1、第 15 章 狭义相对论力学基础,爱因斯坦 (Einstein),爱因斯坦 20世纪最伟大的物理学家，1879年3月14日出生于德国乌尔姆，1900年毕业于瑞士苏黎世联邦工业大学。1905年，爱因斯坦在科学史上创造了史无前例的奇迹。这一年的3月到9月半年中，利用业余时间发表了 6 篇论文，在物理学 3 个领域作出了具有划时代意义的贡献 创建了光量子理论、狭义相对论和分子运动论。爱因斯坦在1915年到1917年的3年中，还在 3 个不同领域做出了历史性的杰出贡献 建成了广义相对论、辐射量子理论和现代科学的宇宙论。,爱因斯坦获得 1921 年的诺贝尔物理学奖,牛 顿 力 学,麦 克 斯 韦 电 磁
2、 场 理 论,热力学与经典统计理论,两朵小乌云,迈克耳逊莫雷“以太漂移”实验,黑体辐射实验,强调,近代物理不是对经典理论的简单否定。,近代物理不是对经典理论的补充，而是全新的理论。,狭义相对论,量子力学,近代物理学的两大支柱，逐步建立了新的物理理论。,19世纪后期，经典物理学的三大理论体系使经典物理学已趋于成熟。,相对论基本原理,爱因斯坦两个假设,相对论运动学,相对论动力学,相对论数学基础洛仑兹变换,牛顿力学,15.1 经典力学的相对性原理 伽利略变换,一. 力学的相对性原理,疑问：牛顿的经典力学理论在哪个参照系内成立？,牛顿理论中的物理量（位移、速度、加速度、动量等）都是相对所选定参照系的物
3、理量,当车相对地面运动时,当车相对地面有加速度时呢？,当车相对地面匀速直线运动时，在地面和车相里做力学实验是否有相同结果？牛顿理论、公式是否成立，公式形式是否相同？,1.惯性系,牛顿运动定律适用的参照系惯性系,地球表面可以近似地认为是一个惯性系,2.非惯性系,牛顿运动定律不适用的参照系非惯性系,3.惯性系之间的关系,相对已知惯性系做匀速直线运动的任何参照系也是惯性系,相对地面（惯性系）做加速运动或曲线运动的参照系,相对地面做匀速直线运动的车、船等,在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是相同的，具有相同的数学表达形式。或者说，对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系是等价的。,4.经典力学的相
4、对性原理,车相对地面匀速直线运动,二. 绝对时空观,绝对时间,绝对空间,绝对的、数学的、与物质的存在和运动无关,经典力学相对性原理与绝对时空观密切相关,时间永远均匀地流逝，与外界事物无关,空间从不运动，永远不变，与外界事物无关,三. 伽利略变换（绝对时空观的定量描述）,在两个惯性系中分析描述同一物理事件,在 t 0 时刻，S , S系在 O 点重合。t 时刻， S 系运动到 O点，物体在 P 点,1. 伽利略坐标变换,在地面和匀速运动物体上建立两个参照系 S , S,正变换,逆变换,伽利略坐标变换式,矢量式,其中假设,2. 伽利略速度变换,考虑到两个参照系中时间相同，将伽利略坐标变换对时间求微
5、分得,3. 伽利略加速度变换,矢量式,矢量式,请大家自己写出速度、加速度的逆变换式,在牛顿力学中,四. 牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性,力与参考系无关,不变量、不变性,在某变换下，某物理量（包括物理规律、物理公式）不发生变化，把该物理量称为该变换下的不变量，该物理量对该变换具有不变性,在经典力学中，认为质量不随物体运动速度变化而变化,伽利略变换下的不变量,质量与运动无关,两个弹性小球发生弹性正碰撞,例,证,在不同惯性系中动量守恒,证,y,O,z,S,x,(x ),两惯性系如图所示,设两小球质量为 m1 和 m2,S系测：碰前,碰后,S系测：碰前,碰后,S系：动量守恒,伽里略变换,代入上式,
6、S系：动量守恒,m1,m2,15.2 狭义相对论的两个基本假设,一. 伽利略变换的困难,Maxwell电磁场方程组不服从伽利略变换，光速相对哪个系？,由“绝对时空”观点，一定存在一个与绝对时空相对静止的参照系绝对参照系,1. 绝对参照系,2. “以太”假设,以太充满空间、无质量、刚性、相对绝对空间静止的介质。相对以太的速度绝对速度,3. 寻找绝对参照系的方法,由于力学相对性原理，在各惯性系中的力学现象相同只能用非力学的其它学科实验寻找,4. 迈克耳逊 - 莫雷实验,对 (1) 光线：O M1 O,相对以太,(1),(2),对 (2) 光线：O M2 O,由 l1 = l2 = l 和 v c,
7、两束光线的时间差,当仪器转动 p / 2 后，引起干涉条纹移动,实验结果:,迈克耳逊 莫雷实验的零结果，说明“以太”本身不存在。,引起干涉条纹移动量约为0.4条，当时的测量精度为0.01条,1905年，A. Einstein首次提出了狭义相对论的两个假设,1. 光速不变原理,在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值,包括两个意思：,光速不随观察者的运动而变化,光速不随光源的运动而变化,二. 爱因斯坦的两个基本假设,是否同时到达？,发射的粒子不同时,发射的光子同时,所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选某一个参考系，把它置于特殊的地位。,2. 相对性原理,一切物理规律在所有惯性系
8、中具有相同的形式,由于相对性原理，无法用物理方法找到绝对参照系，则判定它不存在。,在牛顿力学中，与参考系无关,在狭义相对论力学中，与参考系有关,(1) Einstein 相对性原理 是 Newton 力学相对性原理的发展,讨论,(2) 光速不变原理与伽利略的速度合成定理针锋相对,(3) 时间和长度等的测量,15.4 洛伦兹变换（提前）,1. 来源,电磁学中的麦克斯韦方程组在伽里略变换下是变化的，说明麦克斯韦方程组只在一个惯性系中成立，在其它惯性系中不成立，违反了相对性原理。实际上麦克斯韦方程组在各惯性系中都成立。 洛伦兹提出了洛伦兹变换，在洛伦兹变换下，麦克斯韦方程组具有不变性。,2. 洛伦兹
9、变换,在,时,两坐标系重合,P,(x, y, z; t ),(x, y, z; t ),正变换,逆变换,洛伦兹坐标变换式的推导,时空变换关系必须满足的条件,两个基本假设,当质点速率远小于真空中的光速，新时空变换能退化到伽利略变换,对惯性系 S,在两个参考系中两者形式完全相同,对惯性系 S,原点出发光,两坐标系重合,光速不变原理,变换关系(线性),其中a ,b ,d ,e 待定系数,对 O 点：,对O点:,x ,t 是 S 系测得的物理量， x ,t 是 S 系测得的物理量,确定系数,由,代入,得,联立求解得,代入,得出洛伦兹变换,及,讨论,(1) 空间测量与时间测量相互影响，相互制约,t是 t
10、 和 x 的函数， x是 t 和 x 的函数,(2) 当u 0 时,时序不变,同时发生,时序颠倒,同地发生的两事件间的时序,时序不变,4. 因果关系,A,B,t1、x1,t2、x2,S 系：因（事件A）的发生 引起果（事件B）发生,传播速度,S 系：,（1）,同号，因果成立,（2）,反号，因果颠倒,同学们想像超光速世界的景像！,t1、x1,t2、x2,二. 时间膨胀,1.固有时,在S、S 系中，两事件发生的时间间隔之间的关系?,在地面 S 系上 x 处放置静止不动的秒表， t1 时刻开始计时（A事件）， t2 时刻停止计时（B事件）,在某惯性系中，同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔,2.
11、运动时,在相对 S 系做匀速直线运动的 S 系上测得两事件的时间间隔,3.时间膨胀,洛仑兹变换,讨论,(1) 当v c 时，,(2) 由于,注意成立条件,(3) 时间延缓效应,在 S 系中测得发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔 Dt，在 S 系中观测者看来，这两个事件为异地事件，其之间的时间间隔 Dt 总是比 Dt 要大。,在不同惯性系中测量给定两事件之间的时间间隔，测得的结果以固有时最短。,运动时钟走的速率比静止时钟走的速率要慢。,(4) 时间延缓效应是相对的。,(5) 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征。,(6) 时间延缓效应显著与否决定于 g 因子。,例,p- 介子是一种不稳定的粒
12、子，从它产生到它衰变为 m - 介子经历的时间即为它的寿命，已测得静止 p- 介子的平均寿命 t0 = 2 10-8s. 某加速器产生的 p- 介子以速率 u = 0.98 c 相对实验室运动。,求,p- 介子衰变前在实验室中通过的平均距离。,解,对实验室中的观察者来说，运动的 p- 介子的寿命 t 为,因此， p- 介子衰变前在实验室中通过的距离 d 为,三. 长度收缩,固有长度: 相对于棒静止的惯性系测得棒的长度,1. 运动长度的测量,不要求同时测量,必须同时测量,2. 长度收缩,讨论,(1) 当v c 时，,洛仑兹变换,沿尺长度方向相对尺运动的观测者测得的尺长 l ，较相对尺静止观测者测
13、得的同一尺的原长 l 0 要短。,(2) 长度缩短效应,在不同惯性系中测量同一尺长，以固有长度为最长。,注意成立条件,(3) 长度收缩效应是相对的。,(4) 长度收缩效应显著与否决定于 g 因子。,(5) 长度收缩效应是同时性相对性的直接结果。,(6) 长度收缩效应运动方向上发生，在垂直运动方向上不发生。,运动方向,面积、体积如何收缩？,运动方向,角度如何变化？,同时闪电时，车正好在山洞里,山洞比车短，火车可被闪电击中否？,车头到洞口，出现第一个闪电,车尾到洞口，出现第二个闪电,闪电不同时,例,地球-月球系中测得地-月距离为 3.844108 m，一火箭以 0.8 c 的速率沿着从地球到月球的
14、方向飞行，先经过地球 (事件1)，之后又经过月球 (事件2)。,求,在地球-月球系和火箭系中观测，火箭从地球飞经月球所需要的时间。,解,取地球-月球系为 S 系，火箭系为 S 系。则在 S 系中，地-月距离为,火箭从地球飞径月球的时间间隔为,因此，在 S 系中火箭从地球飞径月球的时间为,设在系 S 中，地-月距离为 l ，根据长度收缩公式有,另解:,例,一短跑选手在地面上以 10 s 的时间跑完 100 m。一飞船沿同一方向以速率 u = 0.8 c飞行。,求,(1) 飞船参考系上的观测者测得百米跑道的长度和选手跑过的路程；(2) 飞船参考系上测得选手的平均速度 。,解,设地面参考系为 S 系
15、， 飞船参考系为 S，选手起跑为事件1,到终点为事件2，依题意有,(1) S 系中测得跑道长度 100 m 为固有长度 l0 ，S 系中测得跑道长度 l 为运动长度，由长度收缩公式有,选手从起点到终点，这一过程在 S 系中对应的空间间隔为Dx，根据空间间隔变换式得,因此， S 系中测得选手跑过的路程为,(2) S 系中测得选手从起点到终点的时间间隔为 Dt，由洛仑兹变换得,S 系中测得选手的平均速度为,例,宇宙飞船以 0.8c 速度远离地球(退行速度 u = 0.8c )，在此过程中飞船向地球发出两光信号，其时间间隔为 DtE .,求,地球上接收到它发出的两个光信号间隔 DtR .,解,令宇宙
16、飞船为 S 系，地面为 S 系。则 S 系中测得发出两光信号的时间间隔为,接收两光信号的时间间隔为,15.7 狭义相对论质点动力学简介,即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量,相对论力学规律必须满足的条件,(1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理,(2) 应满足对应原理,即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变,物理量之间的关系须趋于经典理论中相应的关系,一.相对论质量、动量 质点动力学基本方程,1. 质速关系,经典理论：,与物体运动无关,研究物体运动规律时（如碰撞问题），若质量不变，在洛伦兹变换下运动规律发生变化，要使运动规律在洛伦兹变换下保持不变，则要求质量 m 与质点运动速度有关。,考虑到
17、空间各向同性，质点质量 m 应与速度方向无关,m0 为物体静止时的质量静止质量,(2) 质速曲线,当v =0.1 c,m 增加 0.5%,(3) 光速是物体运动的极限速度,讨论,(1) 当v c 时,v/c 0, m = m0,当v =0.866 c,当v c,当v = c,2. 相对论动量,可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛伦兹变换下，对任何惯性系都保持不变性,以光速运动的粒子，其静止质量必为0,经典力学,相对论力学,当u c 时, u /c 0, m = m0 ,第二项为0，返回经典力学中相应的关系,动量守恒：,3. 相对论质点动力学基本方程,二.能量质能关系, 经典力学, 相对论力学,
18、?,在相对论中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动能为零。则质点动能就是其从静止到以v 的速率运动的过程中,合外力所做的功,两边微分,相对论的动能表达式,(1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系,讨论,当v c 时， 0, 有,牛顿力学中的动能公式,出现退化,(2) 当v c，Ek ，意味着将一个静止质量不为零的粒子，使其速度达到光速，是不可能的。,(3) 静止能量 总能量,总 能 量：,静止能量：,任何宏观静止物体具有能量,相对论质量是能量的量度,质能关系,物体的相对论总能量与物体的总质量成正比 质量与能量不可分割,物体质量与能量变化的关系,例如1kg 水由 0 度加热到 10
19、0 度，所增加的能量为,例如核电站每年发电 100 亿度，求所需要消耗核材料的质量。,每户每年用电 1200 度，该核电站可供 833 万户居民使用！,(4) 对于一个存在有内部结构和内部运动的系统来说,系统随质心平动的动能,系统的内能,m,m1,m2,核裂变原理,m1,m2,m,核聚变原理,光子,正电子,负电子,光子,能量质量,质量能量,四.相对论能量和动量的关系,两边平方,两边乘以 c 4,取极限情况考虑，如光子,例,解,求,两个静质量都为 m0 的粒子，其中一个静止，另一个以v 0 = 0.8 c 运动，它们对心碰撞以后粘在一起。,碰撞后合成粒子的静止质量。,取两粒子作为一个系统，碰撞前
20、后动量、能量圴守恒，设碰撞后合成粒子的静止质量为 M0 ，运动质量为 M ，运动速度为 V ，则,例,解,求,某粒子的静止质量为 m0 ，当其动能等于其静能时，,其质量和动量各等于多少？,动能：,由此得，动量,由质速关系,例,解,求,设火箭的静止质量为 100 t ，当它以第二宇宙速度飞行时，,其质量增加了多少？,火箭的第二宇宙速度 v = 11. 2 10 3 m/s ，因此 v I2I3,0,光电子最大初动能和 成线性关系,截止频率 0,即时发射,迟滞时间不超过 10-9 秒,遏止电压与频率关系曲线,和v 成线性关系,二. 经典物理与实验规律的矛盾,电子在电磁波作用下作受迫振动，直到获得足
21、够能量(与 光强 I 有关) 逸出，不应存在红限 0 。,当光强很小时，电子要逸出，必须经较长时间的能量积累。,只有光的频率 0 时，电子才会逸出。,逸出光电子的多少取决于光强 I 。,光电子即时发射，滞后时间不超过 109 秒。,总结,光电子最大初动能和光频率 成线性关系。,光电子最大初动能取决于光强，和光的频率 无关。,三. 爱因斯坦光子假说 光电效应方程,光是光子流 ，每一光子能量为 h ，电子吸收一个光子,A 为逸出功,单位时间到达单位垂直面积的光子数为N，则光强 I = Nh . I 越强 , 到阴极的光子越多, 则逸出的光电子越多。,电子吸收一个光子即可逸出，不需要长时间的能量积累
22、。,光频率 A/h 时，电子吸收一个光子即可克服逸出功 A 逸出。,讨论,光电子最大初动能和光频率 成线性关系。,光子动量,四. 光的波粒二象性,光子能量,光子质量,粒子性,波动性,五. 光电效应的应用,光电成像器件能将可见或不可见的辐射图像转换或增强成为可观察记录、传输、储存的图像。,红外变像管,红外辐射图像可见光图像,像增强器,微弱光学图像 高亮度可见光学图像,测量波长在 2001200 nm 极微弱光的功率,光电倍增管, ,散射线中有两种波长 0 、 ，,的增大而增大。,随散射角 ,探测器,16. 3 康普顿效应,一. 实验规律,X 光管,光阑,散射物体,二. 经典物理的解释,经典理论只
23、能说明波长不变的散射，而不能说明康普顿散射。,电子受迫振动,同频率散射线,发射,单色电磁波,说明,受迫振动v0,照射,散射物体,三. 光子理论解释,能量、动量守恒,1. 入射光子与外层电子弹性碰撞,外层电子,2. X 射线光子和原子内层电子相互作用,光子质量远小于原子，碰撞时光子不损失能量，波长不变。,原子,自由电子,内层电子被紧束缚，光子相当于和整个原子发生碰撞。,所以，波长改变量,康普顿波长,(1),说明,(2),吴有训实验结果,一. 实验规律,记录氢原子光谱原理示意图,16.4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论,氢放电管,23 kV,光阑,全息干板,三棱镜（或光栅）,光 源,氢光谱的里德伯常
24、量,(2)谱线的波数可表示为,(1) 分立线状光谱,氢原子的巴耳末线系照片,线系名 k , k = 1 , 2 , 3 , ,线系中谱线名 n , n = k+1 , k+2 , k+3 , ,（ n k ）,k = 2 (n = 3, 4, 5, ) 谱线系 巴耳末系（1880年）（可见）,k = 1 (n = 2, 3, 4, ) 谱线系 赖曼系 （1914年） （紫外）,k = 3 (n = 4, 5, 6, ) 谱线系 帕邢系 （1908年） （红外）,k = 4 (n = 5, 6, 7, ) 谱线系 布拉开系 （1922年）（红外）, 碱金属（似氢金属，只有一个价电子）He+、Li
25、+、 Be+、 具有类似光谱,、 为小于1的修正数,经典理论的困惑,氢核,电子,经典理论:,有加速度的带电粒子对外有电磁辐射。,电子做圆周运动，速度方向不断变化，有加速度，对外有电磁辐射，辐射频率等于圆周运动频率。电子由于辐射，能量下降，,速度降低，则（1）其谱线应是连续谱； （2）电子将“掉到”核里。,2. 跃迁假设,二. 玻尔氢原子理论,1. 定态假设,原子从一个定态跃迁到另一定态，会发射或吸收一个光子，频率,稳定状态,这些定态的能量不连续,不辐射电磁波,电子作圆周运动,v,r,向心力是库仑力,由上两式得, 第 n 个定态的轨道半径为,3. 角动量量子化假设,轨道角动量,玻尔半径,r2=4
26、r1,r2=9r1,动能,氢原子的能量,得,势能,能量,En ( eV),氢原子能级图,-13.6,-1.51,-3.39,0,n = 1,n = 2,n = 3,n = 4,n = 5,n = 6,氢光谱的波尔解释,当时实验测得,其中计算得到,误差在万分之六以内，理论与实验吻合的很好！,氢光谱的形成,个体辐射 1个氢原子，在某一时刻从高能级跃迁到低能级发射一个有一定长度、确定频率的光子,群体辐射 大量氢原子，在某一时刻从各个高能级跃迁向各个低能级跃迁，发射大量各种频率光子，形成光谱,里德伯 - 里兹并合原则(1896年),卢瑟福原子的有核模型（1911年）,普朗克量子假设（1900年）,玻尔
27、氢原子理论(1913年）,玻尔氢原子理论总结,成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来。,局限性：。,局限性:不能处理氢光谱中的复杂问题和复杂原子的问 题（氢光谱的精细结构、谱线强度、谱线宽度、偏振、 塞曼效应等）。 根源在于对微观粒子的处理仍沿用了牛顿力学的观念,例 用能量为 12.5eV 的电子去激发基态氢原子,求 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能出现的谱线波长,解 氢原子吸收电子能量跃迁到第 n 级,n = 1,n = 2,n = 3,n = 3 n = 1,n = 3 n = 2,n = 2 n = 1,1,2,3,氢原子可以吸收该电子的部分能量,用光子激发氢原子时，必须整份地吸收光子
28、能量,例 试证氢原子中的电子从 n + 1 级轨道跃迁到 n 级轨道发射 光子的频率为 n ，当 n 1 时光子频率为电子绕第n 级 波尔轨道转动的频率 fn,证,当 n 1 时,同乘 mrn,经典理论是 n 很大时量子理论的近似,一. 德布罗意假设(1924年),16.5 微观粒子的波粒二象性 不确定关系,德布罗意(Louis Victor de Broglie,18921989) 法国物理学家 1929年诺贝尔物理学奖获得者,1. 光子的波粒二象性,光是电磁波，具有波长、频率、波速等表示波动性的物理量，可以发生干涉、衍射、偏振等现象，表明光具有波动性,由爱因斯坦的光子假设和光电效应等实验，
29、说明光子具有质量、动量、能量等表示粒子性的物理量，表明光具有粒子性,波粒二象性的联系,德布罗意假设: 任何一个运动着的实物粒子都伴随着一个 波，称为物质波。实物粒子具有波粒二象性,频率,波长,2. 微观粒子的波粒二象性,波粒二象性的联系,当实物粒子尺寸 波长 粒子性,当实物粒子尺寸接近波长 波动性,德布罗意假设的验证,1. 电子的波长（非相对论）,静止电子被加速电压 U 加速,2. 电子衍射实验（戴维孙革末实验）,晶体点阵中相邻点之间的距离与电子波长接近，利用晶体做电子衍射实验。结果与 X 射线衍射实验具有相同规律，证明了德布罗意假设,X射线,电子束,衍射图样（波长相同）,电子双缝干涉图样,杨
30、氏双缝干涉图样,3. 电子波动性的应用,观测仪器的分辨本领,电子显微镜分辨率远大于光学显微镜分辨率,显微镜分辨本领与入射波长成反比,可见光波长 500 nm，电子波长 0.1 nm,光学显微镜放大倍数最大1000多倍，电子显微镜放大倍数可达100多万倍,例 经 104 V电压加速,解,求 电子和质子的德布罗意波长,电子,质子,例 质量为 0.05kg ，速度为 300ms-1 的子弹,解,求 其德布罗意波长,如何显示其波动性？,如何显示其波动性？,二. 不确定关系,1. 经典力学对物体运动的描述,确定了物体的运动规律和初始条件，可以以后任意时刻物体的运动状态（位置、速度、动量、） 确定性,2.
31、 微观粒子运动的描述,电子衍射实验，确定了初始条件后，一个电子打到屏幕哪一点是不确定的 不确定性,大量电子衍射分布服从衍射规律,3. 不确定量,动量不确定量,其它物理量（时间、能量、角动量、）都有不确定量,位置不确定量,4. 不确定度原理（一维）,微观粒子的位置坐标 x 、 动量 分量 px 不能同时具有确定的值。一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。,借助电子单缝衍射试验加以说明,px,0,电子束,电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 x ； 动量最大分量（忽略高级次衍射） px 的不确定量为,减小缝宽 x, x 确定的越准确,增大 px 的不确定度,即px 越大,x,半角宽度,
32、原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。,电子速度的不确定量为,氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。,原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系,例,解,说明,2. 能量 时间不确定关系,反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均寿命 t 之间的关系。,基态,激发态,E,基态,寿命t,光辐射,能级宽度,平均寿命 t 10-8 s,平均寿命 t ,能级宽度 E 0,一. 波函数及其统计解释,微观粒子具有波动性,16.6 波函数 一维定态薛定谔方程,一维自由粒子
33、的波函数,自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波函数为,复数形式,三维自由粒子的波函数,波函数的意义,的共轭复数,为,波函数的标准条件,（4）归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1),（1） 单值性 概率密度在任一处都是唯一确定的,（2） 有限性 概率密度在任一处都是有限大小的,（3） 连续性 概率密度在在整个空间内连续的,电子数 N=7,电子数 N=100,电子数 N=3000,电子数 N=20000,电子数 N=70000,单个粒子在哪一处出现是偶然事件；,大量粒子的分布有确定的统计规律。,出现概率小,出现概率大,电子
34、双缝干涉图样,二. 薛定谔方程 (1926年),薛定谔(Erwin Schrdinger 18871961)奥地利理论物理学家，波动力学的创始人，于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金,薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。,同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。,1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。,几个星期后，薛定谔又作了
35、一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就是著名的薛定谔方程。,薛定谔方程“推导”过程,自由粒子波函数（一维）,对于非相对论性自由粒子：,设粒子在势场V(x,t)中运动，能量关系为,三维,薛定谔方程是描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。,质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定谔方程为,粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为,由上两式得,定态薛定谔方程,粒子能量,(1)求解 E （粒子能量） ( r ) （定态波函数）,(2)势能函数 V 不随时间变化。,一维定态薛定谔方
36、程（粒子在一维空间运动),描述外力场的势能函数,说明,三. 一维无限深势阱中的粒子,0 x x 或 x U0 , R0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。,(2)E U0 , T0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 隧道效应,E,电子探针量子隧道显微镜工作原理,电子探针移动,势垒变化,透射率变化,约色夫结,电压基准,绝缘体,探针,物体表面,*五.一维谐振子,1.势能函数,2.定态薛定谔方程,3.能量量子化,普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0,量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0=
37、 hv/2,零点能,六.氢原子,球坐标的定态薛定谔方程,势能,求解球坐标的定态薛定谔方程的思路,（1）分离变量,（2）分解偏微分方程,含 r 部分 + 含 q 部分 + 含 j 部分 = 0,只有三部分分别等于常数，方程才成立,1. 能量量子化,能量,主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，,氢原子能量大于 0 时（ 动能大于势能 电离态 ），能量可以取任意值。这时的电子脱离核的约束 自由电子,氢原子能量小于 0 时（ 动能小于势能 束缚态 ），能量必须取分立值,与波尔理论一致,（3）解三个常微分方程，得出以下结论,注意可取值的范围,2. 角动量量子化,角量子数 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1,3. 角动量空间量子化,磁量子数 ml = 0 , 1 , 2 , , l,当 n = 1 时， l = 0 。当 n = 2 时， l 可以取 0 和 1 ,
