1、第二课时教学目标 知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力重点难点 教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题教 学 过 程Error!提出问题 1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系(1)从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览；(2)从甲、乙
2、、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记活动设计：教师提问活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题1组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合与排列的区别和联系：(1)区别：排列有顺序，组合无顺序相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同(2)联系：都是从 n 个不同的元素中选出 m(mn)个元素；排列可以看成先组合再全排列设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况提出问题 2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习 1：求证：C C .(本式
3、也可变形为：mC nC )mnnmm 1n mn m 1n练习 2：计算：C 和 C ；C C 与 C ；C C .310 710 37 26 36 411 511活动设计：学生板演活动成果：练习 2 答案：120,120 20,20 792.1组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 C 表示mn2组合数的公式：C mnAmnAm n(n 1)(n 2)(n m 1)m！或 C (n，m N，且 mn)mnn！m！ (n m)！设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础Error!提出问题
4、1：由问题 2 练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充活动成果：1性质：(1)C C ；(2)C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n2证明：(1)C ，n mnn！(n m)！ n (n m)！ n！m！ (n m)！又 C ， C C .mnn！m！ (n m)！ mn n mn(2)C C mn m 1nn！m！ (n m)！ n！(m 1)！ n (m 1)！ n！ (n m 1) n！ mm！ (n m 1)！ C ，(n m 1 m)n！m！ (n m 1)！ (n 1)！m！ (n m 1)！ m
5、n 1C C C .mn 1 mn m 1n设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质Error!类型一：组合数的性质1(1)计算：C C C C ；37 47 58 69(2)求证：C C 2C C .nm 2 nm n 1m n 2m(1)解：原式C C C C C C C 210；48 58 69 59 69 610 410(2)证明：右边(C C )(C C )C C C 左边nm n 1m n 1m n 2m nm 1 n 1m nm 2【巩固练习】求证：C 2C 3C nC n2 n1 .1n 2n 3n n证明：左边C 2C 3C nC C C C C C C C C ，1n
6、2n 3n n 1 1n 12 2n 13 3n 1n n其中 C C 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选一个的组合数设某班有1i inn 个同学，选出若干人(至少 1 人) 组成兴趣小组，并指定一人为组长把这种选法按取到的人数 i 分类(i1,2，n)，则选法总数即为原式左边现换一种选法，先选组长，有 n 种选法，再决定剩下的 n1 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有 2n1 种，所以选法总数为 n2n1 种显然，两种选法是一致的，故左边右边，等式成立【变练演编】求证：C 2 2C 3 2C n 2C n(n 1)2 n2 .1n 2n 3n n证明：由于
7、i2C C C C 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选两个(可in 1i 1i in重复) 的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长( 可兼职) 的组合数对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况若组长和副组长是同一个人，则有 n2n1 种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有 n(n 1)2n2 种选法共有 n2n1 n(n1)2 n2 n(n1)2 n2 种选法显然，两种选法是一致的，故左边右边，等式成立类型二：有约束条件的组合问题2 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出
8、3 件(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有C 161 700 种31001009998123(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽12法有 C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有298C C 9 506 种12 298(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况
9、在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 C C 种，因此根据分类12 298加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有C C C C 9 604 种12 298 2 198解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即C C 161 700152 0969 604 种3100 398点评：“至少”“至多” 的问题，通常用分类法或间接法求解【巩固练习】14 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有
10、三种情形：3 男，2 男 1 女， 1 男 2 女，分别有C ，C C ，C C 种方法，34 24 16 14 26所以，一共有 C C C C C 100 种方法34 24 16 14 26解法二：(间接法)C C 100.310 362按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多 2 人当选；(6)甲、乙、丙三人至少 1 人当选；解：(1)C C 36；(2)C C 126；(3)C C 126；(4)C C 378；3 2
11、9 03 59 1 49 13 49(5)方法一：(直接法 )C C C C C C 756，03 59 13 49 23 39方法二：(间接法)C C C 756；512 3 29(6)方法一：(直接法 )C C C C C C 666，13 49 23 39 3 29方法二：(间接法)C C C 666.512 03 59【变练演编】有翻译人员 11 名，其中 5 名精通英语、4 名精通法语，还有 2 名英、法语皆通现欲从中选出 8 名，其中 4 名译英语，另外 4 名译法语，一共可列多少张不同的名单？解：分三类：第一类：2 名英、法语皆通的均不选，有 C C 5 种；45 4第二类：2
12、名英、法语皆通的选一名，有 C C C C C C 60 种；12 35 4 12 45 34第三类：2 名英、法语皆通的均选，有 A C C C C C C 120 种2 35 34 25 4 45 24根据分类加法计数原理，共有 560120185 种不同的名单【达标检测】1计算：(1)C C ；(2)2C C C .399 299 38 39 282从 6 位同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为_3从 7 人中选出 3 人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有_种答案：1.(1)161 700 (2)56 2.9 3.30Erro
13、r!1知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题2方法收获：化归的思想方法3思维收获：化归的思想方法Error!【基础练习】1求证：(1)C C C C ；(2)C C 2C C .mn 1 m 1n mn 1 m 1n m 1n m 1n mn m 1n 22某城新建的一条道路上有 12 只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有_3100 件产品中有合格品 90 件，次品 10 件，现从中抽取 4 件检查(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有 1 件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有
14、多少种？4从编号为 1,2,3，10,11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？答案或解答：2.C 56；383解：(1)C 2 555 190；490(2)C C C C C C C C C 1 366 035；4100 490 10 390 210 290 310 190 410(3)C C C C C C C C C 3 921 015.4100 410 190 310 290 210 390 10 4904解：分为三类：1 奇 4 偶有 C C ；3 奇 2 偶有 C C ；5 奇有 C ，所以一共有 C C16 45 36
15、25 56 16C C C 236 种不同的取法45 36 25 56【拓展练习】现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工作；有 4 名能胜任德语翻译工作(其中有1 名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务，其中 3 名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有 C C ；24 23让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有 C C ；34 13让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 C C .34 23所以一共有 C C C C C C 42 种方法24 23 34
16、13 34 23设 计 说 明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结备 课 资 料相同元素分组分配问题解决方法：档板法(1)参加联赛的 10 个名额要分配到高三年级的 8 个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有_种；(2)10 个相同的小球全部放入编号为 1、2、3 的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有_种解析：利用档板法(1)相
17、当于在排成一排的 10 个“1”所形成的 9 个空隙中，选出 7 个插入 7 块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有 C 种方法；79(2)可以首先在 2、3 号盒子中先分别放入 1、2 个球，然后在剩余的 7 个球排成一排形成的 6 个空隙中选出 2 个空隙各插入一块板，有 C 种方法26注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程 x1x 2x mn(m，nN，m，n2)的自然数解有 C 组m 1n m 1简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换 yix i1(i 1,2，m)，则方程 x1x 2x mn 的自然数解的组数，即 y1y 2y mnm 的正整数解的组数，相当于把 nm 个球分成 m 份，每份至少 1 个的方法数，即在 nm1 个球的间隙中放置 m1 个档板的方法种数，即 C .m 1n m 1(设计者：殷贺)
