 12u u u，则 u 满足 对 应 于 0fg 的问题， 利用能量模估计式 (12) 得 222( 2 ) 0ttu u u d x 故12 . 0nt x x xu u u u 即 ,u x t与 无 关 ， 所以 ( , )u xt c ， 因为 ( ,0) 0,ux 所以 ( ,0) 0u x c， 所以 12( , ) 0 ( , ) ( , )u x t c u x t u x t ， 即 12( , ) ( , )u x t u x t ， 所以问题有唯一解 . 定理 5、任取 00, , nx R t T T ， 则对于任意给定的

12、 0 ，均存在 0 ， 只要2 2 2 2 20 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )m a x , ( ) , , , ,t t tL L L L K x t L K x tf f g g 对应于 1 1 1( , , )f 和 2 2 2( , , )f ， 11( , )g 和 22( , )g 的解 1u 和 2u 就满足 2 2 20 0 0 01 2 1 2 1 2( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )m a x , ( ) , ( ) t tL L K x t L K x tu u u u u u

13、. (13) 证明： 记 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,f f f u u u g g g ，则 u 满足 问题，于是 (12) 式成立 . 2 2 20 0 0 01 2 1 2 1 2( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )m a x , ( ) , ( ) t tL L K x t L K x tu u u u u u 2 2 22 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )m a x , ( ) , ,t t tL L Lc 220 0 0 01 2 1 2( ( , ) ) ( ( , ) ),L K x t L K x tf f g g2c . 取 3

14、c ，得 (13) 式成立 . 所以问题的解连续地依赖于 ,fg和 . 解的存在性 由于 ()x 和 ()x 是未知函数，我们在证明问题解的存在性 时，应先证明 ()x 和()x 的存在性。 因 为 ( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )ttu x u x f x ， 当 0t 时， ( ) ( , 0 )x f x . (14) ( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )tv x v x g x ， 当 0t 时， ( ) ( ) ( , 0 )x x g x . (15) 由 (14) 式，得 1( ) ( , 0 )x f x ， 将 (14) +(15) 式整理，得 ( )

15、 ( , 0 ) ( , 0 ) ( )x g x f x F x ， 因为 ( , )f xt 和 ( , )gxt 是连续函数， 所以 ()x 和 ()x 存在唯一。 定理 6、 设 ()x 、 ( ) ( )nx c R ， ( , )f xt ()TcQ ，及满足1 m ax ( )n ixRMx，2 m ax ( )n ixRMx，3 ( , ) 0 , m a x ( , )n ixx t R tM f x t， 21 2 32 ( )M M T M T M ， 则问题的解存在。 证明：因为 2 2 1 2100 0 01( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )( 2 ) !

16、 ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !ii ti i i ixi i ittu x t x x t f x t di i i 所以 2 2 1 2100 0 01( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )( 2 ) ! ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !ii ti i i ixi i ittu x t x x t f x t di i i 2 2 1 2112 00 0 0 1 ( ) ( , )( 2 ) ! ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !ii it ixi i iTTM M t f x t di i i 2 2 1 211 2 3 00 0 0 1 ()( 2 ) ! (

17、 2 1 ) ! ( 2 1 ) !ii iti i iTTM M M t di i i 2 2 1 2 21 2 30 0 0( 2 ) ! ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) ! ( 2 2 )i i ii i iT T TM M Mi i i i 2 2 1 2 21 2 30 0 0( 2 ) ! ( 2 ) ! ( 2 ) !i i ii i iT T TM M Mi i i 221 2 3 0() ( 2 ) !iiTM M T M T i 221 2 3 2102 ( ) 2iii TM M T M T 2200( 2 ) ! 2iiiiTTMMi 级数 20 2iiTM 收敛，

18、所以 ( , )uxt 绝对收敛 . 所以 问题的 解 存在 . 定理 7、 设 ()x ()ncR ， ( , )gxt ()TcQ ，及满足1 max ( )n jxRNx，2 m ax ( , )n jxxRN g x t， 12N N TN ， 则问题 的解存在。 证明：因为 0001( , ) ( ) ( ) ( , )!j j j jxtjjtv x t x t g x t djj 所以 0001( , ) ( ) ( ) ( , )!j j j jxtjjtv x t x t g x t djj 012001 ()!j jtjjTN N t djj 11200! ( 1 ) !j

19、jjjTTNN 1200!jjjjTTN N T0 !jjTN j 级数0 !jjTN j 收敛，所以 (, )vxt 绝对收敛 . 所以 问题 的解存在 . 3、 参考文献 1 数学物理方程 ,王明新编著 , 清华大学出版社 ， 2005. 2 偏微分方程 ，郇中丹、黄海洋编 ，高等教育出版社 . 3 数学物理方程讲义 ，姜尚礼、陈亚渐等，高等教育出版社， 1996. 4 数学物理 方程 ，王元明、管平，东南大学出版社 . 5 偏微分方程 ，陈祖 墀 ，第二版，中国科学技术大学出版社， 2003. 6 积分方程 ，张石生 ，重庆出版社 ， 1988 . Abstract: The essay

20、 puts forward a type of n+1 dimension hyperbolic - parabolic partial differential equation and Cauchy problem, and then derives the questions energy mode estimate. Testify the solutions uniqueness, the continuous dependence of primiary function and freedom function by using energy mode estimate. Key words: n+1 dimension hyperbolic - parabolic partial differential equation, Cauchy problem, energy mode estimate, uniqueness, continuous dependence.