1、讨论函数 单调性 的教学案例 欧阳志文 摘要 : 在各地 高 考 试题中涉及 “分类讨论 ”的问题 必不能少 ，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。 本文 主要以高考热点和难点“函数单调性的讨论”为例，展示分类讨论思想 在解题中的 顺其自然 。 需要 分类讨论 的题型通常是 因为题设少了条件致使解答无法继续进行，所以只能增加条件满足解题的内在需求，使解题可以继续。 关键词 :分类讨论 , 参数 , 函数单调性 ,二次不等式 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题
2、的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分 类讨论思想。 当 数学 问题中的条件，结论不明确或题意中含 参数 或 图形 不确定时，就应分类讨论。 当我们所研究的各种对象之间过于复 杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。 分类讨
3、论解题的实质 就是解题时因为缺少某些条件而无法进行下去 , 只能 以增加题设条件 来 将整体问题化为 一个个小 问题来解决 ,所以分类讨论需要 全面考虑问题的 能力和 周密严谨的数学教养 。 在各地 高 考 试题中涉及 “分类讨论 ”的问题 必不能少 ，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在 高 考复习时，对 “分类讨论 ”的 数学思想渗透不够 。 下面就以高考热点和难点“函数单调性的讨论”为例，展示分类讨论思想的顺其自 然。 基础 1： 解二次不等式 2 2 3 0xx 。
4、（ 必修 5 中详细了这类问题的解题步骤 ） 第一步：解方程 2 2 3 0xx ，得到两解 123, 1xx 第二步：画函数 2 23y x x 的草图。 第三步：由函数图像写出不等式解集 | 1 3x x x 或 基础 2： 解二次不等式 2 ( 1) 0x a x a 。 解题步骤： 第一步：解方程 2 ( 1) 0x a x a ，得到两解 12,1x a x 第二步：画函数 2 ( 1)y x a x a 的草图。在这个步骤中遇到了一个麻烦，在把12,1x a x标注在图形时不能确定谁左谁右，如果要继续解题，很自然的需要我们自己增加 三种不同的 条件： 1 1a ； 2 1a ； 3
5、 1a 在我们添加了这些不同的条件后， 2 ( 1)y x a x a 的图形也就分别确定下来。 第三步： 根据 2 ( 1)y x a x a 三种不同的图形，可以写出不等式2 ( 1) 0x a x a 的解集： （ 1）当 1a 时，不等式解集为 | 1 x x x a或 （ 2）当 1a 时，不等式解集为 | 1x x a x或 （ 3）当 =1a 时，不等式解集为 R 基础 2的引申 1： 讨论函数 3211( ) ( 1 ) 332f x x a x a x 的单调性。 解题步骤： 第一步：求导 2( ) ( 1)f x x a x a ，解不等式 2 ( 1) 0x a x a
6、可得增区间；解不等式 2 ( 1) 0x a x a 可得 减 区间； 接下来的解答就完全可以建立在基础 2 上，基础 2 实际上就是求得增区间的过程。 在次基础上可以得到如下答案： （ 1）当 1a 时，增区间为 ,1 ,a 和 （ ），减区间为 a（ 1， ） （ 2）当 1a 时，增区间为 , 1,a 和 （ ），减区间为 a（ ， 1） （ 3）当 =1a 时，增区间为 （ ， ） 基础 2的引申 2： 讨论函数 21( ) ( 1 ) l n 32f x x a x a x 的单调性。 解题步骤： 第一步：求导 2 ( 1 )( ) ( 0 )x a x af x xx ，解不等式
7、2 ( 1) 0x a x a (x0)可得增区间；解不等式 2 ( 1) 0x a x a (x0)可得减区间； 接下来的解答就可以建立在基础 2 的引申 1 上，在兼顾定义域的 基础上 就可以得到如下答案： （ 1）当 1a 时，增区间为 0,1 ,a 和 （ ），减区间为 a（ 1， ） （ 2）当 01a时，增区间为 0, 1,a 和 （ ），减区间为 a（ ， 1） （ 3）当 0a 时，增区间为 1,（ ） ，减区间为 0（ ， 1） （ 4）当 =1a 时，增区间为 0（ ， ） 基础 3： 解不等式 2 ( 1) 1 0ax a x 。 解题步骤： 第一步：因为不能确定不等式
8、是一次不等式还是二次不等式 ，所以首先需要确定形式，分两类：（ 1） 0a ；（ 2） 0a 第二步：若 0a ，解二次方程 2 ( 1) 1 0ax a x ，得到两解121,1xxa第三步：画函数 2( ) ( 1) 1f x ax a x 的草图。在这个步骤中 首先 遇到了一个 基础 2没有遇到的 麻烦 ，图像开口方向不确定，所以我们接下来需要自行增加条件（ 2.1） 0a 和（ 2.2） 0a 使开口方向落实下来，接着在（ 2.1） 0a 的情景下又遇到与基础 2 相同的问题 ： 121,1xxa到底谁大谁小 。在 标注图形 的零点 时不能确定谁左谁右，如果要继续解题，很自然的需要我们
9、自己增加三种不同的条件： 2.1.1 1a ； 2.1.2 01a； 2.1.3 1a 在我们添加了这些不同的条件后， 2 ( 1) 1y ax a x 的图形也就分别确定下来。 第 四 步：根据 2 ( 1) 1y ax a x 在（ 1） ,（ 2.2） ,(2.1.1),(2.1.2),(2.1.3)五 种不同 情况下的 图形，可以写出不等式 2 ( 1) 1 0ax a x 的解集： （ 1）当 0a 时，不等式解集为 | 1xx （ 2. 2）当 0a 时，不等式解集为 1 | 1xxa （ 2.1.1）当 1a 时，不等式解集为 1 | 1x x xa或 （ 2.1.2）当 01a
10、时，不等式解集为 1 | 1 x x x a或 （ 2.1.3）当 =1a 时，不等式解集为 R 基础 3的引申 1： 讨论函数 3211( ) ( 1 ) 332f x a x a x x 的单调性。 解题步骤： 第一步：求导 2( ) ( 1) 1f x a x a x ，解不等式 2 ( 1) 1 0ax a x 可得增区间；解不等式 2 ( 1) 1 0ax a x 可得减区间； 接下来的解答就完全可以建立在基础 3 上，基础 3 实际上就是求得增区间的过程。在次基础上可以得到如下答案： （ 1）当 0a 时，增区间为 ,1 ，减区间为 (1,） （ 2. 2）当 0a 时，增区间为
11、1,1a，减区间为 1( , ) (1,a 和 ） （ 2.1.1）当 1a 时，增区间为 1( , ) (1,a 和 ），减区间为 1,1a（ 2.1.2）当 01a时，增区间为 1( ,1) ( ,a 和 ），减区间为 11,a（ 2.1.3）当 =1a 时，增区间 为 （ ， ） 基础 3的引申 2： 讨论函数 21( ) ( 1 ) l n 32f x a x a x x 的单调性。 解题步骤： 第一步：求导 2 ( 1 ) 1( ) ( 0 )a x a xf x xx ，解不等式 2 ( 1) 1 0ax a x (x0)可得增区间；解不等式 2 ( 1) 1 0ax a x (x
12、0)可得减区间； 接下来的解答就可以建立在基 础 3 的引申 1 上，在兼顾定义域的基础上就可以得到如下答案： （ 1）当 0a 时，增区间为 0,1 ，减区间为 (1,） （ 2. 2）当 0a 时，增区间为 0,1 ，减区间为 (1,） （ 2.1.1）当 1a 时，增区间为 1(0, ) (1,a 和 ），减区间为 1,1a（ 2.1.2）当 01a时，增区间为 1(0,1) ( ,a 和 ），减区间为 11,a（ 2.1.3）当 =1a 时，增区间为 0（ ， ） 这里我虽然主要以二 次函数为载体解析函数单调性的分类讨论，但分类讨论的本质是一样的：因为题设少了条件致使解答无法继续进行， 所以只能增加条件满足解题的内在需求，使解题可以继续。
