1、圆锥曲线平行弦中点的轨迹江夏一中 胡成波直线与圆锥曲线是高中数学永恒的主题，本节我们探讨一下圆锥曲线中平行弦中点的轨迹。例 1. 已知：抛物线 y =4x,斜率为 2 的直线与抛物线交于 A、B 两点，求弦2AB 中点 M 的轨迹方程。解：设中点 M（x,y）, A( x ,y ), B (x ,y )12设直线 AB：y=2x+n由 得 （2x+n） =4xnxy242 4x +4(n-1)x+n =0 y =4x2 2 =16(n-1) -16n0 A( x ,y )1n 21x + x =1- n1x= = B (x ,y )2X 2y=2 +n=11n n x= 2241所求轨迹方程为
2、 y=1(x )此题的另一种解法：点差法由 得（y + y ） （y -y ）=4（x - x ）214xy21121212 = 2= y=121214再求解法知 x 所求弦 AB 中点 M 的轨迹方程为：y=1(x )41注：用点差法求弦中点的轨迹方程很简单，但不容易求出点的轨迹方程的定义域。由例 1 知，抛物线 y =4x 的一组平行弦中点的轨迹在一条直线上，对于一般2抛物线是否成立呢？我们现在来证明。不妨设抛物线 y =4x（p0） ，直线2y=kx+n,（其中 k 是常数，且 k0，n 是参数）直线与抛物线交点为 A(x ,y ), B 1y(x ,y ),AB 中点为 M（x,y）2
3、由 得 k x +2knx+n =2pxnkxyp22k x +2(kn-p)x+ n =0224(kn-p) -4 k n 0k n -2pkn+p - k n 0222knp 推出 kn px + x =- =n122)(kx= =- =2pn2ky=kx+n=- +n=kkn x= =2p2n2kp2所求弦 AB 中点轨迹方程为= （x ）在 x 轴上，当弦 AB 斜率不存在时，弦 AB 中点都在一条直线上，由此可知：抛物线一组平行弦中点都在一条直线上，此结论对于其他圆锥曲线是否成立呢？我们以椭圆为例。例 2；已知椭圆 + =1（ab0）.斜率为 k（k0）的直线与椭圆交于2xyA、B
4、两点，求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。解：设直线 AB：y=kx+n(k0),A( x ,y ), B (x ,y )弦 AB 中点 M（x,y）12由 得: nkxyba12 2222 )(bankab 0)()( 2222 nkxa= 044 bn 22bk- n 2bka2bka-又 x + x =-122x= =- 212bkan 1y=k (- )+n=- 22k 2由 消去参数 n 得 y=- 1 2 xab2又- n2bkak- x2/ 22/ba所求中点 M 轨迹方程为 y=- x(- x )k22/bak22/bka当直线 AB 斜率为 0 时，弦 AB 中点 M 轨迹方程
5、为 x=0(-byb), 当直线 AB 斜率不存在时，弦 AB 中点 M 轨迹方程为 y=0(-axa).由此可知：椭圆一组平行线中点弦的轨迹在一条直线上，并且这条直线的斜率存在，则斜率为- ka2此题也可用点差法求弦中点的轨迹。过程如下： 由 得1221byax 211211 )()(byyaxx当 x = x 时，弦 AB 中点 M 轨迹方程为 y=0(-aya)12当 y =y 时，弦 AB 中点 M 轨迹方程为 x=0(-byb)当 x x 且 y y 时 =-121221xyab)(21xk=- y=-2abk2再由方法一求出 x 的取值范围。让大家由练习观察：练习 1：已知双曲线 - =1，斜率为 1 的直线与双曲线交于 A，B 两点，求12y弦 AB 中点 M 的轨迹方程。练习 2： 已知双曲 - =1，斜率为 1 的直线与双曲线交于 A，B 两点，求弦2xyAB 中点 M 的轨迹方程。练习 1 答案： y=2x(xR), 练习 2 答案: y= (x2 或 x-2)此结论对于双曲线也是成立的结论： 双曲线 与斜率为 k（k0）的直线交于 A,B 两点，弦 AB 中12byax点轨迹方程为：y= 定义域留给大家研究。k2
