1、1求下列 R 的特征值设(1) (2)420631 2)3/exp(6)3/exp(62jjR解：(1)令 为 R 的特征值，则 (2)令 为 R 的特征值：)det(I 0)det(I即： 即：0420634 02)3/exp(6)3/exp(6jj于是 R1 的三个特征值分别为： 于是 R2 的两个特征值为： 1451532， 5,012证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为：12Q证明：由已知条件知相关矩阵为 R：ab则 R 的特征值为： b21,当 时， ，则特征向量为：ba1I 1,qx当 时， ，则特征向量为：2 bIR,2则特征向量为：12Q3如图 3.1 所
2、示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：(1) )6/2cos(,6/)(sin),6/2sin(10 kdkxkx kkk (2) /)5.1(/)2()1(2)/( 4jjjj eeee试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？解：(1)由题中条件知：5.02kxE5.021kxE10kxd4/31kxd于是输入相关矩阵为：5.02.R4/30P则最优权为： 17.1Wopt最小均方误差为： 389.02minoptTkWPdE(2)由题中已知条件知：420kxE 6/26/221 jjk ex6/38jed 6/14 jjkxdE/4/210jjkx/
3、6/2jje于是输入相关矩阵为：6/26/26/46/2 4 jjjj eeR 6/6/348jjePR 的逆不存在，则最优权为：jcWopt 324最小均方误差为： 02minoptTkWPdE区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，权值为复数权4设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：2)3/exp(6)3/exp(6jjRs及 ，试计算 MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。IRn05.解：由已知条件知：系统输出的信噪比 SNR 为瑞利商形式，可表示为WRSNHs20最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵 Rs 的最大特征值对应的特征向量
4、，而0detIRs即： 02)3/exp(6)3/exp(6jj5,021当 时，得到的特征向量为：01 63/0jecq当 时，得到的特征向量为：52 13/1j自适应最大信噪比时输出时的权向量为：3613/1jMSNeqW最大输出信噪比为：10361123620/ 3/3/max jj jjjj eeeSNR5设某一实单变量性能表面由下式给出：14.02试问收敛参数在什么样的范围内取值可得到一条过阻尼权调整曲线。解：由性能函数 对权值 的二阶导数可以得到：)(28.02d其中 为系统输入的功率当 时迭代过程收敛，且当 即1 18.0时为过阻尼状态。25.106已知：，21R78P试用式(4
5、.16) 和式(4.37)分别写出最陡下降法与牛顿权调整公式的显式，并由此解释互耦的概念解：对于最陡下降法，由公式 得)(1kkW 78242,101,0 kk ww对于牛顿法，由 得kkR123)2(,101,0kk对于最陡下降法，权系数的第一分量迭代过程不仅与第一分量有关系还与第二分量有关系，是耦合的。而牛顿法只与本分量有关，是去耦合的。7一个复权自适应系统其性能表面由下式给出：23)Re(052求最小均方误差 与 的值，若让权围绕 以扰动量为opt,min5.0.1j0.1进行扰动，求性能损失 和扰动 P。解：由单复权的性能表面为：2min)(opt对比已知条件知： ， 53it由公式知
6、： 25minP8在某种情况下，自适应线性组合器的输出误差服从均值为零、方差为 3 的正态分布。如果均方误差是基于误差的 10 个样本进行估值的，试求估值的方差。解：由已知条件可知： 10,3,02nm得到： 6.3)(4)/()var 222 Nm估值的方差为 3.69给定题 7 的条件，假设在每个扰动后权的设定点上基于 5 个误差的观察值来估计梯度的实部和虚部分量，若复误差输出 是零均值正态分布的，求梯度估k值的方差。解：对于复权系统的梯度估值; )()()()(41var 2222 aaba vvvvEN又 即 且 jwopt5.0 5.0,.ba .15N则梯度估计的方差为： 6.2v
7、r10若 D 为一对角矩阵，则01)(nDI成立的条件是什么？当 D 不是对角矩阵时结果正确？如果是正确的，条件是什么？解：当 D 为对角矩阵时，式子成立的条件是：对角线元素收敛，即 0limnid当 D 不是对角矩阵时，式子成立的条件是 D 为收敛矩阵，即 1D11对于一个单实权的自适应系统，设自适应增益常数 ，输入信号的0.均方值为 2，试问权调整和学习曲线的时间常数各为多少？(a)最陡下降法(b)牛顿法解：(a)权调整常数为： 2504.12学习曲线的时间常数 mse(b)权调整常数为: 502.1学习曲线的时间常数 mse12对题 9 给出的条件，设 取它最大稳定值的一半，且 N =1
8、0 个误差观测值，求超量均方误差及自适应时间常数 。mseT(1)用最速下降法(2)用牛顿法解：令权值为 TwW10则由 与已知条件可知：22kTdEPR18742k则： ToptW32 4minoptTkWPdER 的特征值为： 得,102in25.0avP对最速下降法： 为最大稳定值得一半 .6/1/max05.)1()1(LNTavavmse 2min2)(4avseTPxcMSE对牛顿法： 5.04021)()1(2NLTmse 401mseT2min215)(4avsePTxcMSE13设有两个实权得自适应线性组合器，输入 x 有 ， 每次32kE21kx选迭代用 80 次误差观测，
9、扰动 ，自适应增益常数 ，求两种情0.0.况下得失调。(1)最速下降法(2)牛顿法解：由已知条件知： 32R对 R 进行特征值分解得： 5,10对于最速下降法： 4875.12*80)(5.1)()1( eLNTavavmse失调为 3.)(4avmseTPM对于牛顿法：160.*821)(2)1(2 NLTmse失调： 019.)5/1(*.0)5(.*1605.*4)/1(4)( 22 avvmsePTLM14给定图 6.6 系统辨识结构，试用式(6.36)给出自适应递归滤波器 LMS 算法。解：算法 TkkbaW210TkkyxU2121vdiagMkTkUWy21,00llkkbx21
10、,1llkky21,2llkkbyTkkkkd)( 210MW115设 ， 及 ，用第五章题 4 表示的 作输入序列，05.v5.2v kr对图 6.6 运行 IIR LMS 算法，并绘出 对 k，a 0k、b 0k 对 k 的变化曲线；解：0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3-2-101234习习习习k习习e0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.8-0.6-0.4-0.20习习1000习习习习习习习习习b1习习习b216对于二阶自适应递归滤波器，证明： 必须处于图 6.7 所示的三角形)(2区域之内才能保证滤波器稳定，
11、即三角形相应于 Z 平面上的单位圆。证明：对于二阶滤波器，传输函数的分母为： 要使滤波21)(1zbzB器稳定，必须保证方程 极点陡分布在单位圆内。012zb当 时0421b241bz由 得到：1,211当 042b2)4(11jbz由 得到：2b形成的范围为三角区域b 1b 211b 2 1b 1 - b 2 = 1b 1 + b 2 = 1- 117 对于如图所示逆模拟情况，设对所有 ，均有 si 和 sk 相互独立，且ki。同时设 nk 与 sk 为相互独立的白噪声，且 。导出以下功率谱1)0(s pn)0(的表达式： ， 与 。)(zx)(d)(zdxP ( z ) H ( z )+snxd+-题 17 图解： )(kpsnxkk22)(1(0) zPpzznsx 2(d)()(0)(zPzsdx 18对上题情况，由公式(7.9)开始，到达最佳逆模拟器 的表达式。)(zHopt解：最佳逆滤波器的传输函数：)(1)(1)()( 2zPpzpPzHxdopt 19对于图示模拟情况，求它的最小均方误差和最佳权值。解：由已知条件知: 16.02)(zzP又由图可知 ksdksx)(kkkzwy106.2kkk sd).1(10当 时，得最优权：6.01)(21zw3.0,5.10w最小均方误差： min
