1、15 函数模型及其应用 知识梳理 1 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x) ax b(a， b 为常数 ， a 0) 二次函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数 ， a 0) 指数函数 f(x) bax c(a， b， c 为常数 ， a0 且 a 1， b 0) 对数函数 f(x) blogax c(a， b， c 为常数 ， a0 且 a 1， b 0) 幂函数 f(x) axn b(a， b， n 为常数 ， a 0， n 0) 2.三种函数模型性质比较 y ax(a1) y logax(a1) y xn(n0) 在 (0， )上的单调性 增函数
2、 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随着 x 的增大 ， 图象与 y 轴 接近平行 随着 x 的增大 ， 图象与 x 轴 接近平行 随 n值变化而各有不同 要点整合 ： 理解解决实际 应用问题的一般步骤 (1)审题 ：弄清题意 ， 分清条件和结论 ， 理顺数量关系 ， 初步选择数学模型； (2)建模 ：将自然语言转化为数学语言 ， 将文字语言转化为符号语言 ， 利用数学知识 ，建立相应的数学模型； (3)求模 ：求解数学模型 ， 得出数学结论； (4)还原 ：将数学问题还原为实 际问题 以上过程用框图表示如下： 题型 一 函数模型的选择 例 1.某研究所对人体
3、在成长过程中 ， 年龄与身高的关系进行研究 ， 根据统计 ， 某地区未成年人 ， 从 1 岁到 16 岁的年龄 x(岁 )与身高 y(米 )的散点图如图 ， 则该关系较适宜的函数模型为 ( ) A y ax b B y a logbx C y abx D y ax2 b 解析： 根据散点图可知 ， 较适宜的函数模型为 y a logbx， 故选 B. 答案 B 选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图； (2)将散点根据趋势 “ 连接 ” 起来 ， 得到大致走势图象； (3)根据图象与常见的基本函数 的图象进行联想对比 ，选择最佳函数模型 但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合
4、变式 1 某公司为确定下一年度投入 某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t)的影响根据近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i 1， 2， ，8)数据得到下面的散点图则下列哪个作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数模型最适合 ( ) A y ax b B y a b x C y abx D y ax2 bx c 解析： 选 B.根据散点图知 ， 选择 y a b x最适合 ， 故选 B. 变式 2 某地西红柿上市后 ， 通过市场调查 ， 得到西红柿种植成本 Q(单位：元 /100kg)与上市时间 t(单位：天 )的数据如下表： 时间 t 60
5、100 180 种植成本 Q 116 84 116 根据上表数据 ， 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时 间 t 的变化关系： Q at b， Q at2 bt c， Q abt， Q alogbt. 利用你选取的函数 ， 求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 _； (2)最低种植成本是 _元 /100kg. 解析： 随着时间的增加 ， 种植成本先减少后增加 ， 而且当 t 60和 t 180时种植成本相等 ， 再结合题中给出的四种函数关系可知 ， 种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数 Q at2 bt c，即 Q a(t 120)2 m 描述 ， 将表中数
6、据代入可得a（ 60 120） 2 m 116，a（ 100 120） 2 m 84， 解得 a 0.01，m 80， Q 0.01(t 120)2 80， 故当上市天数为 120时 ， 种植成本取到最低值 80元 /100kg. 答案： (1)120 (2)80 题型 二 函数模型的应用 例 2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y kx 120 (1 k2)x2(k0)表示的曲线上 ， 其中 k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 )， 其飞行高度为 3.2 千米 ， 试问它的横坐标 a 不超过多少时 ， 炮弹可以击中
7、它？请说明理由 解 (1)在 y kx 120(1 k2)x2(k0)中 ， 令 y 0， 得 kx 120 (1 k2)x2 0. 由实际意义和题设条件知 x0， k0.解以上关于 x 的方程得 x 20k1 k2 201k k 202 10， 当且仅当 k 1 时取等号 所以炮的最大射程是 10 千米 (2) a0， 炮弹可以击中目标 存在 k0， 使 ka 120(1 k2)a2 3.2 成立 关于 k的方程 a2k2 20ak a2 64 0有正根 ， 得 （ 20a） 2 4a2（ a2 64） 0，k1 k2 20aa2 0，k1k2 a2 64a2 0，解得 a 6. 所以当 a
8、 不超过 6 千米时 ， 炮弹可以击中它 已知函数模型求解实际问题的三个步骤 (1)根据已经给 出的实际问题的函数模型 ， 分清自变量与函数表达式的实际意义 ， 注意单位名称 ， 并注意相关量之间的关系 (2)根据实际问题的需求 ， 研究函数的单调性、最值等 ， 从而得出实际问题的变化趋势和最优问题 (3)最后回归问题的结论 变式 1 某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： )满足函数关系 y ekx b(e 2.718 为自然对数的底数 ， k， b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时 ， 在 22 的保鲜时间是 48 小时 ， 则该食品在 33 的保鲜时
9、间是 ( ) A 20 小时 B 22 小时 C 24 小时 D 26 小时 解析： 选 C.由已知条件 ， 得 192 eb， 所以 b ln 192.又因为 48 e22k b e22k ln 192 192e22k 192(e11k)2， 所以 e11k 4819212 1412 12.设该食品在 33 的保鲜时间是 t小时 ，则 t e33k ln 192 192e33k 192(e11k)3 192 123 24.故选 C. 变式 2 某公司研发甲、乙两种新产品 ， 根据市场调查预测 ， 甲产品的利润与投资金额 x(单位：万元 )满足： f(x) aln x bx 3(a， b R，
10、 a， b 为常数 )， 且曲线 y f(x)与直线 y kx 在点 (1， 3)处相切；乙产品的利润与投资金额的 算术平方根成正比，且其图象经过点 (4， 4) (1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投 资金额间的函数关系式； (2)已知该公司已筹集到 40 万元资金 ， 并将全部投入甲、乙两种产品的研发 ， 每种产品投资金额均不少于 10 万元问怎样分配这 40 万元 ， 才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ (参考数据： ln 10 2.303， ln 15 2.708， ln 20 2.996， ln 25 3.219， ln 30 3.401) 解： (1)函数 f(x)
11、的定义 域为 (0， )且 f(x) ax b， 因为点 (1， 3)在直线 y kx上 ， 故有 k 3， 又曲线 y f(x)与直线 y 3x 在 点 (1， 3)处相切 ， 故有 f （ 1） a b 3，f（ 1） b 3 3， 得 a 3，b 0. 则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为 f(x) 3ln x 3(x0) 由题意设乙产品的利润与投资金额间的关系式为： g(x) m x， 将点 (4， 4)代入上式 ， 可得 m 2， 所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为 g(x) 2 x(x0) (2)设甲 产品投资 x 万元 ， 则乙产品投资 (40 x)万元 ， 且 x 10
12、， 30， 则公司所得利润为 y 3ln x 3 2 40 x， 故有 y 3x 140 x， 令 y0， 解得 10 x2) (2)因为 x2， 所以 225x 3602x 2 225 3602 10 800. 所以 y 225x 3602x 360 10 440. 当且仅当 225x 3602x 时 ， 等号成立 即 当 x 24 时 ， 修建围墙的总费用最少 ， 最少总费用是 10 440 元 (1)通过阅读、理解 ， 明确问题讲的是什么 ， 熟悉实际背景 ， 为解题找出突破口 (2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言 ， 用数学式子表达数学关系 (3)在构建数学模型时 ， 对已知数
13、学知识进行检索 ， 从而认定或构建相关的数学模型 变式 1 某商场已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件 ， 根据市场预测 ， 售价为每件 100 元时可全部售完 ， 售价每提高 1 元销量就减少 5件 ， 若要获得最大利润 ， 售价应定为每件 _元 解析： 设售价提高 x 元 ， 获得的利润为 y 元 ， 则依题意得 y (1 000 5x) (20 x) 5x2 900x 20 000 5(x 90)2 60 500. 01 000 5x 1 000， 0 x200， 故当 x 90 时 ， ymax 60 500， 此时售价为每件 190 元 答案： 190 变式 2. 据气
14、象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正 南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示 ， 过线段 OC 上一点 T(t， 0)作横轴的垂线 l， 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km) (1)当 t 4 时 ， 求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向 ， 且距 M 地 650 km， 试判断这场台风是否会侵袭到 N城 ， 如果会 ， 在台风发生后多长时间它将侵袭到 N城？如果不会 ， 请说明理由 解： (1)由图象可知 ， 直线 OA 的方
15、程是 v 3t， 直线 BC的方程是 v 2t 70. 当 t 4 时 ， v 12， 所以 s 12 4 12 24. (2)当 0 t 10 时 ， s 12 t 3t 32t2； 当 10t 20 时 ， s 12 10 30 (t 10) 30 30t 150； 当 20t 35 时 ， s 150 300 12 (t 20) ( 2t 70 30) t2 70t 550. 综上可知 ， s随 t 变化的规律是 s32t2， t 0， 10，30t 150， t （ 10， 20， t2 70t 550， t （ 20， 35.(3)当 t 0， 10时 ， smax 32 102 150650， 当 t (10， 20时 ， smax 30 20 150 450650， 当 t (20， 35时 ， 令 t2 70t 550 650， 解得 t 30或 40(舍去 )， 即在台风发生30 h 后将侵 袭到 N 城
