1、 线性代数 课程教案课程性质： 基础课 授课对象： 2009 年级 专业学生使用教材： 线性代数 出 版 社： 广西师范大学出版社 使用学期： 20092010 学年度 2 学期桂林航天工业高等专科学校2桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸教 案 （ 首 页 ）中文：线性代数 课程编号课程名称英文： Liner Algebra 学 分授课教师 职 称课程性质 必修课（ ） 选修课（ ）授课对象 2009 级 ； 专科 ； 共 个班课程学时 36 学时 周学时 4 学时 起止周 16学时分配 理论讲授： 24 学时； 实验课： 6 学时； 自学： 6 学时授课方式 课堂
2、讲授（ ）+实践课（ ） 考核方式 考试（ ） ；考查（ ）使 用教 材教材名称：线性代数作者：张德全；出版社：广西师范大学出版社； 出版日期：2008 年 8 月.主要参考资料及指定参考书1同济大学应用数学系编线性代数(第四版)M北京：高等教育出版社，20042骆承钦线性代数M北京：高等教育出版社，2004审 核意 见 教研室主任（签字）：年 月 日2桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸第二章 矩阵及其运算授课内容： 2.1 矩阵的概念 周 次：第 1 周； 日期： ； 星期 教学目标：1、理解并掌握矩阵的概念；2、理解并掌握几类特殊矩阵；3、会用矩阵方法解决问题；
3、教学重点：矩阵的概念、几类特殊矩阵教学难点：用矩阵方法解决问题教学方法：讲授法媒体使用：多媒体教学授课学时：1 学时教学过程：（一）引入矩阵是线性代数中最重要的部分，也是高等数学各个分支不可缺少的工具，在处理许多实际问题中有着广泛的应用。本章主要介绍矩阵的基本概念及其基本运算、逆矩阵的概念及其求法、分块矩阵的概念及其运算。首先，我们学习矩阵的概念。（二）新课一、矩阵的概念在求解线性方程组时，其系数以及它们各自的位置是非常重要的，在进行变换时，必须保持各方程及未知量的排列次序。因而，常常将未知数的系数排成一个矩形的数表。例如，线性方程组 121212nmmnaxaxb 现将其系数按在方程组中原有
4、的相应位置排成一个矩形数表如下：121212nmmnaa这样的矩形数表称为矩阵。定义 1 由 个数 排成的 m 行、n 列的数表mnija) , ; ,2 (j 系数3桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸121212 nmmnaa称为 行 列矩阵，简称 矩阵。一般用大写字母 A，B ，C 等表示，并记为：mnnA= 121212 nmmnaa为了便于表示，常把 矩阵简记为： 。其中， 称为矩阵的元素，第一下标 i 称nm ijAaija为行标，表示这个元素处在第 i 行；第二下标 j 称为列标，表示这个元素处在第 j 列。所有元素及其相应位置是个整体，所以要加上一个大
5、括弧表示它。 也称为矩阵 的（ ）元。ij ,ij有时，为了表明矩阵的行、列数，把 行 列矩阵记作n或 ，mAn以数 为 元的矩阵记作ija(,)、 或()ijaijmn()ijna元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵，除特别说明外，都是指实矩阵。两个矩阵，如果它们的行数与列数分别相等，且它们的对应元素也都相等，则称它们为相等矩阵。即：定义 2 设有 ， 如果nmijaA qpijbB1） ； ； pq2） （ ； ）ijijba ,2,1 nj ,2 ,1则称矩阵 A 与矩阵 B 相等。记为： 。A例如，若 ，则 。31cd,3,1abcd【注 1】可以利用矩
6、阵相等来列方程，求某些未知量。【注 2】行列式与矩阵的区别上一章介绍了行列式的概念，从形式上来说，行列式与矩阵非常相似，但他们是两个截然不同的概念。行列式是一种算式，它最终表示的是一个“值” ；矩阵是一张“表” ，排列起来它是一个矩形“表” ，矩阵与行列式从根本上来说是两回事，在学习中切不可混淆。这里说的不可混淆，一是理论上不可混淆，二是表示方式上不可混淆。对于矩阵与行列式来说，还有一点是不同的，这就是：行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有这个限制。4桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸【注 3】矩阵化思想方法矩阵之所以有用，不在于它是一个把 个数排成一个整体的数表
7、，而在于许多复杂的问题我们可mn以用矩阵来表达（即，复杂问题矩阵化） ，并定义矩阵间的一些具有意义的运算，使复杂的问题变得简捷、清晰，更易于抓住问题的本质。例如，在研究变量间的线性变换问题时，如果将线性变换与矩阵一一对应起来，我们可以用矩阵来研究线性变换，也可以用线性变换来解释矩阵的意义。设 个变量 与 个变量 之间的关系式为n12,nx m12,my 1212212nmmmnaxaxy 这是一个由变量 到变量 的线性变换。变量 前面的所有系数 构成了12,nx 12, 12,nx ija一个 阶矩阵，即mn121212nmnmnaaA称为系数矩阵。我们可以看到线性变换与系数矩阵是一一对应关系
8、。矩阵 可以反映线性变换的特点。如对于一个恒A等变换 12nyx 它所对应的系数矩阵是 10nE这个矩阵的特点是：它是 阶方阵，它的主对角线上的元素都是 1，其它元素都是零。称这样的矩阵为单n位矩阵，通常记作 。反之，一个单位矩阵所对应的线性变换一定是一个恒等变换。E转化为复杂问题 矩阵5桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸二、几类特殊矩阵为了便于讨论，介绍几类特殊的矩阵：1同型矩阵若两个矩阵的行数相同，且列数也相同，则称它们为同型矩阵。2. 零矩阵元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为： 或者就直接记成 。nmO O例如， 是 零矩阵，即 ； 则是 零矩阵，即 。显然
9、， 0 322 3022 2 3O.2 O在不需要指明矩阵类型、不引起混淆的情况下，就称它们为零矩阵。但一定要注意：不同型的零矩阵是不相等的。3. 方阵对于 ，当 时，这个矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。mnA方阵有对角线，从左上角到右下角的直线称为方阵的主对角线，从右上角到左下角的直线称为方阵的副对角线。主对角线一侧所有元素都为零的方阵，称为三角形矩阵。三角形矩阵分为上三角矩阵与下三角矩阵：与12120 nnaa 1210 nna4行（列）矩阵矩阵n1 12,nAa称为行矩阵（也称为 维行向量） ；矩阵1m12mbB称为列矩阵（也称为 维列向量） 。换句话说，只有
10、一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵。m例如： 是一个行矩阵； 而432 6桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸 7132则是一个列矩阵。行向量与列向量统称为向量，一个 维向量含 个有次序的数。n5对角矩阵设 是一个 n 阶方阵，如果主对角线以外的元素全为零（ ） ，即： ijaA 0()ijaij120 nnaAa则称 为对角矩阵。简称对角阵。它也可记作： . ijaA 12(,)nAdiga例如： 是一个 3 阶对角矩阵； 是一个 n 阶对角矩阵。10 2 20 nn6. 单位矩阵主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的 n 阶方阵10称为 n 阶
11、单位矩阵，简称单位阵。通常记为： 或 .nE例如： 是一个 3 阶单位矩阵。310 E在不需要指明矩阵阶数的情况下，简称为单位矩阵。单位矩阵是对角矩阵，是主对角线上的元素全为1 的对角矩阵。显然，单位阵 的元素 为n(,)ij1,(1,2;,)0ijijnj 7桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸（三）小结：归纳总结，强调重点和难点，布置思考题。1、矩阵的概念；2、几类特殊矩阵；3、运用矩阵方法解决问题复杂问题矩阵化。思考题：寻找矩阵在数学自身（如线性变换、对策论等）、经济管理（如产品的销售问题）、工程技术、日常生活（如民航中的航线问题）等中的应用实例。（四）课外作业： P53: 6（五）课后记：8桂 林 航 天 工 业 高 等 专 科 学 校 教 案 用 纸
