1、 1 北师大版高中数学必修 1第三章第四节第二课时 教学设计 4.1.1 对数运算性质 西安市育才中学 刘根祥 教学目标 （ 1） 知识与技能： 掌握对数运算性质以及能够说明推导过程，并能灵活运用运算性质进行对数运算 . （ 2） 过程与方法： 通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的 “ 推理能力 ” 、 “ 等价转化 ” 和 “ 演绎归纳 ” 的数学思想方法以及创新意识 （ 3） 情感、态 度 与价值观： 在对数运算性质的探究过程中，培养学生善于观察，勇于探索的自主学习习惯和科学的思维方法。 教学重点、难点 教学重点： 对数运算性质及其推导过程 . 教学难点： 对数运算性质的 探究与
2、证明 教学过程 （一） 复习巩固，引入新课： （ 1）对数的定义 bNa log ，掌握其中 a 与 N 的取值范围； （ 2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式； （ 3）指数运算法则（积、商、幂）。 设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备 2、请同学判断以下几组数是否相等？ （ 1） 101lg100lg ， )101100lg( ； （ 2） 81log4log22 ， 21log2； 提出问题：由（ 1）（ 2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？ 设计意图：让学生观察，学会从特
3、殊到一般，寻求规律。 新课讲解： 请同学们交流讨论得出结论， 当底数相同的时候，两个正数的对数之和等 于两个正数积2 的对数。 那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体的来证明我们的这一结论： 设计意图：让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略 如果 a 0 ， a 1， M 0 ， N 0，证明： lo g ( ) lo g lo ga a aM N M N 证明：（性质 1）设 loga Mp ， loga Nq ， 由 对数的定义可得 pMa ， qNa ， p q p qM N a a a ，
4、 log ( )a MN pq ， 即证得 lo g lo g lo ga a aM N M N 结论总结： 如果 a 0 ， a 1， M 0 ， N 0，那么 lo g ( ) lo g lo ga a aM N M N 事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质： （ 2） lo g lo g - lo ga a aM MNN ； 商的对数 =对数的差 （ 3） lo g lo g ( )naaM n M n R 一个数 n 次方的对数 =这个数对数的 n 倍 那么，请同学们结合前面的性 质（ 1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（ 2
5、）（ 3）进行证明。 3 分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论 ，是否能够找到更多的证明方法。 设计意图： 1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念； 2、寻求多种方法，发散学生思维 性质 2 方法一：（仿照性质（ 1）同理可证） 方法二：由性质（ 1）的结论出发： MNNMNNMaaaa lo glo glo glo g NMNMaaa l o gl o gl o g 方法三：由性质（ 1）的结论出发： 引导学生进行转化，把不熟悉的知识向熟悉的知识转化。 利用指数和对数的关系： NabN ba lo g 3 NMNNNMNM aaaaaa l o g
6、l o gl o gl o gl o gl o g 这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。 （性质 3） 设 loga Mp ， 由对数的定义可得 pMa ， n npMa ， log na M np ， 即证得 log lognaaM n M log na M np ， 即证得 log lognaaM n M 通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质 如果 0a 且 1a ， 0M ， 0N 那么 （ 1） lo g ( ) lo g lo ga a aM N M N； 积的对数 = 对数的和 （ 2） lo g lo g - lo ga a aM MNN ； 商的对数
7、 =对数的差 （ 3） lo g lo g ( )naaM n M n R 一个数 n 次方的对数 =这个数对数的 n 倍 说明：（ 1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”（简易表达以帮助记忆）； （ 2）注意有时必须逆向运算：如 11025 101010 lo glo glo g ； （ 3） 注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数 ； 例如： 12lo g12lo g4lo g3lo g 3232 )5(log)3(log)5)(3(log 222 是不成立的， )(lo g)(lo g 10210 10210 是不成立的； （ 4）当心记忆错误： Nlo gMlo g)MN(l
8、o g aaa ，试举反例， Nl o gMl o g)NM(l o g aaa ，试举反例。 （ 5） 性质（ 1）可以进行推广： 即 loga（ M1M2M3 Mn） =logaM1+logaM2+logaM3+log aMn （其中 a 0，且 a1， M1、 M2、 M3 Mn 0） . 设计意图：加深学生对知识的理解，注意到一些细节问题，避免出现公式的错误应用。 （三）典型例题： 例 1、计算 （ 1） )39(log 523 （ 2） 51100lg 4 答案：（ 1） 9 （ 2） 52 设计意图：让学生熟悉三个运算性质 例 2计算： lg14 21g 18lg7lg37 ； 解
9、：（ 1）解法一： 18lg7lg37lg214lg 2l g ( 2 7 ) 2 ( l g 7 l g 3 ) l g 7 l g ( 3 2 ) l g 2 l g 7 2 l g 7 2 l g 3 l g 7 2 l g 3 l g 2 0 ； 解法二： 18lg7lg37lg214lg 27lg 1 4 lg ( ) lg 7 lg 1 83 =18)37(714lg2 lg1 0； 设计意图：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。 （四） 课堂练习： P. 83 练习 2， 3 其中第 2 题同桌分工，一个顺向作，一个逆向作，最后核对答案是否一致。
10、 （五） 小结： 1、本节课学习了对数的运算性质及其运用，要注意指数运算性质与对数运算性质的对照。 式子 Nab bNa log 名称 a 幂的底数 b 幂的指数 N 幂值 a 对数的底数 b 以 a 为底的 N 的对数 N 真数 运算性质 ma nmn aa nmnm aaa mnnm aa )( （ 0a ，且 1a ， Rnm , ） lo g ( ) lo g lo ga a aM N M N； lo g lo g - lo ga a aM MNN ； lo g lo g ( )naaM n M n R （ 0a ，且 1a ， 0M ， 0N ） 2对数的运算法则（积、商、幂的对数）及其成立的前提条件； 3运算法则的逆用，应引起足够的重视； 4对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧。 （六） 作业：课本 87 页习题 3.4A 组 5、 6 题。 5
