1、-_第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设 x0,x 的相对误差为 ,求 lnx的误差.2. 设 x 的相对误差为 2,求 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *12345.0,.1,85.6,.30,71.xxx4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: 241324(),(),()/,ixii其中 124,均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?6. 设 08,Y按递推公式 17830nY( n=1,2,)计算到 10.若取 7327.9
2、82(五位有效数字),试问计算 10Y将有多大误差?7. 求方程 256x的两个根,使它至少具有四位有效数字( 78327.982).8. 当 N 充分大时,怎样求 21Ndx?9. 正方形的边长大约为 100,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2?10. 设21Sgt假定 g 是准确的,而对 t 的测量有0.1 秒的误差,证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列 ny满足递推关系 10ny(n=1,2,),若 021.4y(三位有效数字),计算到 10时误差有多大 ?这个计算过程稳定吗?12. 计算 6(2)f,取 .4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最
3、好? 36 3(2),972.1(2)13. 2()ln)fxx,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 22ln()ln(1)xx计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组10102;.xx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?-_15. 已知三角形面积1sin,2abc其中 c 为弧度,02c,且测量 a ,b ,c 的误差分别为,.abc证明面积的误差 满足 .absc第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 200011112(),)nnnnnnxxVxx 证明 ()n是 n 次多项式 ,它的根是 0, ,且1101
4、()()()nnnxxx .2. 当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式.3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.2231444. 给出 cos x,0 x 90的函数表,步长 h =1=(1/60), 若函数表具有 5 位有效数字,研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5. 设 0kh,k=0,1,2,3,求 032ma()xl.6
5、. 设 j为互异节点( j=0,1,n),求证:i) 0)(,1);nkkjxlii)(,2.kjjj7. 设 2),fxCab且 ()0fb,求证21()().8axmaxb bf f8. 在 4上给出 xe的等距节点函数表,若用二次插值求 e的近似值,要使截断误差不超过 610,问使用函数表的步长 h应取多少?9. 若 2ny,求4ny及 .10. 如果 ()fx是 m次多项式 ,记 ()(fxfx,证明 ()f的 k阶差分)k是 k次多项式,并且 0mll为正整数).11. 证明 1kfgfgf.12. 证明1010 .n nnkk f-_13. 证明1200.njnjyy14. 若11
6、()nnfxaax有 个不同实根 12,nx ,证明10,;.1()nkjkajjf15. 证明 n阶均差有下列性质:i) 若 ()Fxcf,则 001,nnFxcfx ;ii) 若 ()g,则 1 01,nxgx .16. 74()3f,求072f及0182f.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)211)()/4!,(,)kkkRxfxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 P,使它满足 0P并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 ()x,以便使它能够满足以下边界条件(0)P, (1
7、), (2)1.20. 设 fxCab,把 分为 n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n并证明当 n时, ()x在 ab上一致收敛到 ()fx.21. 设 21/)f,在 5上取 10,按等距节点求分段线性插值函数 ()hIx,计算各节点间中点处的 hI与 f的值,并估计误差.22. 求 2()fx在 ,ab上的分段线性插值函数 ()hIx,并估计误差.23. 求 4在 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:jx0.25 0.30 0.39 0.45 0.53jy0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280试求三次样条插值 ()Sx并满足条
8、件i) (0.25)1.,0.53.68;ii) 25. 若 ,fxCab, ()是三次样条函数,证明i) 222() ()()()b b ba a adSxdfxSdxSfxSd;ii) 若 (0,1)iif n ,式中 i为插值节点,且 01nb ,则()()()()baSxff.26. 编出计算三次样条函数 )Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图( (Sx可用(8.7)式的表达式). -_第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为 ,ab的伯恩斯坦多项式 .(b)对 ()sinfx在 0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做
9、比较.2. 求证:(a)当 ()mfM时, (,)nBfx. (b)当 ()fx时, (,)nBfx.3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 si4在 0,2的最佳一致逼近多项式.4. 假设 ()fx在 ab上连续,求 ()f的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数 ,使301x达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求 ()sinf在 ,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求 xe在 上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取 r,使 2()pr在 1,上与零偏差最小? r是否唯一?9. 设 43()f,在 0上求三次最佳逼近多项式.10. 令 1)nTxx,求*0123(),(),Txx
10、T.11. 试证 *(是在 ,上带权的正交多项式.12. 在 ,上利用插值极小化求 1 1()fxtg的三次近似最佳逼近多项式.13. 设 ()xfe在 ,上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 ()nLx,若 nf有界,证明对任何 1n,存在常数 n、 ,使 1()()()1.nnTfxLT 14. 设在 ,上2345156880xx,试将 ()x降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在 1,上利用幂级数项数求 ()sinfx的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16. ()fx是 a上的连续奇( 偶)函数,证明不管 是奇数或偶数, ()fx的最佳逼近多项式*nnFH也是奇( 偶)函
11、数.17. 求 、 b使 220sinxdx为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()fx、 1,gCab,定义,)();(),()();baffgfgfxdfag 问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计610xd的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.-_20. 选择 a,使下列积分取得最小值:1122(),xadxad.21. 设空间 021,spnxspn,分别在 1、 上求出一个元素,使得其为 20,xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f在 上,求在241,ax上的最佳平方逼近 .23.2sin()arcosn
12、 xu是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxu.24. 将1()sifx在 ,上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把 ()arcof在 上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如 2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合 ,并求均方误差.ix19 25 31 38 44iy19.0 32.3 49.0 73.3 97.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间 t(秒 ) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0距离 s(米) 0 10 30 50 80 110求运动方程.28. 在某化学反应
13、里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘拟合求 ()yft.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录 4,3210,kx,试用改进 FFT 算法求出序列 kx的离散频谱 kC(0,17).第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1) 1
14、01()()()()hfxdAfhfAfh;(2)2h;(3) 1 12()()2()3)/fxffxf;-_(4) 20()(0)/1(0)hfxdfhaffh.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84nx; (2)1210(),0xedn;(3)91,d; (4)26si,6.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xed并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()ba ffxdaba;(2)f;(3)3()()(24ba ffxdaba.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当 n时收敛到积
15、分 ()bafxd.7. 用复化梯形公式求积分 ()bafxd,问要将积分区间 ,分成多少等分,才能保证误差不超过 (设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分102xe,要求误差不超过 510.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22()sincSad,这里 a是椭圆的半长轴, c是地球中心与轨道中心( 椭圆中心)的距离,记 h为近地点距离, H为远地点距离, 6371R公里为地球半径,则 (2)/()/aRH.我国第一颗人造卫星近地点距离 49h公里,远地点距离 384公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin!n试依据 sin(/)3,612)的值,用外推算法求
16、 的近似值.11. 用下列方法计算积分31dy并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求 21()fx在 x1.0,1.1 和 1.2 处的导数值,并估计误差. ()fx的值由下表给出:1.0 1.1 1.2 1.3 1.4f0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736-_第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题 0)(,ybax分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解21相比较。2. 用改进的尤拉方法解初值问题 ,1)0(;yx取步长 h=0.1
17、 计算，并与准确解 e2相比较。3. 用改进的尤拉方法解 ,0)(;yyx取步长 h=0.1 计算 )5.0(y，并与准确解 12e相比较。4. 用梯形方法解初值问题 ,1)0(;y证明其近似解为 ,2nnh并证明当 0h时，它原初值问题的准确解 xey。5. 利用尤拉方法计算积分 dtx02在点 2,5.1x的近似值。6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1） ,)0(;yx2） .;1),1/37. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的： ).1(,)(;,);(213213hKtytxfKhfynnn8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的：-_1） );
18、32,(,);();3431211hKyxfKyxfhnnnn2） ).43,(;2,);(493121 321hKyxfKyxfnnnn9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： ,0(,1取 ,8.0,.01yh计算 ).y并与准确解 xey1相比较。10. 证明解 )(xf的下列差分公式 )34(21111 nnnnh是二阶的，并求出截断误差的首项。11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).(2102101 nnnnn ybybayay12. 将下列方程化为一阶方程组：1） ;)(,)0(,232） ;0,.y3）,)()( 233 yxrytrxt .)0(
19、,4.013. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题 .681)(,(;y14. 对方程 ),(yxf可建立差分公式 ),2211 nnn yxfh试用这一公式求解初值问题 ,0)(;y验证计算解恒等于准确解 .2x-_15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 .2)1(,0)( ;3612yyxx第六章 方程求根1. 用二分法求方程 012x的正根，要求误差0.05。2. 用比例求根法求 sin)(f在区间0,1内的一个根，直到近似根 kx满足精度05.|)(|kxf时终止计算。3. 为求方程 23在 5.0附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。1） /，迭代
20、公式21/kkxx；2） 23x，迭代公式 3；3） ，迭代公式 /1kk。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。4. 比较求 021xe的根到三位小数所需的计算量；1）在区间0,1内用二分法；2) 用迭代法 /)(xkke，取初值 0x。5. 给定函数 f，设对一切 )(,f存在且 Mxfm)(，证明对于范围内M/20的任意定数 ，迭代过程 1kk均收敛于 f的根 x。6. 已知 )(x在区间a,b内只有一根，而当 axb 时，|)(|x，试问如何将 化为适于迭代的形式？将 tg化为适于迭代的形式，并求 x=4.5（弧度）附近的根。7. 用下列方法求 013
21、)(f在 2x附近的根。根的准确值x1.87938524，要求计算结果准确到四位有效数字。1) 用牛顿法；2）用弦截法，取 9.1,0x；3）用抛物线法，取 2,3。8. 用二分法和牛顿法求 tg的最小正根。9. 研究求 a的牛顿公式 ,0),(21xaxkk证明对一切 ak,21 且序列 1是递减的。10. 对于 0)(xf的牛顿公式 )(/1kkkff，证明 21)(xxR收敛到 )(/xff，这里 为 0f的根。11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：-_1) ;0,)(xxf2) .,)(32f12. 应用牛顿法于方程 0ax，导出求立方根 3a的迭代公式，并讨论其收敛性。1
22、3. 应用牛顿法于方程01)(2xf，导出求 的迭代公式，并用此公式求15的值。14. 应用牛顿法于方程 )(axfn和)(nxaf，分别导出求 na的迭代公式，并求 ./lim21knkkx15. 证明迭代公式 akk213)(是计算 a的三阶方法。假定初值 0x充分靠近根 x，求 .)/()(li 31kkk第七章 解线性方程组的直接方法1. 考虑方程组： ;257.0397.02786.40.178.0 419365 ;1.5.2. 33321 xx(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算） ，(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2. (a) 设 A 是对称阵且 1a，经过高斯消去法一步后， A 约化为210aT证明 A2 是对称矩阵。(b)用高斯消去法解对称方程组： .862102147.4759.086. ;3.31386.2. xx4. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵且有分解式 A=LU，其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵，求证 A 的所有顺序主子式均不为零。5. 由高斯消去法说明当 ),1(nii 时，则 A=LU，其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。
