1、 2017-2018学年上学期高二数学（理） 18周 周末练习 命题人：袁筱蓉 满分 150 分 限时 120 分钟 班级 姓名 成绩 一、 选择 题 ： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1、已知命题 :pxR ， sin 1x ，则（ ） A :px R ， sin 1x B :px R ， sin 1x C :px R ， sin 1x D :px R ， sin 1x 2 曲线 y x x 3 24在点 ()1， 3 处的切线的倾斜角 为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 120 3. 下列各组向量中不平行的是（ ） A (1, 2 , 2 ) , ( 2
2、, 4 , 4 )ab B (1, 0 , 0 ), ( 3, 0 , 0 )ab C ( 2 , 3, 0 ), ( 4 , 6 , 0 )ab D ( 2 , 3, 5 ), (1, 2 , 3 )ab 4抛物线 214xy 的焦点坐标是 ( ) A 0,1 B 10,16C 10,4D 0,4 5对某商店一个月 30 天内 每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、 众数、极差分别是（ ） A 46， 45， 56 B 46， 45， 53 C 47， 45， 56 D 45， 47， 53 6. 有 50 件产品编号从 1到 50 ,现在从中抽取 5
3、件检验 ,用系统抽样确定所抽取的编号为 ( ) A 5,10,15,20,25 B 5,15,20,35,40 C 5,11,17,23,29 D 10, 20,30, 40,50 7 命题 p ：直线 l 与抛物线 C 有且仅有一个公共点；命题 q ：直线 l 与抛物线 C 相切 .则 p是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8、对于方程22y+ =12 -1x m（ 1m R m且 ）的曲线 C，下列说法错误的是 ( ) A 3m 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 B =3m 时，曲线 C 是圆 C 1D 1B 1A 1
4、DCBAC 1m 时，曲线 C 是椭圆 9 如图已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的 内角 A、 B 分别为 60和 45，现向圆内随机撒 一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率 为（ ） A.3316 B.334 C. 433D. 163310. 对于 R 上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x 1） fx（） 0，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） B. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） C. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） D. f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 11.已知抛物线 2 4yx 的准线与双曲线 2 22 1x ya 交于
5、 A ,B两点，点 F 为抛物线的焦点，若 FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A . 6 B . 62 C . 3 D .2 12.如图，在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中， M 是面 ABCD 上 的 动 点 ， F 是对角线 AC上的动点，若 0,M F AC M F M D ，则 M 的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 圆的一部分 C. 抛物线 的一部分 D. 双曲线 的一支 二、填空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 曲线 2xxy 在点 (1, 1) 处的切线方程为 14直线 1myx 与双曲线 1: 22 yxC 恰有一个 公共 点
6、，则 m 的取值集合是 15、在 ABC 中， 60ABC， 2AB ， 3BC ，在线段 BC 上任取一点 D ，使 ABD为钝角三角形的概率为 16. 空间四边形 OABC 中， OA=a ， OB =b ,OC =c ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA,N为线段BC 的中点，则 MN = 三、解答题： 17 已知函数 3()f x ax bx c 在 2x 处取得极值为 16c （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）若 ()fx有极大值 28，求 ()fx在 3,3 上的最大值和最小值 18.已知 1: 2 1 23xp ， 22: 2 1 0 ( 0 )q x x m m ，若
7、q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 . 19. 若一个椭圆与双曲线 1322 yx 焦点相同，且过点 )1,3( . （ 1）求这个椭圆的标准方程； （ 2）求这个椭圆的所有斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程 . 20.已知函数 ( ) ln , ( ) ( 0)af x x g x ax . （ I）当 1a 时， 若曲线 ()y f x 在点 00( , ( )M x f x 处的切线与曲线 ()y gx 在点00( , ( )P x g x 处的切线平行，求实数 0x 的值； （ II）若 (0,ex ，都有 3( ) ( ) 2f x g x，求实数 a 的取值范围 .
8、 21.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 12AB BC AA， 090ABC， D 是 BC 的中点 （ 1）求证： 1AB平面 1ADC ； （ 2）求二面角 1C AD C的余弦值； （ 3）试问线段 1AB上是否存在点 E ，使 1CE与平面 1ADC 成 030 角？若存在，确定 E 点位置，若不存在，说明理由 22. 高考 (2014 高考 陕西 理科 20 题 ) 如 图 ， 曲 线 C 由 上 半 椭 圆221 22: 1 ( 0 , 0 )yxC a b yab 和部分抛物线 22 : 1( 0 )C y x y 连接而成，12,CC的公共点为 ,AB，其中
9、1C 的离心率为 32 . （ 1） 求 ,ab的 值； （ 2） 过点 B 的直线 l 与 12,CC分别交于 ,PQ（均异于点 ,AB），若 AP AQ ，求直线 l的方程 . 2017-2018 学年上学期高二数学（理） 18 周末练习 -答案 一、选择题： BBDAA DBDBC CC 二、填空题 ： 13. 012 yx 14 0， 1， -1 15 13 16 -23 a +21 b +21 c 三、解答题： 17 已知函数 3()f x ax bx c 在 2x 处取得极值为 16c （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）若 ()fx有极大值 28，求 ()fx在 3,3 上的最
10、大值和最小值 解： （）因 3()f x ax bx c 故 2( ) 3f x ax b 由于 ()fx 在点 2x 处取得极值 故有 (2) 0(2) 16ffc 即 12 08 2 16aba b c c ， 化简得 12 048abab 解得 112ab -4 分 （）由（） 知 3( ) 12f x x x c ， 2( ) 3 12f x x 令 ( ) 0fx ， 得 122, 2xx 当 ( , 2)x 时， ( ) 0fx 故 ()fx在 ( , 2) 上为增函数； 当 ( 2,2)x 时， ( ) 0fx 故 ()fx在 ( 2,2) 上为减 函数 当 (2, )x 时 (
11、 ) 0fx ，故 ()fx在 (2, ) 上为增函数。 -8 分 由此可知 ()fx 在 1 2x 处取得极大值 ( 2) 16fc ， ()fx 在 2 2x 处取得极小值 (2) 16fc 由题设条件知 16 28c 得 12c -10 分 此时 ( 3 ) 9 2 1 , ( 3 ) 9 3f c f c ， (2) 16 4fc 因此 ()fx 上 3,3 的最小值为 (2) 4f ， 最大值为 f(-2)=28。 -12 分 18.已知 1: 2 1 23xp ， 22: 2 1 0 ( 0 )q x x m m ，若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 . 解：
12、由 1: 2 1 23xp 得 2 10x ； 3 分 p ： 2x 或 10x ； 4 分 由 22: 2 1 0 ( 0 )q x x m m 得 1m x m ， 即 11m x m 7 分 q ：1xm 或 1xm . 8 分 q 是 p 的必要不充分条件， 1 1012mm ， 11 分 解得 3m . 12 分 经检验，实数 m 的取值范围是 0,3 . 13 分 19. 若一个椭圆与双曲线 1322 yx 焦点相同，且过点 )1,3( . （ 1）求这个椭圆的标准方程； （ 2）求这个椭圆的所有斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程 . 解： (1)设双曲线 1322 yx的半焦距为
13、c, 则 4312 c ， 2c -1 分 椭圆与双曲线共焦点， 设椭圆的方程为 )0(12222 babyax ,且有 4222 cba - -2 分 椭圆过 )1,3( ， 11322 ba， - 联立，解得 .2,6 22 ba -3分 .椭圆方程为 126 22 yx.-4分(2) 依题意，设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+m， 弦的两端点坐标分别为),(),( 2211 yxyx 弦的中点坐标为（ x， y），联立方程组： ,126,222 yxmxy 消去 y 整理，得 13x2+12mx+3m2 6=0 （ *） -6 分 依题意知， 0 ，即 144m2-52(3m
14、2-6)0, 解得 2626 m -7 分 21,xx 是方程（ *）的两个实根， 由韦达定理得 131221 mxx ， 由中点坐标公式得 1362 21 mxxx （ *） 又 .132 222212121 mmxxmxmxyyy -8 分 即 ,13ym 代入（ *）式，得 06 yx ，其中 .1326613266 x所以所求的平行弦的中点轨迹方程为： 06 yx （ ).1326613266 x-10 分 （说明：凡没有注明 x 或 y 的取值范围的都扣 1 分） 20.已知函数 ( ) ln , ( ) ( 0)af x x g x ax . （ I）当 1a 时， 若曲线 ()y
15、 f x 在点 00( , ( )M x f x 处的切线与曲线 ()y gx 在点00( , ( )P x g x 处的切线平行，求实数 0x 的值； （ II）若 (0,ex ，都有 3( ) ( )2f x g x，求实 数 a 的取值范围 . 解：（ I）因为 1a , 211( ) , ( )f x g xxx若函数 ()fx在点 00( , ( )M x f x 处的切线与函数 ()gx 在点 00( , ( )P x g x 处的切线平行， 所以20011xx，解得 0 1x 此时 ()fx在点 (1,0)M 处的切线为 1yx ()gx 在点 (1, 1)P 处的切线为 2yx
16、 所以 0 1x （ II）若 (0,ex ，都有 3( ) ( )2f x g x记 33( ) ( ) ( ) ln22aF x f x g x x x ， 只要 ()Fx在 (0,e 上的最小值大于等于 0 221( ) a x aFx x x x 则 ( ), ( )F x F x 随 x 的变化情况如下表 ： x (0, )a a ( , )a ()Fx 0 ()Fx 减 极小值 增 当 ea 时，函数 ()Fx在 (0,e) 上单调递减， (e)F 为最小值 所以 3(e) 1 02aF e ，得 e2a所以 ea 当 ea 时，函数 ()Fx在 (0, )a 上单调递减，在 (,
17、e)a 上单调递增 ， ()Fa为最小值，所以 3( ) ln 02aF a a a ，得 ea 所以 eea 综上， e a 21.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 12AB BC AA， 090ABC， D 是 BC 的中点 （ 1）求证： 1AB平面 1ADC ； （ 2）求二面角 1C AD C的余弦值； （ 3）试问线段 1AB上是否存在点 E ，使 1CE与平面 1ADC 成 030 角？若存在，确定 E 点位置，若不存在，说明理由 解：（）证明：连结 1AC ，交 1AC 于点 O ，连结 OD . 由 111 CBAABC 是直三棱柱，得 四边形 11ACCA
18、为矩形， O 为 1AC 的中点 .又 D 为 BC 中点，所以 OD 为 1ABC 中位线， 所以 1ABOD ， 13 分 因为 OD 平面 1ADC ， 1AB 平面 1ADC ， 所以 1AB平面1ADC . 4 分 （）解：由 111 CBAABC 是直三棱柱，且 90ABC ，故 1, BBBCBA 两两垂直 . 如图建立空间直角坐标系xyzB . 5 分 设 2BA ，则 )0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0( 1 DCACB . 所以 (1, 2,0)AD ， 1 (2, 2,1)AC 设平面 1ADC 的法向量为 =( )x,y,zn
19、，则有10,0.n ADn AC 所以 2 0,2 2 0.xyx y z 取 1y ，得)2,1,2( n . 7 分 易知平面 ADC 的法向量为(0,0,1)v . 8 分 由二面角 1C AD C是锐角，得 | | 2co s , 3 nvnv nv. 所以二面角 1C AD C的余弦值为 23 . 9 分 （）解：假设存在满足条件的点 E ,设 0, ,E ab . E 在线段 1AB上，由 BE = 1BA 且其中 01， 0, ,BE a b 1 0,2,1BA 即 0, , 0, 2,1ab ， 2ab ， 0,2 ,E ., 1 2 , 2 , 1CE 以由（ 2）知 )2,
20、1,2( n 1CE 与平面 1ADC 成 030 角，所以 0 1111sin 3 0 c o s ,2C E nC E nC E n . 即224 2 2 2 124 4 ( 1 ) 9 ，22125 2 5 3 245 18 29 0 ， 0 方 程 无 解 所以在线段 1AB上不存在点 E . 14 分 22. 高考 (2014 高考 陕西 理科 20 题 ) 如 图 ， 曲 线 C 由 上 半 椭 圆221 22: 1 ( 0 , 0 )yxC a b yab 和部分抛物线 22 : 1( 0 )C y x y 连接而成，12,CC的公共点为 ,AB，其中 1C 的离心率为 32 .
21、 （ 2） 求 ,ab的值； （ 3） 过点 B 的直线 l 与 12,CC分别交于 ,PQ（均异于点 ,AB），若 AP AQ ，求直线 l的方程 . 【答案】（ 1） 2a ， 1b ； (2) 8( 1)3yx 【解析】 试题分析：（ 1） 由上半椭圆 221 22: 1 ( 0 , 0 )yxC a b yab 和部分抛物22 : 1( 0 )C y x y 公共点为 ,AB，得 1b ，设 2C 的半焦距为 c ，由 32ce a 及2 2 2 1a c b ，解得 2a ； 试题解析： （ 1）在 1C 方程中，令 0y ，得 ( ,0), ( ,0)A b B b 在 2C 方程中，令 0y ，得 ( 1,0), (1,0)AB 所以 1b 设 2C 的半焦距为 c ，由 32ce a 及 2 2 2 1a c b ，解得 2a 所以 2a ， 1b （ 2）由（ 1）知，上半椭圆 1C 的方程为 2 2 1( 0)4y xy ， (1,0)B 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 ( 1)( 0)y k x k
