1、中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学 明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第 24 题和 25 题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；反比例函数，它所对应的图像是双曲线；二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第 24 题
2、，满分 12 分，基本分 23 小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成
3、 yf（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x 和 y 的方程）和复合法（列出含有 x 和 y 和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和 x 之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到 yf（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。几何型综合题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：
4、数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）2具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图
5、形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。4、综合多个知识点，运
6、用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。5、分题得分：中考压轴题一般在大
7、题下都有两至三个小题，难易程度是第（1）小题较易，第（ 2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1）小题的分数一定拿到，第（2 ）小题的分数要力争拿到，第（ 3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上3知识点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性
8、最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧（先以 2009 年河南中考数学压轴题为例） 。如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） 、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向
9、终点 B 运动，同时点Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E.过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?连接 EQ在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值.解：(1)点 A 的坐标为（4，8） 1 分将 A (4，8) 、 C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx8=16a+4b得 0=64a+8b解 得 a=- 12,b=4抛物线的解析式为：y=- 12x2+4x 3 分（2）在 RtA
10、PE 和 RtABC 中，tanPAE= PEA= BC,即 = 484PE= 12AP= tPB=8-t点的坐标为（4+ t，8-t）.点 G 的纵坐标为：- 12（4+ t） 2+4(4+ 1t）=- 8t2+8. 5 分EG=- 18t2+8-(8-t) =- 8t2+t.- 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 7 分共有三个时刻. 8 分t1= 63， t 2= 4，t 3= 85 11 分压轴题的做题技巧如下：1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜” 。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制
11、，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整
12、体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。5压轴题解题技巧练习一、 对称翻折平移旋转1 （2010 年南宁）如图 12，把抛物线 （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再2yx向上平移 1 个单位长度，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称.点 、
13、、1l2l1lyAO分别是抛物线 、 与 轴的交点， 、 分别是抛物线 、 的顶点，线段 交Bl2xDC2CD轴于点 .yE（1）分别写出抛物线 与 的解析式；1l2（2）设 是抛物线 上与 、 两点不重合的任意一点， 点是 点关于 轴的对称POQPy点，试判断以 、 、 、 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.QCD（3）在抛物线 上是否存在点 ，使得 ，如果存在，求1lMABMAOEDS四 边 形出 点的坐标，如果不存在，请说明理由.M2 （福建 2009 年宁德市）如图，已知抛物线 C1： 的顶点为 P，与 x 轴52xay相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，
14、点 B 的横坐标是 1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1） ，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为 C3，C 3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式；（4 分）ACDEBO2l1l12题题图12yxyxAOBPM图1C1C2 C32（1）yxA OBPN图2C1C4QE F2（2）6APOBECxy（3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边
15、） ，当以点 P、 N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标 （5 分）二、 动态：动点、动线3(2010 年辽宁省锦州)如图，抛物线与 x 轴交于 A(x1，0)、 B(x2，0)两点，且 x1 x2，与 y 轴交于点 C(0，4)，其中 x1、 x2是方程 x22 x80 的两个根(1)求这条抛物线的解析式；(2)点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作PE AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当 CPE的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使 QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的
16、坐标；若不存在，请说明理由4 （2008 年山东省青岛市）已知：如图，在 RtACB 中，C90，AC4cm，BC3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s）（0t2） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBC？（2）设AQP 的面积为 y（ ） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；2cm（3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，
17、并把PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 P图A Q CPB图A Q CPBDBA QCP7Cx xy yAOBEDA C BCDG图 1 图 25 （09 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，B60从初始时刻开始，点 P、Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 ACB 的方向运动，点 Q 以 2厘米/秒的速度沿 ABCD 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 运动的时间为 x 秒时，APQ 与ABC 重叠部分
18、的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 0 的三角形） ，解答下列问题：（1）点 P、Q 从出发到相遇所用时间是 _秒；（2）点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x 的值是_秒；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式6(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设 x（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？三、 圆7 （2010 青海
19、） 如图 10，已知点 A（3，0） ，以 A 为圆心作A 与 Y 轴切于原点，与 x轴的另一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l.（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作A 的切线 DE，E 为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当BFD 与 EAD相似时，求出 BF 的长 8(2009 年中考天水)如图 1，在平面直角坐标系 xOy，二次函数 y ax2 bx c(a0)CA B NM（第 24 题）8的图象顶点为 D，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、 B
20、，点 A 在原点的左侧，点 B的坐标为(3，0)， OB OC，tan ACO 13(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、 N，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图 2，若点 G(2， y)是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时， AGP 的面积最大？求此时点 P 的坐标和 AGP的最大面积9 （09 年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知 A( 4，0)，B(1，0)，且以 AB为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D（1）求点
21、C 的坐标和过 A， B，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由10 （2009 年潍坊市）如图，在平面直角坐标系 中，半径为 1 的圆的圆心 在坐标xOyO原点，且与两坐标轴分别交于 四点抛物线 与 轴交于ABCD、 、 、 2axbcy点 ，与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 DyxMN、 、 AC（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，并延长 交圆 于 ，求 的EEFE长（3）过点 作
22、圆 的切线交 的延长线于点 ，判断点 是否在抛物线上，说明BOCP理由四、比例比值取值范围11 （2010 年怀化）图 9 是二次函数 的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).kmxy2)(（1）求出图象与 轴的交点 A,B 的坐标； x O xyNCDEFBMAyxOCDBA149（2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 ,若存在，求出 P 点的坐MABABS45标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得xx到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象有两个)1(by公共点时， 的取值范围.b12 (湖南省长沙市 20
23、10 年)如图，在平面直角坐 标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， 82OAcm， OC=8cm，现有两动点 P、 Q 分别从 O、 C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 cm 的速度匀速运动， Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运2动设运动时间为 t 秒（1）用 t 的式子表示 OPQ 的面积 S；（2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时，抛物线 经过 B、 P 两点，过24yxbc线段 BP 上一动点 M 作 轴的平行线交抛物线于 N，当线段 MN
24、的长取最大值时，求y直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比图 9 图 1BAP xCQOy第 26 题图1013 （成都市 2010 年）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交xOy2yaxbcx于 两点（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，若将经AB、 BCA(30)，过 两点的直线 沿 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的C、 ykxby对称轴是直线 2（1）求直线 及抛物线的函数表达式；（2）如果 P 是线段 上一点，设 、 的面积分别为 、 ，ACABPCABPSC且 ，求点 P 的坐标；:3ABCS（3）设 的半径为 l，圆心 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 与QQQ坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设 Q 的半径为 ，圆心 在抛物线上运动，则当 取何值时， Q 与两坐轴同时相切？r r五、探究型14 （内江市 2010）如图，抛物线 与 轴交于230ymxmx两点，与 轴交于 点 .AB、 yC（1）请求出抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示） ， 两点的坐标；MAB、（2）经探究可知， 与 的面积比不变，试求出这个比值； AB（3）是否存在使 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由. ABCEDx yo题 图26
