1、希望杯第四届（ 1993 年）初中一年级第 2 试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1. 的值是 ( )10.0.A-11110 B-11101C-11090 D-119092一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是( )A285 B286C287 D2883a，b都是有理数，代数式a 2+b2，a 2-b2，(a-b) 2，(a+b)2，a 2b2+1，a 3b+1，a 2+b2+0.1，2a 2+3b4+1中，其值为正的共有( )A3个 B4个C5个 D6个4a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )A. ; B.
2、 ; C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc).1()c1()cab519 93+9319的末位数字是 ( )A2 B4 C6 D86今天是4月18日，是星期日，从今天算起第1993 3天之后的那一天是 ( )A星期五 B星期六C星期日 D星期一7n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值则r的最大值与最小值的和是 ( ) A148 B247C93 D1228绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 ( )A0 B-32C33 D-339x是正数，表示不超过x的质数的个数，如=3即不超过5.1的质数有2，3，5共3个那么+的值是( )A12 B11C10 D91
3、0如图26是一个长为a，宽为b的矩形两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形则矩形中未涂阴影部分的面积为( )A.ab-(a+b)cBab-(a-b)c C(a-c)(b-c)D(a-c)(b+c)二、填空题（每题1分，共10分）1在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在- 与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_.193.42设a=1234，b=1(234)，c=1(23)4，d=12(34)，则(ba)(cd)=_3两个同样的大小的正方体形状的积木每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1，现将两个正方体并列放置
4、看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个面上的数的和等于_ 4计算:777771111123456899996=_.5. 是一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且 abcd，则|a-abcdb|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是_6连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是_7某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分则第三名的得分至少是_分8.计算: =_.221939若a，b，c，d为非负整数且(a 2+b2)(c2+d2)
5、=1993则a+b+c+d=_10有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的 ,乙采的数量是丙的 倍,丁比甲多采了3个452蘑菇,则丁采蘑菇_ 个.三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共10分）1 如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）试求满足上述条件的矩形的面积最小值2你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由答案与提示一
6、、选择题1C 2C 3A 4A 5C 6B 7A 8D 9B 10C提示：=10-100-1000-10000=-11090选C2在-109.2与-11.9之间最小整数是-109，最大整数是-12共计包含(-12)-(-109)+1=98个整数在10.5与199.5之间包含最小整数是11，最大整数是199共计包含199-11+1=189个整数因此墨水共盖住98+189=287个整数选C3当a=b=0时，a 2+b2，a 2-b2，(a-b) 2，(a+b) 2取值为0，而当a=-1，b=1时a 3b+1=0因此对任意有理数a，b其值为正的只有a 2b2+1，a 2+b2+0.1，2a 2+3b
7、4+1，共3个选Aac(1-bc)0，所以选A519 93=19423+1，93 19=9344+3所以19 93与19 1的末位数相同是9、93 19与93 3末位数字相同是7因此19 93+9310末位数字是9+7=16的末位数字6，选C61993 3=(2847+5)3=(2847)3+3(2877)25+3(2877)52+125所以1993 3被7除的余数与125被7除的余数相同，125=77+6所以1993 3被7除余数为6从4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此1993 3-6恰是星期六，再往后数6天，1993 3天是星期五而1993 3天之后的那
8、一天应是星期六，选B7n(n+1)为偶数设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数显然B、C均应排除由除数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272这些值，计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146所以r的正的最小值与最大值的和是148选A8即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，7，91，94，97共计33个在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95，-92，-89，-8，-5，-2共33个其总和为-33选D9为不超过19
9、的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个为不超过93的质数，共24个，易知=0所以+=+=11，选B10解大矩形面积为ab，两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc重叠部分面积为c2，所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c 2=(a-c)(b-c)，选C解将阴影部分等积变形如图29，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c 2)均未改变易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C二、填空题提示：1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有21993+1=3987个整数，3987=1=59823由于正方体上相对两个面上写
10、的数之和都等于-1所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15因此，看不见的七个面上所写数的和等于(-6)-15=-215若abcde时|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a当e=9，a=1时取最大值为8若abcd，且de时|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e当d=9，a=1，e=0时，取最大值17所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是176设这连续的
11、1993个自然数为x-996，x-995，x-1，x，x+1，x+2，x+995，x+996显然x-9961，即x997这1993个连续自然数之和设为则=1993x，要求为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993此时，1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当为完全平方数时，1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是29897设六个人的成绩依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6则65=x6x 5x 4x 3x 2x 1100x 1+x2+x3+x4+x5=546-65=481要使x 3最小，必须x 1，x 2尽可能大，x 4，x
12、5尽可能接近x 3，所以当x1=100，x 2=99，x 4=x3-1，x 5=x3-2时，x 3取最小值，即100+99+x 3+(x3-1)+(x3-2)=4813x3=481-100-99+3=285x 3=95答：第三名的得分至少是95分9因为1993是质数，a 2+b2与c 2+d2都是正整数，所以a 2+b2与c 2+d2分别取值1与1993（参见第一试填空第7题解答）为确定起见；，不妨设a 2+b2=1，c 2+d2=1993(1)a2+b2=1推知a0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1(2)c2+d2=1993若c31，d31，则c 2+d2231 2=2961=1922
13、1993所以c，d中至少有一个大于31又由于44 2=19361993，故设c为c，d中较大的一个，则32c44我们依次取c=44，43，42，41，33，32试算如下：其中1933-c 2的结果中，只有144=12 2为完全平方数，即43 2+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43因此，c+d=55所以a+b+c+d=1+55=66一个近似为首位的是3的两位整数因此，由近似数的表示有23.5x31.5因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇舍五入，
14、约为38是个十位数是3的两位数三、解答题1如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y消去z得18x=49y因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长
15、、宽分别为593和422此时得最小面积值是593422=2502462答：找不到满足条件的三个整数理由如下：如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾故不存在三个整数a，b，c满足关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388
