1、22初中数学竞赛辅导资料(10)二元一次方程的整数解甲内容提要1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程 ax+by=c 中,若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立,方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解,(9,3)3,而 3 不能整除 10;(4,2)2,而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数, (a,b)中的 a,b 实为它们的绝对值。2, 二元一次方程整数解的求法
2、:若方程 ax+by=c 有整数解,一般都有无数多个,常引入整数 k 来表示它的通解(即所有的解) 。k 叫做参变数。方法一,整除法:求方程 5x+11y=1 的整数解解:x= = (1) , 51yyy2510设 是整数) ,则 y=1-5k (2) , k(把(2)代入(1)得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是 (k 是整数)yx512方法二,公式法:设 ax+by=c 有整数解 则通解是 (x 0,y0 可用观察法)0yxakyb03, 求二元一次方程的正整数解: 出整数解的通解,再解 x,y 的不等式组,确定 k 值 用观察法直接写出。乙例题例 1 求方程 5x9
3、y=18 整数解的能通解解 x= 5325310598yyy23设 (k 为整数) ,y=35k, 代入得 x=99k y53原方程整数解是 (k 为整数) yx539又解:当 x=o 时,y= 2,方程有一个整数解 它的通解是 (k 为整数)0yxyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2,求方程 5x+6y=100 的正整数解解:x= (1),520561y设 (k 为整数),则 y=5k,(2)ky把(2)代入(1)得 x=20-6k, 解不等式组0yx0562k得 0k ,k 的整数解是 1,2,3,6正整数解是 54yx085yx例 3,甲种书每本 3 元,乙种书
4、每本 5 元,38 元可买两种书各几本?解:设甲种书买 x 本,乙种书买 y 本,根据题意得3x+5y=38 (x,y 都是正整数)x1 时,y=7, 是一个整数解71通解是 (k 为整数)y35解不等式组 得解集是 整数 k=0,1,20713751k24把 k=0,1,2 代入通解,得原方程所有的正整数解 71yx461yx答:甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。丙练习 101, 求下列方程的整数解公式法:x+7y=4, 5x-11y=3整除法:3x+10y=1, 11x+3y=42, 求方程的正整数解:5x+7y=87, 5x+3y=1103,一根长
5、 10000 毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300 毫米,乙种毛坯长 250 毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?4, 兄弟三人,老大 20 岁,老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97,求兄弟三人的岁数。5, 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:(填编号) 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一张试巻有 20 道选择题,选对每题得 5 分,选错每题反扣 2 分,不答得 0 分,小这军同学得 48 分,他最多得几分?7 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解:y= 1 4 2x= 3y返回 目录 参 考答案 上一页 下 一页