1、 JISHOU UNIVERSITY本 科 生 毕 业 论 文题 目： 正定二次型的判断及应用作 者： 徐 杨学 号： 20084043041所属学院： 数学与统计学院专业年级： 2008 级数学与应用数学指导教师： 莫宏敏 职 称： 副教授完成时间： 2012 年 5 月 14 日吉首大学教务处制吉首大学本科生毕业论文 II独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由
2、本人承担。论文题目： 正定二次型的判断及应用 作者签名： 日期： 年 月 日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目： 正定二次型的判断及应用 学生签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日吉首大学本科生毕业论文 III目 录1 引言 .11.1 什么是二次型 .11.2 二次型的研究历史 .22 正定二次型的判断 .3
3、3 实二次型的正定性证明不等式 .94 实二次型的正定性在极值问题中的应用 .10参考文献 .11吉首大学本科生毕业论文 1正定二次型的判断及应用徐杨（吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000）摘 要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用.关键词：正定二次型；正定阵；顺序主子式 Judgement of positive definite quadratic form andits applicationsXu yangAbstract：In the quadratic form , the positive def
4、inite quadratic form has a special position . This paper has summarized some judgement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems .Key words: positive definite quadratic form; positive definite matrix ; principal minor det
5、erminant 1 引言1.1 什么是二次型定义 1（实二次型） 设 均为实常数，称关于 n 个实);,21,(jinjia变量 的二次齐次多项式函数nx,2吉首大学本科生毕业论文 2njijinii nnn xaxxaxaxxaxf 1,12 2322 111121),( 为一个 n 元实二次型，简称为 n 元二次型。令 ，则 ，再令矩阵 ，jiijaijjiji xax2 nijaA)(，则 A 为实对称矩阵，且可将二次型写成Tnxx),(21 nnnnnijjij xaaxxaxf 21211221121 ),(),(或 AxfT)(定义 2（正定二次型）设有 n 元二次型 （A 为实
6、对称矩阵） ，fT)(如果对任意 n 维非零向量 x，都有 ，则称 f 为正定二次型，并称实对称0)(xf矩阵 A 为正定矩阵.1.2 二次型的研究历史二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的.柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现
7、和证明.1801 年，高斯在算术研究中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，吉首大学本科生毕业论文 3拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.2 正定二次型的判断定理 1 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21 AXxfn它的正惯性指数等于 .n证明 设实二次型 经线性替换 X=PY 化为标准形:fn),(2122nydyd )1(其中 由于 为可逆矩阵 所以 不全为零时.,iRdip,nx
8、,21也不全为零 反之亦然. ny,21如果 是正定二次型 那么当 不全为零 即 不全)(f,nx,21 ,ny,21为零时 有 ,0221nydydf )(若有某个 比方说 则对 这组不),1(nii.0n 1,0121 nny全为零的数 代入 式后得 这与 是正定二次型矛盾 因此 必有,ff.即 的正惯性指数等于 .)2.(0idi如果 的正惯性指数等于 则 于是当 不)f ,n),21(0nidinx,21全为零 即当 不全为零时 式成立 从而 是正定型 ,ny,21 )2(,f定理 2 实二次型 是正定二次型的充要条件是),(21 AXxfn对任何 维实的非零列向量 必有n0证明： 由
9、假设 是正定二次型 故存在实的非退化的线性替换)(f,使,QYX221nyyAX )3(吉首大学本科生毕业论文 4对 因 非奇异 故 于是由 可知,0XQ,0Y)3(0AX设 的秩与正惯性指数分别为 与 先证 如 则由惯性)(A r,p,r,rp定理 存在非退化的线形替换 使得, ,QX22121 rpyy )4(由假设 对任何 但对列向量, ,0,A0),(X（因 是非奇异阵,1 是 的第 个分量）却有Q1pA这与假设矛盾.故 .再证 .如果 则 式应化为rnr,r)4(nyyXr221 )5(于是取0),(Q由 即得 又与假设矛盾,故 即 是正定二次型.)5(0AX,pnrf定理 3 实二
10、次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21 AXxf 的规范形为 .f 2221, nnyyxf 证明： 实二次型 是正定二次型 则由定)()(),(21xfn ,理 1 可知 的正惯性指数为 n，则二次型 可经过非退化f AXxfn,21实线形替换成22121),( nnyyxf 的规范形为 则 的正惯性指数为)(f 2 ,f由定理 1 可知 为正定二次型.,nf定理 4 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21 AXxn矩阵 与单位矩阵合同.A吉首大学本科生毕业论文 5证明： 实二次型 是正定二次型 则由定)()(),(21 AXxfn ,理 3 可知 的规范形为 .,f 221
11、, nyy此即存在非退化线形替换 其中 可逆 使得(CYX),22121 )(),( nn yyAYAxf 所以 因此矩阵 单位矩阵合同.,EAC矩阵 单位矩阵合同 则存在可逆矩阵 使得 ，令)(, ,CE则YX.22121 )(),( nn yyAYCYAXxf 因此 由证明 4 可知 是正定二次型.,f定理 5 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21Xxn矩阵 的主子式全大于零 .A证明： 实二次型 是正定二次型,以 表)()(),(21 Afn kA示 的左上角 阶矩阵,下证 考虑以 为矩阵的二次型k ,(0kAkkjijikxaxg121),(由于 所以当 不全为零时,)0,
12、),(2121 kkfx kx,21由 正定二次型可知 从而 为正定二次型,固f ,0g.kA对二次型的元数 作数学归纳法)(n当 时 因为 所以 正定 假设 且对 元实1n,)(211xaf ,01f,1n二次型结论成立.由于 用 乘 的第 1 列到第 列,再用 乘第 的第 1 行,01a1aiAi1aiA到第 行 经此合同变换后 可变为以下的一个矩阵i),3,2(n,吉首大学本科生毕业论文 6011Aa B因为矩阵 与 合同 所以 是一个 阶对称矩阵 从而 也是对称矩阵 上述的AB,n.1.变换不改变 的主子式的值 因此 的主子式也全大于零,而 的 阶,BB)2(nk主子式等于 的 阶主子
13、式乘以 并且 于是 的主子式全大于零 由1k,1a011A,归纳假设, 与 合同 所以 与单位矩阵合同 此即 是正定二次型.AnI,A,f定理 6 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21Xxfn矩阵 的顺序主子式全都大于零.证明： 实二次型 是正定二次型,则由定理)()(),(21 Afn5 可知 的主子式全大于零,所以 的顺序主子式也全大于零.AA对二次型的元数 作数学归纳法)(n当 时 由条件知 所以 是正定的. 1n,)(211xaf ,01a)(1xf假设充分性的判断对于 元的二次型已经成立,现在来证 元的情形.n令= 1A1,1, ,nnaa na,1于是矩阵 可以分块写成
14、：= na1则 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定, 是正定矩阵.1A1A则存在可逆的 阶矩阵 使得 ，令1n,GnE=1C0于是吉首大学本科生毕业论文 7. nnn aGEaAGAC111 00再令 = ，201aEn则有 GaECAn01212令 ， ，21CdGan就有 dA1两边取行列式, ,则由条件 因此 .dC2 ,0 ddd 1111 所以矩阵 与单位矩阵合同,因此 是正定矩阵即 是正定二次型.AAf定理 7 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21 AXxfn矩阵 是实可逆矩阵 .T(证明： 实二次型 是正定二次型,则由定理)(),(21xfn4 可知存在可逆矩阵 使得 .,CEA则 11)()(C令则1T,TA若)(,TA
