1、丽水学院 2012 届学生毕业论文数 学 分 析 中 反 证 法 的 应 用理学院 数学 082 董泽刚 指导师：胡亚红摘要：本文研究了数学分析中不同问题的反证法。对数学分析中的反证法进行总结研究，共分为数列极限的唯一性和收敛性，函数的连续、有界、极限和单调性，导数和积分，级数等四个部分，各部分之间并非完全独立。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。关键词：反证法 ；命题；应用 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” 。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆
2、。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的。反证法在数学的发展中功不可没。反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反证法是一种重要的数学技能。反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。至于反证法的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。
3、1 反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定” ，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题 ，显然这个等价命题的条件中BABA含有命题 的结论的否定 ，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论. B所谓反证法是指通过证明论题的否定论题不真实而肯定论题真实的方法.通常包括以下三个步骤:(l)反设假定原命题的结论不成立；(2)归谬根据反设进行严密推理，直到得出矛盾；(3)结论肯定原命题正确。
4、一般来说，如果命题的结论不易直接证明，结论的反面却容易否定，那么反证法是可行的。但是由于数学命题的多样性、复杂性，要对哪些命丽水学院 2012 届学生毕业论文2题宜用反证法做出确切的回答是困难的。2 怎样正确写出数学分析中一些命题的否命题反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法,它是通过证明与论题相矛盾的反正题虚假,来确定论题是正确的间接证明法。在应用反证法时,首先要假设,即假定原命题的反面正确,然后从假设出发,利用正确的逻辑推理推导出谬误的结果,即从反设出发作为推论引出违背科学的基本规律(定律或概念)与已知条件相矛盾的结果,最后肯定原结论正确。在运用反证法论证命题时，首先要求能很正确的否定命
5、题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到。例如命题“ ”nalimnbli的否定就是“ ”，但对命题“ 在 上有界” ，尽管其否定很显然就是“nnbalimli fD在 上无界” ，若要用它做进一步推理时，还需要对函数有界与无界的定义深刻的认识，fD所谓“ 在 上有界”是指 “存在某个正数 ，对所有的 ，使得 成立”Mx)(xfM，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在” ，要写出它们的否定形式相对就比较困难了.一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”时，其否定形式必须将“对所有的”变成“存在” ， “存在”变成“对所有的” ，并否定“这件事情发生”
6、 。于是，要将命题“ 在 上有界”否定，其形式应为 “对所有的正数 ，存在 ，使得fDDx成立” 。在数列中的否定：一个数列 收敛于 a 的数学表述为Mx)( nx：| -a|N时，有 ，21,N时2xn 2Bxn丽水学院 2012 届学生毕业论文4令N=max ，则当nN时，有 .21,N2BxAnn由 的任意性可知:A=B，矛盾，从而知收敛数列的极限是惟一的例2. 证明命题“数列 与 均为发散数列，因而数列 发散”是错误nxynyx的.对于此类证明题，不妨寻找一个相反的梨子从反面论证起收敛如：取数列1，0，1，0，1，0 ，及数列0， ，0， ，0， ，234显然，这两个数列都发散，但其对
7、应项相加所组成的数列是1， ，1， ，1， ，34它是一个收敛数列，因此命题是错误的由此可见某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛。在数列题型中，证明它们的极限的唯一或者是它们的极限等于某个确定的数时，在这些题型中，反证法有很大的优势，容易证明，过程明了简单，学者看了容易理解接受，如果这类题型直接去证明，难度就提高了一个档次。3.2 函数的极限、连续性、有界以及单调性反证法的应用定义 2.1 设 为定义在D 上的函数，若存在正数M ，使得对每一个 ， 有)(xf DxM，|则称 为D上的有界函数)(f无界函数的定义与函数
8、趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若 时， ，则 在 的每个邻域内必定无界。反之，函数 在0x)(f)(xf0 )(xf的任何邻域内都是无界的，但当 时, 并不趋于无穷大。)(xf例3 设 ，则对无论多大的正数M，总有充分接近于 x =0的点，使xf1cos)(丽水学院 2012 届学生毕业论文5Mx1cos证明 取 ，则 ，故当 时，就有nx1nxcosMMx1cos因此，函数 在x =0的任何邻域内都是无界的)(f然而，若取 ，则当n时, ，此时)21(n 0nx01cosnx即 并不趋于无穷大)(xf例 4 试证明：若函数 在有限区间 内可微，但无界，则其导函数
9、也无fxba, )(xf界。证明 设 在 内有界，即 ,取定)(fba, MxfxM)(),(,0有由拉格朗日中值定理知,在 与 之间存在 ，,(0xbax对 使得 ，)()()00 abxff 而 ，(xf故 ，此与已知 无界相矛盾，故 无界)()0abM)(xf )(xf例 5 设 ，则 ，使(xf1010,ddxfc 1,04)(0f证明 假设 即 有4)4)(f，1=1,0(t xft10)( dxtxftdxf 101010)(= )()(40ttx= 12t令 ,04t,21t,4t,t 又稳 定 点则丽水学院 2012 届学生毕业论文64xf1,0x,12*12 0 使矛 盾 ，
10、得代 入因 此 4)(,00xfx使例 6 设函数 在 上连续，则 在 上有界bafba,证明 假若 在 上没有上界，则 ，必有 ，使得f, n,xnNxfn)(依次取 ，便得一列含于 的数列.21n,因而它含有一个收敛子列 knx设 ，则 ，则 在 上连续knxlim,bafba,可知 )(ffkk而由 的选取方法有 ，从而产生矛盾nx )(knxkk于是证得 在 上有界.类似可证有下界f,ba故的 在 上有界例 7 设 在 上满足函数方程 ,并且 ，证)(xf,0)(2xffAxf)(lim明 , 。 Af)(证明 假设存在 ，使得 ，则由已知的函数方程推得：),(0xABxf)(0ffx
11、fBn22)()00 2,1另一方面由于 ，则对于 ， Ax(lim00X当 时，有 ，取足够大的Xx)f n设 ，此时应满足 n02 BAxf0)2(导致出现矛盾的关系式 AB于是证明了 , xf)(),(例 8 设函数 在 上连续，对 上任意两个有理数 ，有ba,ba)(,21r，则 在 上为递增函数。)(21rfff,丽水学院 2012 届学生毕业论文7证明 假设存在 ，但 （即若 不是单调递2121,xbax)(21xff)(xf增函数）由于 的连续性，对于数f )()(,2)( 211 xfcfffc必定存在 使得21x ,(,)(,)( 21 xfxf 因为有理数具有稠密性，故必存
12、在有理数 与 ，,11r )(,2122rr且 )()(21xfcf这与假设 相矛盾，所以 在 上为递增函数（且必为严格地增）1r)(xf,ba例 9 函数 在区间 上一致连续的充要条件是： ，当)(xfI Ixn,时，有 。 0)(limnnyx 0)(limnnnyf证明 必要性 因为 一致连续，故)(xf ,当 时，有Iyxn, )(nnnyfxfy在已知 时，对于 ， 自然数，0)(lin0NN必有 ，因而 nyx )(nnyfxf充分性 设 在 上不一致连续，则有)(fI Ix,0,0由 ，)(xffx取 由 ，)(1Nn 0)(1nnnyffy这显然 时，有 矛盾0limnx)(l
13、imx所以 在 上必然一致连续)(fI例10 设f(x,y)在有界闭区域 上连续，证明：一定存在点( )，使对DD），（ 0yx有 。,Dyx）（ ),(),(0yxff证明 因为f (x,y)在有界闭区域 上连续，所以f (x,y)在 上有界，从而有上确界,记,),(sup0M丽水学院 2012 届学生毕业论文8以下证明一定存在点 ,使 .D），（ 0yx00),(Myxf若否，则 .令 则F（x,y）在 上连续且-),(0Mf ,)(10xfF）（ D恒为正，从而 ,1),(f,),(, 0),(10 yyxyxfM也 即即使对 ，这说明 为函数f (x,y)在 上的一个上界.,Dyx）（
14、 ,D这与 是函数f (x,y) 在 上的上确界矛盾 ”0M故一定存在点 ，使对 有），（ 0 ,yx）（ ),(),(0yxff当然，在函数中的很多定理是充分而非必要条件.，所采用的证明方法往往不是单一的，应根据题目的条件、结论综合分析，选择适用的证明方法，例如在需要证明其逆命题是否成立时，若考虑一般情况很难说明，不妨从一些反面能举一些反例，则既简单又明了，而且也很容易掌握.。3.3导数及其积分反证法的应用定理1 若函数f 在点 可导，则 f 在点 连续.0x0x可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数 = x 在点x =0处连)(f续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只
15、能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该点的某个邻域内连续.。例 11 若函数 在区间 内可导，则其导函数不可能有第一类间断点。fI证明 设 为 在区间 I 内的第一类间断点，则 在 处的左、右极限都存0x)( )(xf0在，由 存在可推知： 0limxf，同理)(lim)(li)(lim)(li)()( 00000 xfffxfff xxxx 由 存在可推得_0xlif li()(0fffx于是得 ，因而 在 处连续)lili)(00xx)(0x此与假设矛盾，从而证明了 不可能有第一类间断点(f注：命题中的结论若以 “不可能”的形式出现，采用反证法较容易，只需举一反例证明即可。丽水学院 20
16、12 届学生毕业论文9例 12 设 满足 ，其中 为任意函数，证明：)(xf 0)()( xfgxff xg若 ，则 在 上恒等于 0。)0)(110f,10证明 假设存在一点 ，使得 ，不妨设0,)(f0)(1f则 必在 的某一内点 处取得最大值（同时也是极大值） ，f,10x )(f因此有 =0，从而由题设条件 0)(ff于是 为严格极小值，这与 为极大值矛盾，则得证)(f )(注：若命题中采取“恒等于”的形式，那只需猜度一个特解，使得原方程等于 0，就可以更为简单的解答题目。例 13 设函数 在 上递增，对任何 ，在 上可积，且f),00T,）证明： 。xcdtfx0()(1lim为 常
17、 数 cxfx)(lim证明 假若不然,设 ，则存在 ，都有 ，使得 cfx)(li n,0nx0)(cfn设对某一个自然数 ，有 ，即N0)(fN0)(cxfN由于 是递增的，所以当 时，)(xf x便有 ， NNN x Nxx xdtfdtfdtfdt 0000 )()(1)(1)(1由此知： xxctf00lim此与题设矛盾.若上述 ，从而 ，亦与题设矛盾.因0)(fxcdtf00)(1此必有： cxfx)(li例 14 设 ,且 ，证明：2,0)(f20200cos)(sin)(xdfxdf在 (0, 内至少有两个零点。)(xf2证明 若 在(0, 内没有零点，则 在(0, 内恒正或恒
18、负.1)(xf)2)(xf)2丽水学院 2012 届学生毕业论文10不妨设 恒证，即 0，则)(xf)(xf200sin)(xdf这与 矛盾20sind所以 在(0, 内至少有一个零点，下面证明零点不唯一)(xf)若 在(0, 内只有一个零点 （除 外无零点） ，则 在(0, )与 (120x0)(xf0， 内分别保持不变号0x)2在(0, )与( ， 若符号相异， 恒正或恒负,即(xf0x)2)sin()0xf20sin)d这与 矛盾 2020 20 cos)(sini)(cosi)( xdfxdxfxf o在(0, )与( ， 若符号相同，则同样可以推出矛盾 0则由 ， 知： 在(0, 上
19、可能只有一个零点12xf)2又由（1）知肯定存在一个零点，则至少存在两个零点注：再利用反证法证明命题时，必须注意命题的否定形式，才可正确的假设命题的另一方面。例15设a，b上不恒为零的函数f(x)满足： 0)(.)()()( ba1ba2baba dxfdxfxdfxf n证明 f(x)在(a，b)内至少变号n次 若否，即f(x)在(a，b)内至多变号n一1次由 知f(x)在(a，b)内至少改变一次符号,0)(badxf于是存在k个分点 ,bxxakx k.)1-n(. 2121，使f(x)在以点a, ,b为端点的每个小区间中不变号;k,但经过分点 (i=1，2，k)要变号，从而函数ix在(a，b)上保持同号，).()(1nxf 再依据题设条件有:，故只有f(x) 0，这与题设矛盾，故原结论成0d).()(1nxf 立。因此在积分与导数的证明中利用反证法，首先必须找出原方程的零点，利用零点的存
