1、引例定积分的定义可积函数类定积分的几何意义例题,第一节 定积分的概念,第六章 定积分,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,（2）近似,任取,定义,二、定积分的定义,记为,积分上限,积分下限
2、,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,例2* 利用定义计算定积分,解,例3 求极限,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故, 定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题估计积分值；不计算定积分比较积分大小,第二节 定积分基本性质,对定积分的补充规定:,说明,: 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定
3、积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,解,令,于是,性质5的推论1：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论2：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,问题的提出积分上限函数牛顿莱布尼茨公式,第三节 微积分基本公式,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质
4、,证,由积分中值定理得,补充,证,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,例6 求,解,由图形可知,例7 求,解,解 面积,换元公式 应用实例 几个常用结论,第四节 定积分的换元积分法,定理,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2
5、）,例1 计算,解,令,例2 计算,解,例3 计算,解,原式,例4 计算,解,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,几个常用结论：,分部积分公式应用实例,第五节 定积分的分部积分法,推导,一、分部积分公式：,例1 计算,解,令,则,二、应用实例：,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,例5 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,a,b,一、 定积分的元素法,第六节 定积分的应用,面积表示为定积分的步骤如下:,（,n,.,（3）求和，得A的近似值,y,提示,（4） 求极限，得A的精确值,元素
6、法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,返回,二、平面图形的面积,面积元素,两曲线的交点,解,选 为积分变量,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2、极坐标系情形,返回,2a,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,三、体积,1 、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,返回,四、定积分在经济中的应用,例11,解,
