1、1浅谈三角形面积计算方法学生（理学院数学与应用数学专业 2008 级 1 班, 学号: ）指导教师: 摘要：系统的阐述了三角形面积公式的由来及演变，结合中学知识加以应用，并对公式进行拓展，寻求新的证明公式的方法关键词：三角形； 面积；公式引言众所周知，数学作为一门科学，它是凝结了人类几千年智慧的结晶。与其它学科相比，数学的积累性很强，它的许多重大理论都是在原有理论的基础上继承和发展起来的，如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正了解数学的真谛。法国著名数学家庞加莱曾说：“如果我们想要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。 ”1 所以要正确研究数学问题
2、，首先要先了解其思想来源，这样才能正确的把握数学发展方向。在数学的平面几何学中，所有的平面封闭图形的面积均可近似化成若干个矩形面积与若干个三角形面积的和或差，所以研究三角形的面积计算方法就成为几何学中不可或缺的一部份。三角形作为平面几何中最简单的基本图形，在学习及日常生活中有广泛的应用。许多人对三角形面积公式很熟悉，但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策。其原因之一是对三角形其中所含的数学思想认识不足，对三角形面积公式的由来及演变不清楚，因此了解三角形面积公式的由来就显得举足轻重了。一. 三角形面积公式的由来人们对事物的认识总是遵循着从特殊到一般的规律。矩形是日常生活中常见且应用广
3、泛的图形，它的面积为底 高，而三角形的面积公式则可由矩形的面积公式推导，但推导三角形的面积公式首先要推导出直角三角形的面积公式。2若一个直角三角形的两条直角边分别为 ， ，则可将两个这样的三角形拼ab成一个长和宽分别为 ， 的矩形。换句话说，一个矩形可以由一条对角线分ab解为两个完全相同的直角三角形。所以直角三角形的面积公式 1=2Sab对于任意三角形，可以通过任意一边上的高把它变成两个直角三角形的和或差。如图 1-1，由直角三角形的面积公式，可得出任意三角形的面积为 底12高。记 的三角 所对的边分别为 ，三条边上的高分别为 ，ABC, ,abcah， ，即bhc(1)11=22ABCabc
4、ShhHHAC BABC图 1-1ABCRtHBtACSSABCRtHtABSS以上就是对三角形面积公式的由来进行了简单的介绍。 （参见文献2）二 三角形面积公式的演变三角形面积的计算不仅是中学平面几何中的重要内容，而且在日常生活和科学技术中也有着广泛的应用，现将几种常见的三角形面积公式归类总结如下：1. 已知三角形底为 ，高为 ，则 .ah12Sah在了解三角形面积公式的由来中，我们已经基本了解了求三角形面积最基本的公式，即 （其中底为 ，高为 ） ，下面我们将从不同的角度来推12S导该公式。方法一：“割补”法（参见文献3）如图 2-1，选取两个完全相同的三角形，将其中一个三角形作高并沿着高
5、将其剪成两个小三角形，然后将剪得的两个小三角形和另一个大三角形拼成一3个长方形。经过观察可发现，原三角形的底相当于长方形的长，原三角形的高相当于长方形的宽，即长方形的面积是三角形面积的 倍，所以三角形的面积=2底 高12图 2-1方法二：“折叠”法（参见文献3）如图 2-2，将一个三角形折叠成一个长方形。图 2-2整理可得长方形的面积=（底 ） （高 ）22三角形的面积=（底 ） （高 ） =底 高2方法三：“倍拼”法（参见文献3）如图 2-3，沿三角形的中位线，将其剪成一个小三角形和一个梯形，把剪得的小三角形和梯形拼成平行四边形。经观察发现，所得的平行四边形的高是原三角形高的一半。因为平行四
6、边形的面积=底 （高 ） ，所以，三角形的面2积= 底 高 2图 2-3而在三角形面积公式的推导中，我们常将其转化成数学语言来表示，下面是由平行四边形的面积推出任意三角形的面积公式。在平行四边形 中，作 ， ，则 ，故ABCDECBFDAEBFC.=EFABCDSS矩 形平 行 四 边 形4FEAD BC图 2-4连结 ，则 ，ACBAC故 1122BDS平 行 四 边 形 底 高2. 根据三角函数求面积已 知 的 三 个 角 分 别 为 ， 其 对 边 分 别 为 AC,ABC,abc根据三角形高与边角之间的函数关系 ，代入（1） ，便得 siniahc1sin22ABCSbAcB（2）3.
7、 海伦公式在 中，ABC1()()()()()()4Spabpcabcacba其中 2c海伦公式是利用三角形的三条边求三角形的面积，据说是希腊的数学家海伦提出，而据阿拉伯数学家比鲁尼称该公式最初是源于阿基米德，虽然这个考证也得到了公认，但人们还是习惯称该公式为海伦公式。 由于任意 边的多边形都可以分割成 个三角形，所以可以利用海伦公n2n式求多边形面积。4. 秦九韶三斜求积公式已知 三边 则 （“三斜求积”， ABC,abc2221()ABCabcS南宋秦九韶）。5在我国数学历史上，南宋著名的数学家秦九韶在所著数书九章中给出了另一个用三角形三边来求三角形面积的公式三斜求积术，秦九韶的三斜求积术
8、比海伦公式约早 600 年。秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，三斜求积术就是：以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。 4证明：由（2）式两边平方，得 222211sin(cos)44SabCabC由余弦定理知， ，代入上式，得2()cosacC2221()ABCabcS（3）称为秦九韶三斜求积公式。若将 变形为 ，再应用余2221(cos)4Sab221(cos)(1)4SabC弦定理，得 22222222()()()()16 6abcab应用平方差公式，再令 ，即得著名的海伦公式cp.()()Sp
9、c因此我国宋代的数学家秦久韶提出的“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。5. 三角形面积公式的内切圆半径表示形式设 三边分别为 内切圆半径为 , 则ABC,abcr（其中 ）()2rSrp2abcp证明： 如图 ， 为内切圆的圆心， 为各边与圆ODEF、 、的切点，则 +ABCOBSSrc ba CAB ODEF61122crbarp图 2-56. 三角形面积公式的外接圆半径表示形式设 三边分别为 外接圆半径为 ，则 ABC,abcR4ABCabcSR证明：将正弦定理 代入（2） ，得2sin,si,sinRAcsiABCS（4）再由正弦定理 ,代入（ 4） ，得sin,si,sin22abc
10、ARRABCaS7. 三角形面积公式的向量形式在平面直角坐标系中， 的三个顶点 为不共线的三点，,，则123AxyByxy（ 、 ） ,（ 、 ） ,（ 、 ）2113121()()ACSxy特殊情况：（1）在直角坐标系中， （ 为坐标原点）为不共线的三点，向量,OB，向量 ，则1=,OAxy（ ） 2=xy（ ）121OABSxy（2）在直角坐标系中， 为不共线的三点，向量 ，向量,C1=,ABxy（ ），则2=,ACxy（ ）121ABCSxy通过以上介绍的几种有关三角形面积的计算公式，我们不难从中体会到三7角形面积内容的丰富，而本文只是简单的介绍了其中的几种方法。三三角形面积的应用三角形
11、面积是重要的基础知识，三角形面积有着广泛的应用，利用三角形面积解题灵活、巧妙。例 1 如图 3-1，四个小正方形的边长均为 ，连接小正1方形的三个顶点，可得 ，则其边 上的高是（ ABC）3.2A3.21045C5D图 3-1解：方法一： 1342,5ABCSACh.35h方法二： ,2ABC1 3()()()()()()4 2Spabpcabcacba12ABCh.35h例 2 在一个三角形中，面积（单位： ）和其周长（单位： ）在数值上2cm2cm是相等的，则其内切圆的半径是（ ）.Acm.3B4C5Dc解：CBA8正确答案为（ ） 。设三角形的半周长为 ，内切圆半径为 ，由题设和公Apr
12、式 可知 ，所以 。Spr2p2()rcm注：在任意三角形 中,三条边分别为 内切圆半径为 ，则有BC,abr（其中 ）()2ArabSrp2abcp当 时，由 可得901BC()abrc或由 （ 为斜边上的高） ，又可得12ABCSch()crc四三角形面积公式的拓展数学的创新可以是对其已知知识的延伸与拓展，所以我们还可以从已知的三角形面积公式中进一步拓展，得出一些与三角形面积相关联的定理。定理 5 （三角形的内接三角形面积公式）已知 是DEF的内接三角形，且 ，这里 , ,ABC123,ADBECFA12都是非负实数，如图 4-1，则3123()()DEFABCSS 图 4-1 除了可以拓
13、展公式，得出一些与面积相关的定理外，还可以通过寻求新的公式证明的方法来达到数学的创新。1. 海伦公式的新证法 6在前面已经介绍了一种常见的三角形面积公式即海伦公式（其中 ）()()Spabpc2abcp由于海伦公式的推导复杂，往往难以理解求解的过程。下面将利用勾股定理和圆的性质来求三角形的面积。如图 4-2，设 三边分别是 不失一般性，假定ABC,abc A CBDEF ba c-bhc y xCAB9边最长。现以 边上的一个顶点（现为 ）为圆心， 为半径画圆，将过圆心ccAc的另一边 两端延长为圆的直径，显然，这两端延长部分的线段长分别为ACb和 。再将第三边 延长为圆的弦，记 的延长部分为
14、 ，则由相交BaBCx弦定理，得 图 4-2 ()xcb从圆心引三角形的高 ，则弦被垂足平分。设 为半弦长，于是， .hy1()2yax由勾股定理得 2c因此，边长为 并且 的三角形 的面积为,abc,abABC12ABCSh其中 ， ， 2hcy()x2()ca这个推导方法简单明了，便于计算，由它还可以直接导出海伦公式。2. 求三角形面积新法 7大家知道，在已知三角形的三边 ，求三角形面积的公式通常有海伦公,abc式和秦九韶三斜求积公式。在初等数学研究中，我们又发现一种很“好用”的形式即 ABCSabc其中 ， ， 224bcaa224b 224其实将上式两边分别平方后便可以去掉根号，再经过
15、整理即可得出，这与由海伦公式整理成的等式是22224416ABCSbcac一致的，由推导的可逆性，即知公式正确。如下的证明，说明了公式的来源。设存在直角四面体 ，使其斜面面积为欲求面积，即 的面积，OABCABC记 ,Oxyz则 22222,.zaxzbxyc10解得 再应用直角222222111(),(),().xbcaycbzabc四面体勾股定理，得2222()()()ABCSxyzx注意 的表达式，即得欲证。,abc注：此证法仅适用于锐角三角形。例 3 已知三角形三边长为 求此三角形的面积。36,4052,解：易得222221,1,6,4bcacbabcabc 故 （面积单位）.6874
16、8S五. 小结本文研究的是有关三角形面积公式，首先了解了三角形面积公式的由来，从最基本的公式 （其中底为 ，高为 ）不断的演变出不同的面积公式，12Sahah这样在针对不同的题可以选择最简便的公式进行计算。在对公式拓展中，由于海伦公式的推导复杂，不易理解，从而可利用勾股定理和圆的性质来求三角形的面积。本文虽然归结出求三角形面积的几种常见公式，并对其有部分知识的延伸，但对三角形面积公式的进一步创新还有欠缺。致 谢 ： 衷 心 感 谢 白 丽 艳 老 师 在 论 文 写 作 过 程 中 给 予 的 指 导 与 帮 助 ！参考文献1 朱家生. 数学史M. 第 2 版本.北京:高等教育出版社，2011.2 饶克勇. 三角形面积公式的由来和演变J.昭通师范高等专科学校学报.2003(05):2122.3吴志群. 让生成与预设和谐统一 J.湖南教育（下） ，2011(04):44.4 孔凡田，赵蓉.海伦秦九韶公式推导的多样性J.中学数学杂志，2010(09):1617.5 李世杰. 关联三角形面积的几个新定理J.中学教研( 数学)，2005(04):40446 何小亚编译.求三角形面积新法J.中学数学，1990(01):32.7 于新华. 一个新的三角形面积公式J.中学数学教学参考，2003(03):62.
