1、戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功1精典专题系列第 3 讲 函数的性质1、导入：老人与黑人小孩子一天，几个白人小孩在公园里玩。这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道： “您能卖给我一个气球吗?” “当然可以， ”老人慈祥地打量了他一下，温和地说， “你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。 ”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑色的气球。他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。老人一边看
2、着上升的气球，一边用手轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。 ”大道理：成就与出身无关，与信心有关。这个世界是用自信心创造出来的。有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。二、知识点回顾：1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2，定义当 x10，又 x1 10，x210， x2 2x2 1 x1 2x1 1 x2 2x1 1 x1 2x2 1x1 1x2 1 0，3x2 x1x1 1x2 1于是
3、f(x2)f(x 1) 0，x2 2x2 1 x1 2x1 1故函数 f(x)在( 1，)上为增函数变式训练：判断函数 f(x)x (a0，x0)的单调性ax解：法一：函数 f(x)x (a0)的定义域为x|x0ax设 x1x20，则 f(x1)f(x 2)x 1 x 2ax1 ax2(x 1x 2)(1 )(x 1x 2) ，ax1x2 x1x2 ax1x2当 0x2 时，恒有 x1x2a，a则 f(x1)f(x 2)0，故 f(x)在 ，上是增函数a综上所述，函数 f(x)在(0， 上是减函数，a在 ，)上是增函数 a专题二 求函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)yx22|x|3；自主
4、解答 (1)依题意，可得戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功3当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 xf(x2), 故函数 f(x)在(1，+）上是减函数.专题三 利用函数的单调性求最值【例 3】已知函数 f(x) ，x1 ，)x2 2x ax(1)当 a4 时，求 f(x)的最小值；(2)当 a 时，求 f(x)的最小值；12(3)若 a 为正常数，求 f(x)的最小值自主解答 (1)当 a4 时，f(x) x 2，f (x)1 ，f(x)在1,2上是减函数，在(2，)上4x 4x2 x2 4x2是增函数f(x)minf(2)6.(2)当 a 时，f(x)x 2.12 12x易知，f(
5、x) 在1，)上为增函数f(x)minf(1) .72(3)函数 f(x)x 2 在(0， 上是减函数，ax a在 ，)上是增函数a若 1，即 a1 时，f(x)在区间 1， )上先减后增， f(x)minf( )2 2.a a a若 1 ，即 00，x0)1a 1x(1)求证：f(x)在(0，) 上是单调递增函数；(2)若 f(x)在 ， 2上的值域是 ，2，求 a 的值12 12解：(1)证明：设 x2x10，则 x2x 10，x1x20，f(x2) f(x1)( )( )1a 1x2 1a 1x1 0，1x1 1x2 x2 x1x1x2f(x2)f(x1)，f(x)在 (0， )上是单调
6、递增函数(2)f(x)在 ，2上的值域是 ，2，12 12又 f(x)在 ，2上单调递增，12f( ) ，f(2)2，解得 a .12 12 252、 函数 f(x)对任意的 a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x0 时，f(x)1.（1）求证：f(x)是 R 上的增函数；（2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.专题四 函数奇偶性的判定【例 4】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x 3 ；(2)f(x)x 2x 3；1x(3)y ；2x 1 1 2x(4)f(x)Error!.自主解答 (1)原函数的定义 域为x|x0，并且 对于定义 域内的每一个
7、x 都有 f(x)( x)戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功53 (x 3 )f(x)，从而函数 f(x)为奇函数1 x 1x(2)由于 f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)， f(1)f(1)，从而函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)定义域为 ，不关于原点对称，12该 函数不具有奇偶性(4)定义域为 R，关于原点对称，当 x0 时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当 x0，求实数 m的取值范围解：由 f(m)f(m1)0 ，得 f(m)f( m1)，即 f(1m)0，由 f(2x1) ，故 3Bx|x3D x| 30 时，g(x) 在1,2上是ax 1减函数，则 a 的取值范围是(0,1答案：(0,17设函数 f(x) 为奇函数，则 a_.x 1x ax解析：由题意知，f(1)f(1)0，即 2(1a) 00，a1.答案：18(2011银川模拟)已知 f(x)是定义在( 3,3)上的奇函数，当 0x3 时，f (x)的图象如右图所示，那么不等式 xf(x)0 的解集为 _
