1、总 复 习,第一篇 刚体静力学,、物体的受力分析,静力学,、力系的简化与合成,、力系的平衡条件及平衡方程应用,、物体的受力分析,分析所要研究物体受几个力的作用：,绳，光滑接触面；,物体的受力分析与其所受约束有关。,分析这些力的方向或方位。,主动力，,约束反力。,铰链（中间铰，固定铰支座，可动铰支座 ）；,固定端：约束反力与约束力偶,二力构件：,约束反力的方向是确定的。,（力的大小、方向、作用点）,、力系的简化与合成,平面任意力系的简化：,力系简化 用一简单力系代替一复杂力系。,、力系的平衡条件及平衡方程应用,平面任意力系的平衡方程：,二矩式,三矩式,条件：A, B, C 不共线,解得：,a,a
2、,解：1. 对DE：,FEsin 45a - M = 0，,2. 取CEB：,FB =,桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。,桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。,桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆； 杆端铰接； 外力作用在节点上。,力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性,杆数,节点数,平面静定桁架,求解桁架内力的方法：节点法，截面法。,）节点法：以节点为研究对象,准备工作：给各杆编号， ,并给节点加符号。,节点的受力为一汇交力系，用汇交力系的方法来解，即：,因为，汇交力系只有两个平衡方程，只能解两个未知力，所以，先从两个未知力的节点出发。,各杆都假定为受拉力。,求解桁架
3、内力的方法：节点法，截面法。,）截面法：用一截面将桁架截开，以截面一侧为研究对象。,研究对象为一平面任意力系，用任意力系的方法来解，即：,任意力系有三个平衡方程，所以，截取未知力的杆要适当的考虑。,第二篇 变形体静力学,一、基本变形,轴向拉伸与压缩,基本要求： 1. 轴力计算，绘轴力图； 2. 横截面上的正应力计算，强度计算； 3. 绘变形与位移图，变形与位移计算； 4. 材料的力学性质； 5. 求解简单拉压超静定问题。 难点： 绘变形与位移图；求解简单拉压超静定问题。,典型例题：,解 （一）校核两杆强度 首先必须确定两杆的内力，由节点B的受力图（见图b）列出静力平衡方程,对两杆进行强度校核,
4、例1 钢木构架如图a所示。BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若F=10kN，木杆AB的横截面面积为A1=10000mm2，弹性模量E1=10GPa，许用应力=7MPa；钢杆BC的横截面面积为A2=600mm2，许用应力=160MPa。试：(1)校核两杆的强度；(2)求许用载荷F；(3)根据许用载荷，重新设计钢杆BC的直径。,由上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的许用应力,强度尚没有充分发挥。因此，悬吊物的重量还可以增加。 （二）求许用载荷两杆分别能承担的许用应力为,由前面两杆的内力与外力F之间的关系可得,根据上面计算结果，若以BC 杆为准，取F=48KN ，则 AB 杆的强度显然不够，为了
5、结构的安全，应取F=40.4KN。,根据许用载荷40.4 kN，对于AB 杆来说，恰到好处，但对BC 杆来说，强度是有余的，也就是说BC 杆的截面还可以适当减小。由BC杆的内力与载荷的关系可得,根据强度条件，BC 杆的横截面面积应为,BC 杆的直径为,例2结构受载荷作用如图所示，已知杆AB 和杆BC 的抗拉刚度为EA.试求节点B 水平及铅垂位移。,解得FN1F （拉） FN2 F（拉）,（2）变形计算AB 杆：BC 杆：,解（1）轴力计算 由节点B（图b）的平衡条件,（3）节点B 的位移计算结构变形后，两杆仍应相交在一点，这就是变形条件，根据变形条件，作出结构的变形图（见图c）.因为AB 杆受
6、的是拉力，所以沿AB 延长线量取BB1等于L1；同理，CB 杆受的也是拉力，所以沿杆CB 的延长线量取BB2 等于L。分别在点B1 和B2 处作BB1 和BB2 的垂线，两垂线的交点B为结构变形后节点B应有的新位置。即结构变形后成为ABC 的形状。图c称为结构的变形图。,为了求节点B的位置，也可以单独作出节点B的位移图。位移图的作法和结构变形图的作法相似，如图d所示。结构变形图和节点位移图，在计算节点位移中是等价的。在今后的计算中，可根据情况选作一图。由位移图的几何关系可得,水平位移BxBB1l1（）垂直位移 ByBB = （）,讨论画结构变形图或节点位移图时，杆杆受拉力，则在延长线上画伸长变
7、形；杆件受压力则画缩短变形。由于我们在画节点位移图时，是按杆件的伸长或缩短的实际情况而绘制的，即在画节点位移图时已考虑了是拉伸还是压缩这一现实，所以，在节点位移图中各线段之间的关系仅是一般的几何关系，计算位移时，只要代之以各杆伸长或缩短的绝对值就可以了。,例3如图a所示结构中三杆的截面和材料均相同。若F60kN，s 140MPa，试计算各杆所需的横截面面积。,（2）画节点A的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘A点位移图如图c所示。,即,解这是一次超静定问题。 （1）画出A点的受力图（见图b） 静力平衡方程Fix0 ， FN1FN2cs300 (1)Fiy0， FN3FN2sin30F0 (2
8、),（3）建立变形方程,根据A点的位移图，变形方程为,（4）建立补充方程由虎克定律,联立（1）、（2）、（3）式，解得各杆的轴力分别为： FN17.32kN （压）; FN28.45kN （拉）; FN355.8kN （拉）,变形方程,（5）各杆的横截面面积计算,根据题意，三杆面积相同，由杆的强度条件,即 A1A2A3398mm2,FN17.32kN （压）; FN28.45kN （拉）; FN355.8kN （拉）,例4 简单构架如图a所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当AB 杆的温度升高30时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为A1000mm2 材料的线膨胀系数
9、12106/，弹性模量E200GPa。,因为节点A有三个未知力，而平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以本题为一次超静定问题。列静力平衡方程,Fix 0， FN1 cos30FN20 (1),（2）画节点A的位移图（见图c）（3）建立变形方程 L1L2cos30（4）建立补充方程 L1LN1LT，,解 （1）画出A点的受力图（见图b）,即杆的伸长l1由两部份组成，l N1表示由轴力FN1引起的变形，lT表示温度升高引起的变形，因为T 升温，故lT 是正值。,代入变形方程得补充方程,（5）应力计算,即 2.598 FN23.46 FN1 249103 （2）,FN1 cos30 FN20 (1
10、),联立（1）、（2）式，得,FN143.6kN（压）FN237.8kN （拉）,例4 简单构架如图a所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当AB 杆的温度升高30时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为A1000mm2 材料的线膨胀系数12106/，弹性模量E200GPa。,、几何方程变形协调方程：,、物理方程变形与受力关系,解：、平衡方程:,、联立方程(1)、(2)、(3)可得:,A,B,D,C,1,3,2,a,a,例：图示杆系结构，,，求：各杆的内力。,FN1,超静定结构的特征：内力按照刚度分配 能者多劳的分配原则,A,B,D,C,1,3,2,a,a,例 木制短柱的
11、四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为 1 =160 MPa 和 2 =12 MPa，弹性模量分别为 E1=200 GPa 和 E2 =10 GPa；求许可载荷 F.,、几何方程：,、力的补充方程：,解：、平衡方程:,F,1,m,例 木制短柱的四角用四个 40*40*4 的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为 1 =160 MPa 和 2 =12 MPa，弹性模量分别为 E1=200 GPa 和 E2 =10 GPa；求许可载荷 F.,F,1,m, 、求结构的许可载荷：,a) 角钢 面积由型钢表: A 1=3.086 c,b) 木柱 面积 : A 2= 25
12、*25 c,Fmax= 705.4 kN,例: 图示结构,已知： L、A、E、a、F , AB为刚体.求：各杆轴力。,1,2,3,F,L,a,a,A,B,解：1、平衡方程:,2、几何方程：,3、物理方程：,4、联立平衡方程和补充方程得:,例: 图示结构,AB为刚性杆，杆1、杆2为相同材料， 横截面积均为A=300mm2，许用应力 ，载荷 。试校核杆1、杆2的强度。,1,2,F,l,a,a,A,B,解：1、平衡方程:,2、几何方程：,3、物理方程：,4、联立平衡方程和补充方程得:,5、求应力并校核强度:,剪 切,基本要求：1. 联接件的剪切强度的计算；2. 联接件的挤压强度的计算。难点：双剪的剪
13、切、挤压强度的计算；联接件的综合计算。,连接件的强度条件,剪切的强度条件,挤压强度条件,钢板拉伸强度破坏,典型例题：,例1 有两块钢板，其厚度分别为t18 mm，t210 mm，b=200mm。用五个直径相同的铆钉搭接。受拉力F200kN的作用，如图a所示。材料的许用应力分别为160MPa，140MPa，C320MPa，求铆钉所需的直径 d。,解 两块钢板搭放用铆钉联接的形式称为搭接（见图a）。 绘出上钢板的受力图和轴力图（见图b）。绘出铆钉的受力图（见图c）。因为上钢板的厚度t18mm，小于下钢板的t210mm，所以我们只对上钢板进行挤压和抗拉强度计算。,（1）铆钉的剪切强度计算,得,挤压力
14、: FC40103N，挤压面积:ACdt1d8103m2,由挤压强度条件,得,（2）挤压强度计算 (如图c 所示),由图b可知，11截面为危险截面，此面上FN200kN，其净面积Aj（b2d）t1 = (0.22d)810-3m2。,即,得 d0.022m=22mm所以d的取值范围内应为 ： 19.1mmd22mm取 d20mm,（3）钢板的拉压强度计算,由抗拉强度条件,例2 图a所示中间的两块主钢板通过上下两块盖板对接。铆钉与钢板材料相同。材料的许用切应力=130MPa，许用挤压应力C=300MPa，许用拉应力=170MPa。铆钉直径D=20mm，主板厚度t1=10mm，盖板厚度t2=6mm
15、，宽度 B=200mm。在 F=200kN作用下，试校核该接头的强度。,解 1）校核铆钉的剪切强度 F力由主板传给铆钉，再由铆钉将力传给盖板。当接头处的铆钉直径相同时，外力F由铆钉平均承担。 左（右）侧主板传给每个铆钉的外力为F/n=F/5，盖板传给每个铆钉的外力为F/2n=F/10，铆钉受力如图b所示。 此铆钉有两个剪切面，由平衡条件得剪切面上的剪力为FQ=F/10。所以,（2）校核铆钉的挤压强度 主板厚度（10mm）比两块盖板厚度之和（12mm）小，而它们受到的挤压力一样，故应该校核铆钉与主板之间的挤压强度，即,（3）校核主板的抗拉强度 画出左边主板的受力图和轴力图（见图d），校核， 截面
16、的抗拉强度。,综合上述计算，可见该连接件强度条件满足。,（4）校核盖板的抗拉强度 画出盖板受力图和轴力图（见图e），可见在截面处轴力最大而截面积最小， 截面即为危险截面。,扭 转,基本要求：1. 圆杆受扭时的扭矩计算和扭矩图的绘 制；2. 圆杆受扭时的横截面上的切应力计算和强度条件；3. 圆杆受扭时的变形计算和刚度条件。难点： 圆杆受扭时，扭矩正、负符号的确定；圆杆受分布扭时，扭矩图及扭转角的计算。,例3. 图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：T11.5KNm，T22KNm，T39KNm，T44.5KNm；各轮的间距为:L10.8m，L21.0m，L31.2m；材料的80M
17、Pa，=0.3/m，G80109Pa。 （1）设计轴的直径D；（2）轴的直径D0105，试计算全轴的相对扭转角D-A。,解（1）绘出扭矩图（见图b） （2）设计轴的直径 由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB段和BC段，其绝对值Mn4.5KNm。由强度条件,求得轴的直径为,由刚度条件,由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由刚度条件确定，选用D102mm。,（3）扭转角 D-A计算 根据题意，轴的直径采用DO105，其极惯性矩为,弯曲内力,基本要求： 1. 求指定截面上的内力； 2. 建立剪力方程Fs（x），弯矩方程M（x）； 3. 熟练并正确地作出剪力图、弯矩图。 难点： 分布载
18、荷集度、剪力和弯矩间的微分关系； 剪力图、弯矩图的凹向、极值判定。,例1 试作图示梁和剪力图和弯矩图。,解 （一）求约束力,典型例题：,（二）建立剪力方程和弯矩方程 由于梁上的载荷将梁分成四个域，因此须分 AB，BC，CD，DE 四段 写出剪力方程和弯矩方程。,BC 段：,CD段：,AB段：,DE段：,（三）作剪力图和弯矩图 根据各段的剪力方程，作出剪力图如图b所示。根据各段的弯矩方程，作出弯矩图如图c所示。 应当指出的是，在图和M图中应标出各控制截面上的剪力数值和弯矩数值。 所谓控制截面，是指梁的端截面、载荷变化截面、极值剪力和极值弯矩所在截面。由图b,c可知全梁的最大剪力和最大弯矩分别为,
19、例2 试用q,FQ,M 之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。,解（一）求支座约束力,（二） 作剪力图 根据梁上受力情况，将梁分成AC、CD、DB三段。AC段： 无载荷作用，即 q(x)=0，故此段剪力图为一条平行于梁轴的水平线。A截面有集中力FAy=5.5KN作用,其突变FQA=FAy=5.5KN ,此段剪力图即为一条FQ=5.5KN水平线。,CD段：载荷为 q(x)=2KN 方向向下，故此段剪力图为递减，是一条向右下方倾斜的直线，须由两个截面上的剪力来确定该斜直线。,DB段：载荷为q(x) =2KN ，方向向下。故此段剪力图仍为一条向右下方倾斜的直线。因为D截面上有集中力作用（支座约束力
20、FDy），所以此截面剪力有突变，突变值为FDy=12.5KN ,故,（三）作弯矩图AC段：q(x)=0, FQ(x)0 此段弯矩图为递增，形状是一条向右下方倾斜的直线。须定两个截面的弯矩,E截面上FQ=0故弯矩在该截面有极值，其大小为,DB段: q(x)=2KN/m，方向向下，此段弯矩仍为一条下凸的曲线，考虑到此段内无FQ=0 的截面，而FQ0 ，所以弯矩为递增MD=-8KN.m，MB=0, 全梁的M图如图c所示。,C截面有集中力偶m0 作用，故C截面弯矩有突变，其值为,CD段：q(x)=2KN/m 方向向下，此 段弯矩图为一条下凸的曲线。,解：1、支反力,2、画内力图,20,31.25,-2
21、0,M(x),kNm,E,附录 平面图形的几何性质,基本要求：1静矩和形心2惯性矩、极惯性矩、惯性积3. 平行移轴公式难点：组合图形的形心、惯性矩计算,典型例题：,例 试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。,解 （1）形心坐标 ZC的计算。Z 为对称轴，形心必在Z 轴上,（2）确定形心主轴 z 为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与 z 轴垂直，即图中 y 轴。,（3）形心主惯矩计算,弯曲应力,基本要求：1. 梁弯曲时，横截面上的正应力及强度计算；2. 梁弯曲时，横截面上的切应力及强度计算。 难点：梁的截面上下不对称、材料的拉压性能不同、梁的弯矩有正负时的正应力强度计算。,典型例题：
22、,例1 有一外伸梁受力情况如图a所示。其容许拉应t=40MPa ，容许压应力c=100MPa 。试校核梁的强度。,解（一）作梁的弯矩图(如图c所示)最大正弯矩 MC=10kN.m最大负弯矩 MB=20kN.m,（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边为,通过截面形心与纵向对称轴垂直的形心主轴z即为中性轴(见图d）。,（三）截面对中性轴的惯矩,（四）校核梁的强度 因为梁的许用拉、压应力不同，而且梁的截面形状对中性轴不对称，所以，必须校核梁的最大正弯矩截面（C截面）和最大负弯矩截面（B截面）的强度。,(2) B 截面强度校核 MB=20KN.m为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为最大压应
23、力。,(1) C 截面强度校核 MC=10KN.m为正弯矩，故截面上边缘为最大压应力，截面下边缘为最大拉应力。,讨论 如果将此梁的截面倒放成 形，这时梁的最大拉应力将发生在B截面的上边缘，其值为,此时梁的强度就不足。由此可见，对于这种抗拉、抗压强度不相同、截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况合理放置梁的截面。,(2) B 截面强度校核 MB=20KN.m为负弯矩，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为最大压应力。,解：1)求约束反力,例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，I z =76
24、3cm4 ，试校核此梁的强度。,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,2）画弯矩图,3）求应力,B截面（上拉下压）,M,C截面（下拉上压）,C截面（下拉上压）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,4 ) 强度校核,B截面（上拉下压）:,最大拉、压应力不在同一截面上,结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,M,M,例2 有一外伸梁受力如图所示，已知许用应力160MPa， 100MPa，试选择钢梁的型号。,解 （1）作梁的Fs图和M图,由内力图可知 Mmax=20kNm FQmax=50kN,（2
25、）按正应力强度条件选择型号,得,若用16号工字钢，则其 Wz141cm3=14110-6m3Wz=12510-6m3能满足梁的正应力强度条件。,讨论:在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。在工程中，通常是先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后再进行切应力强度校核。但由于在一般情况下按正应力强度条件所设计的截面，常可使得梁内横截面上的最大切应力远远小于材料的许用切应力，因此，对于一般的细长梁，我们总是根据梁中的最大正应力来设计截面，而不一定需要进行切应力强度校核。只是在以下几种特殊情况下，还必须注意校核梁的切应力强度。,故选用16号工字钢能满足切应力强度
26、条件。,（3）校核梁的切应力强度 16号工字钢的有关数据由型钢表查得Iz1130cm4,tw=6mm,Sz=80.8cm3，梁内最大切应力,1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或有很大的集中力作用在支座附近。在这两种情况下，梁内可能出现的弯矩较小，而集中力作用处横截面上的剪力却很大。,2）工字梁的腹板宽度很小，或在焊接、铆接的组合截面钢梁中，当其横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，应对腹板上的切应力进行强度校核。,3）木梁。由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。因此，还需要按木材顺纹方向的许用切应力对木梁进
27、行强度校核。,弯曲变形,基本要求：1. 用积分方法求梁的变形时的边界条件与连续条件；2. 用叠加法求梁的变形；梁的刚度计算；3. 用变形比较法求解简单超静定梁。难点： 变形比较法求解简单超静定梁。,典型例题：,例1 求如图所示梁的B、C 截面的挠度。,解 B截面的挠度有两部分组成。 （1）由图b可知，由于C 截面的挠度 yc而引起CB 段的刚性平移，因此有,(2)由图b可知，由于C 截面的转动C将带动CB 段作刚性转动，因此有,B截面的总挠度为,例 2. 外伸梁受力如图所示。EI为常数，试用叠加法求自由端C截面的挠度yC。,解 首先将原图看成由图b、c两部分所组成。 由（b）图可知，因B截面的
28、转动将带动BC段作刚体般的转动，故有,而F力通过B支座，对梁不产生变形。由图（c）可知，C截面的挠度为,所以，C 截面的总挠度为,例3 悬臂梁ABC受力如图所示。EI,q,l均已知。试用叠加法求B,yB,C,yC。,解 首先，将原梁设想为由图6所示的b，c，d，e所组成，即AB部分受均布载荷q及在B截面受到集中力F=ql/2 和集中力偶mo=ql2/8 作用下的悬臂梁。 其AB部分的刚度为2EI；而BC部分可以当作受均布载荷作用下固定于 B 截面的悬臂梁，其BC部分的刚度为EI。,表示AB部分受均布载荷 q 作用（见图b）而引起B截面的转角为：,（1） 计算B,表示AB部分B截面受集中力F=q
29、l/2作用（见图C）而引起B截面的转角为：,表示AB部分B截面受集中力偶mo=ql28作用（见图d）而引起B截面的转角为：,B截面总转角为,同理,(3) 计算c,C 截面总转角为,(2) 计算yB,表示固定于B 截面的BC 梁受均布载荷q 作用（见图e）而引起C 截面的转角为：,(4)计算yc,截面总挠度为,其中,例 4 试作如图所示梁的剪力图和弯矩图，设EA为常数。,解 （1）这是求解一次超静定问题 解除中间铰的约束，则应有约束力FRB如图b所示。连续条件：,（b）,yB右是外伸梁BCD上B截面的挠度。它有两部分组成，第一部分是有F作用在B截面上引起的挠度，其值为 ，,第二部分是有FRB作用
30、在B截面上引起的挠度，其值为 。,解得,由悬臂梁AB 的平衡条件可得， FRA=0.75kN，mA=0.75kN.m由外伸梁BCD 的平衡条件可得 FRC=3.125kN，FRD=1.625kN,将（a）式和（b）式代入到连续条件，则,（2）绘Q 图，M 图于图c，d。,二、应力状态分析.强度理论,基本要求：1. 用数解法求解平面应力状态；2. 用图解法求解平面应力状态；3. 主应力及主平面；极值切应力；4. 广义虎克定律的运用。难点：主应力及主平面、极值切应力方位的确定；广义虎克定律的运用。,1、一点处的应力状态,2、平面应力状态分析,（1）斜截面上的应力,（2）主平面和主应力,3、空间应力
31、状态的概念,最大剪应力,4、应力应变关系,主应力,三向应力状态,（1）、广义胡克定律,广义胡克定律的应用 求平面应力状态下任意方向的正应变：,a,a+90,强度理论的统一形式：,第一强度理论：,第二强度理论：,第三强度理论：,第四强度理论：,5、四个常用强度理论,例 图示矩形截面杆一端自由一端固定，在中性层 A 点处沿与杆轴成 45o 贴二片应变片，当杆受轴向力P1 和横向力P2 作用时，测出45=a 和 -45=b 。试求此时 P1 和 P2 的表达式。（E,L,b,h 均为已知）,轴力 P1 引起的正应力,横向力 P2 引起的剪应力,解（一）A 点的应力,典型例题：,沿 方向的应力表示在单
32、元体上， 方向的应力表达式为：,可先将单元体分解成 和 N 单独作用（见分解图）,（二）求 P1 和 P2,将应力代入广义虎克定律中，得,联立两式可解得：,+,强度理论,基本要求： 1. 四个强度理论的应用； 2. 复杂应力状态下的强度计算。 难点： 取危险点进行应力状态分析，选择 合适 的强度理论进行强度计算。,典型例题：,例1已知材料的许用应力150MPa，95MPa。试对如图a所示的简支梁AB进行强度计算。,解 作出梁的剪力图和弯矩图，如图b,c所示。 作出C截面之左的正应力分布图和切应力分布图，如图d所示。,对于这种梁的强度校核一般应包括以下三部分内容： 最大正应力强度计算； 最大切应
33、力强度计算； 在M较大、FQ较大的截面处，对翼缘和腹板相交的点进行强度计算。,（1）正应力强度计算 由弯矩图可知，全梁的最大弯矩MC32kNm，从C 截面的下边缘 K！点处取应力单元体如图e所示，因最大正应力,（2）切应力强度计算 由切应力图可知，全梁的最大剪力FQmax=100kN，在C截面的中性轴上的K3点处取应力单元体如图e所示，因最大切应力,所以，AB梁的切应力强度满足。,所以，AB梁的正应力强度满足。,（3）翼缘与腹板交接处的强度计算 由内力图知，C截面之左的FQC左100kN，MC32kNm。从C 截面翼缘和腹板交接处K2点取应力单元体如图e所示。因为,讨论：从本例计算中可以看出：
34、全梁的正应力强度和切应力强度虽然满足了强度要求，但在M 较大和FQ 较大的翼缘和腹板交接处的K2点，因为处于复杂应力状态，具有较大的正应力和较大的切应力，所以组合起来的主应力就比较大了，容易发生破坏，对这些处于复杂应力状态的点，选用适当的强度理论对它们进行强度计算是非常必要的。,所以，该点处于复杂应力状态，应选用适当的强度理论进行强度计算。 现对K2按第四强度理论进行强度校如下：因为,所以，K2点处的强度不满足要求，即梁的强度不满足要求。,组合变形,基本要求： 1.斜弯曲的强度计算； 2.偏心拉伸与压缩的强度计算； 3.弯曲与扭转的强度计算。 难点： 取危险点进行应力状态分析； 选择合适的强度
35、理论进行强度计算。,1、组合变形解题步骤,外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解；,内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确定危险面；,应力分析：画危险面应力分布图，叠加；,三、组合变形,强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。,有棱角的截面,圆截面,3、拉伸（压缩）与弯曲,2、斜弯曲,有棱角的截面,圆截面,偏心拉(压),偏心压缩 = 压缩 + 两个形心主惯性平面的平面弯曲,4、弯曲与扭转,统一形式：,危险截面截面A,危险点 a 与 b,应力状态单向纯剪切,强度条件（塑性材料, 圆截面）,4、弯曲与扭转,危险截面固定端截面,弯扭组合变形,扭矩：,合成弯矩：,Mn = m=Fa,M合成,
36、F,m=Fa,F,a,a,z,y,x,2Fa,Fa,典型例题：,例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点的位置，并计算最大正应力。,解（一）外力、内力分析 梁在P1作用下绕z轴弯曲（平面弯曲），在P2作用下绕y 轴弯曲（平面弯 曲），故此梁的弯曲为两个平面弯曲的组合斜弯曲。受力简图如图示。,受力简图,分别绘出Mz(x)和My(x)图如图示。两个平面内的最大弯矩都发生在固定端 A截面上，A 截面为危险截面。,（三）应力分析和最大应力 绘出A 截面的应力分布图，从应力分布图可看出
37、a、b 两点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。,应力分布图,（ 四）计算中性轴位置及 最大正应力 AB 段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C 截面处）,从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：,解得：=760 （见图）,应力分布图,如以合成后的总弯矩以矢量表示，中性轴与M的矢量不重合，说明荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲的特征之一。,A截面中性轴确定后可绘出总应力分布图（见图）。最大和最小正应力为：,（五）改为圆截面时的计算 矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲
38、合成后，还是一个平面弯曲的问题。 危险截面A截面上弯矩的合成由矢量来表示（见图）。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。,A截面应力分布图,容易出现的一种计算错误：,此时式中Mz引起的应力 在图中a点；My引起的应力 在图中b点，显然不能将不同点处的应力进行相加，作为该截面上的最大正应力。,例2 试绘图a所示构件底截面上正应力分布图。已知F=100kN，a=0.2m，b=0.4m，yF=0.05m, zF=0.2m。,解 1）外力简化（见图b） 将偏心力F向形心简化，得轴向力和力偶矩,2） 内力计算
39、（见图c） 底截面上的内力有轴力和弯矩,3） 应力计算 截面的有关几何量计算,底截面上角点的应力计算,4）确定中性轴的位置,绘中性轴及底截面上的正应力分布图如d所示。,中性轴在两坐标上的截矩为,例 图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸h 及此时的最大压应力。,解：（1）外力的分解,（3）应力分析 最大拉应力为零的条件：,解得 h = 240 mm,120kN,（2）内力分析,例 图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸h 及此时的最大压应力。,解得 h = 240 mm,120kN,（4）求最大压应力,例3 图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5KN，径向力1.82K
40、N；齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。圆轴的容许应力=100MPa。试按第四强度理论求轴的直径。,解（一）外力分析 将各力向圆轴的截面形心简化，画出受力简图。,受力简图,（二）内力分析 画出内力图如图，从内力图分析，B截面为危险截面。B截面上的内力为：,总弯矩为：,（三）应力分析 绘出B截面的正应力与剪应力分布图，确定危险点为a、b两点，其应力状态见图。,a点的位置则可由下式求解：,（四）按第四强度理论求轴所需直径,可得：,解出：d=5.19mm,压杆稳定,基本要求：1.柔度计算 ：=l/i；根据值，确定 临界力的
41、计算公式；2.用安全系数法进行稳定计算；3.用折减系数法进行稳定计算。难点：由值来判定临界力的计算公式。,压杆稳定,1、压杆稳定的概念,2、细长压杆临界力的欧拉公式,或,3、欧拉公式的应用范围,4、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图,5、压杆的稳定条件,（1）安全系数法：,（2）稳定系数法：,解：,1）求BC杆的轴力,2）求BC杆的临界力,=16mm,因为P=100，故可用欧拉公式计算BC杆的临界力。,=69 kN,例 结构受力如图a 所示，CD柱由Q235钢制成，E=200GPa，p=200MPa，许用应力=120MPa。柱的截面积为a =60mm 的正方形。试求：（1）当F=40kN
42、时，CD柱的稳定安全系数n；（2）如设计要求稳定安全系数nw=3，结构的许用载荷F；（3）用系数法计算结构的许用载荷。,解 （1）计算CD柱的内力和外力F的关系 由平衡条件可知（见图b）。,（2）计算CD柱的临界力,因为 所以CD柱属细长杆，用欧拉公式计算临界力,注意：此安全系数即为CD柱工作时的安全系数。,（3） 确定CD 柱的稳定安全系数 因为 FNCD=4F=160kN，所以CD 柱的稳定安全系数为,（4）安全系数法计算许用载荷（nw=3） 由CD 柱的稳定条件,再由,（5）用 系数法计算许用载荷 因 ，查表得,讨论上述计算所得的许用载荷分别为19.7kN和25.4kN，这是一个矛盾的结
43、果吗？许用载荷到底是19.7kN，还是25.4kN？这里应当指出的是，系数表中的稳定安全系数nw不是一个定值，它是随值的变化而改变的量。而稳定安全系数法中的安全系数nw是一个规定的特定值，他们之间没有关系，是两种方法中各自采用的安全系数。正因为如此，用系数法计算的结果不能与用安全系数法所得的结果进行比较。,动载荷,基本要求：1.构件在惯性力作用下的动荷系数计算；2.构件在冲击力作用下的动荷系数计算；3.构件在冲击力作用下的应力和变形计算。难点：构件在各种冲击力作用下的动荷系数的确定。,例 结构如图所示。已知： a2m。重物P若从高度H0.1m 处自由落下冲击AB梁的跨中时，试求A、B、C各截面的挠度和转角。,解 （1）静位移计算。当重物P以静载方式作用梁上时,引起AB梁的刚性转动为,AB梁的 分别为,典型例题：,BD梁B截面的转角,（2）动荷系数,（3）AB梁冲击时的挠度和转角 101.671031.67102rad 104.171044.17103rad 102.51032.5102m 10（8.33104）8.33103rad 10（1.25103）1.25102rad 101.671031.67102m,
