1、考点跟踪训练 24 矩形、菱形和正方形一、选择题1(2011滨州)如图，在一张 ABC 纸片中， C 90，B60，DE 是中位线，现把纸片沿中位线 DE 剪开，计划拼出以下四个图形： 邻边不等的矩形；等腰梯形；有一个角为锐角的菱形；正方形那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 一定能拼成的是邻边不等的矩形、等腰梯形、有一个角为锐角的菱形2(2011衢州)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡 AF、AG 分别架在墙体的点 B、点 C 处，且 ABAC，侧面四边形 BDEC 为矩形，若测得FAG 110，则 FBD( )A35
2、 B40 C55 D70答案 C解析 在ABC 中，ABAC，FAG110，ABC 35.180 1102又DBC90，FBD180 ABCDBC55.3(2011绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是 ( )A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相平分的四边形是矩形C矩形的对角线互相垂直且平分D矩形的对角线相等且互相平分答案 D解析 矩形的对角线相等且互相平分4(2011兰州)如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S 2，则 S1S 2 的值为( )A16 B17 C18 D19答案 B解析 如图，S 1 占三角形面积的 ，12S1 9；(1266) 12
3、S2 占三角形面积的 ，49S2 8；(1266) 49所以 S1S 29817.5(2011重庆)如图，正方形 ABCD 中，AB 6，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE.将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF .下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF ；S FGC 3.其中正确结论的个数是 ( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 经过折叠，有ADE AFE，ADAF，D AFE90，ABAF，B AFG90.又AG AG， ABGAFG；设 BGFG x，则CG6 x，EG2x ，EC 4，由勾股定理，得(2x) 24 2(6x) 2
4、，解之，得 x3，所以CGBG3；画 FHGC 于 H，GFHGEC，有 ， ，FH ，GH .在 RtCFH 中，tanFCG 2，FHEC GFGE GHGCFH4 35 GH3 125 95 FHCH1253 95在 RtABG 中，tan AGB 2， FCGAGB， AGCF；SABBGFGC GCFH 3 3；12 12 125 185故结论 、正确二、填空题6(2011黄冈)如图：矩形 ABCD 的对角线 AC10，BC8，则图中五个小矩形的周长之和为_答案 28解析 在 RtABC 中，AC10，BC8，所以 AB6，故五个小矩形的周长之和等于矩形 ABCD 的周长 28.7(
5、2011南京)如图，菱形 ABCD 的边长是 2 cm，E 是 AB 中点，且 DEAB，则菱形ABCD 的面积为_cm 2.答案 2 3解析 在 RtADF 中，AD2 ，AE AB1，所以 DE ，S 菱形12 3ABCDAB DE2 2 cm2.3 38(2011绵阳)如图，将长 8 cm，宽 4 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为 _cm.答案 2 5解析 因为折叠，设 DFDFx， 则 FC8x ，DCAD 4，在 RtDFC 中，由勾股定理，得 x24 2(8 x )2，解之，得 x3.连接 AC 交 EF 于点 O，由折叠得FOC90，
6、在 RtFCO 中， CO AC 2 ，所以 EO ，EF2EO 2 12 12 82 42 5 52 2 52 5.59(2011广东)如图 1，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2(如图 2)；以此下去，则正方形 A4B4C4D4 的面积为_答案 625解析 因为正方形 ABCD 的面积为 1，所以 AB1， AB1 2，正方形 A1B1C1D1 的面积等于 122 25；同理，正方形 A2B2C2D2 的面积等于( )2(2 )225；正方形 A3B3C3D3 的
7、面5 5积等于 5210 2125；正方形 A4B4C4D4 的面积等于(5 )2(10 )2625.5 510(2011德州)长为 1，宽为 a 的矩形纸片( a1)，如图 1 那样折一下，剪下一个边12长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作 )；再把剩下的矩形如图 2 那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作) ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当 n3 时，a 的值为_答案 或35 34解析 由题意，可知当 a1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 1a，所以12第二次操作时正方形的边长为 1a，第二次操作以后剩下的矩形
8、的两 边分别为 1a,2a1.此时，分两种情况：如果 1a 2a1，即 a ，那么第三次操作 时正方形的 边长为 2a1.23则 2a1(1a)(2 a1)，解得 a ；35如果 1a 2a1，即 a ，那么第三次操作 时正方形的 边长为 1a.23则 1a(2a1)(1 a)，解得 a .34故答案为 或 .35 34三、解答题11(2011广州)如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AEAF.求证：ACEACF.解 证明： AC 是菱形 ABCD 的对角线， CAECAF.在ACE 和ACF 中，AEAF， CAE CAF，AC AC，ACEAC
9、F.12(2011衢州)如图，ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AEBC ，过点D 作 DEAB， DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，连接 EC.(1)求证：AD EC；(2)当BAC Rt时，求证：四边形 ADCE 是菱形；(3)在(2)的条件下，若 ABAO，求 tanOAD 的值解 (1)解法一：证明：DE AB，AEBC，四 边形 ABDE 是平行四边形，AEBD，且 AEBD.又 AD 是 BC 边上的中线，BDCD，AECD，且 AECD，四 边形 ADCE 是平行四边形ADCE.解法二：证明：DE AB，AEBC，四 边形 ABDE 是平行四边形，
10、 BEDC.ABDE.又 AD 是 BC 边上的中线，BDCD.ABDEDC(SAS)ADEC.(2)解法一：证明：BACRt，AD 是斜边 BC 上的中线，ADBDCD.又 由(1)得四边形 ADCE 是平行四边形，四 边形 ADCE 是菱形解法二：证明：DE AB，BACRt，DEAC.又 由(1)得四边形 ADCE 是平行四边形，四 边形 ADCE 是菱形解法三：证明：BACRt，AD 是斜边 BC 上的中线，ADBDCD.四 边形 ABDE 是平行四边形，AEBDCD.又 ADEC，ADCDCEAE.四 边形 ADCE 是菱形(3)解法一：解： 四 边形 ADCE 是菱形，AOCO，A
11、OD90.又 BDCD ，OB 是ABC 的中位线，则 OD AB.12ABAO，OD AO.12在 RtAOD 中，tanOAD .ODOA 12解法二：解： 四 边形 ADCE 是菱形，AOCO AC，ADCD，AOD90.12ABAO，AB AC.12在 RtABC 中， tanACB .ABAC 12ADCD，DACDCA.tanOADtan ACB .1213(2011南京)如图，将ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CEDC，连接 AE，交 BC于点 F.(1)求证：ABFECF；(2)若AFC 2 D，连接 AC、BE .求证：四边形 ABEC 是矩形解 (1)证明：四边形
12、ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD.ABFECF .ECDC, ABEC.在ABF 和ECF 中，ABFECF， AFB EFC，ABEC ，ABFECF.(2)解法一：AB CD EC ，ABEC，四 边形 ABEC 是平行四边形AFEF, BFCF.四 边形 ABCD 是平行四边形，ABCD.又AFC2 D，AFC2ABC.AFCABF BAF，ABFBAF.FAFB.FAFEFBFC, AEBC.ABEC 是矩形解法二：ABEC ，ABEC，四 边形 ABEC 是平行四边形四 边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，D BCE.又AFC2 D，AFC2BCE.AFCFCEFEC
13、，FCEFEC.DFEC .AEAD.又 CEDC ，ACDE.即ACE90.ABEC 是矩形. 14(2011宁波)如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，过 A 点作 AG BD 交 CB 的延长线于点 G.(1)求证：DE BF；(2)若G90，求证：四边形 DEBF 是菱形解 (1)证明：在ABCD 中，ABCD， ABCD.E、F 分别为边 AB、CD 的中点，DF DC，BE AB，12 12DFBE，DFBE.四 边形 DEBF 为平行四边形DEBF.(2)证明： AGBD，GDBC 90.DBC 为直角三角形又 F 为边 CD 的中点，BF CDDF.12又 四边 形 DEBF 为平行四边形，四 边形 DEBF 是菱形
