1、1第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记 9 个合格品分别为 ，记不合格为次，则921,正正正 ，)()(93121 次正正正正正正正 ，)()()() 292423 次正正正正正正正 343 次正正正正正 9898次正次正正正A)次正 次正 次正(2)记 2 个白球分别为 ， ，3 个黑球分别为 ， ， ，4 个红球分别为 ， ， ， 。则121b231r234r ，
2、， ， ， ， ， ， ， () ， () ， ， ， 11b2r4rA12B1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述 的意义。(2)在什么条件下 成立？(3)什么时候关系式CBCA是正确的？(4) 什么时候 成立？BA解 (1)事件 表示该是三年级男生，但不是运动员。(2) 等价于 ，表示全系运动员都有是三年级的男生。ABC(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了 个零件，以事件 表示他生产的第 个零件是合格品（ ）
3、。用 表示下列事件：niAi ni1iA(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;niA1nii1niij1)(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为 ；njijiA1,1.4 证明下列各式：(1) ;(2) (3) ;(4)ABABC)()(BCA)()(B(5) (6) C)()()(nii1证明 （1）（4）显然， （5）和（6）的证法分别类似于课文第 1012 页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13
4、 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个，或为728A2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件 “所得分数为既约分数”包含A个样本点。于是 。632153A 14978632)(P1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。2解 样本点总数为 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多1035或 5、7、9。所以事件 “所取三条线段
5、能构成一个三角形”包含 3 个样本点，于是 。A 10)(AP1.7 一个小孩用 13 个字母 作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的TNMIHECA,（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为 ，事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 个样本点。所以!13 !23!13482!)(AP1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列8910的 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求概率为 789
6、7)(AP1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为 。事件 “没79A有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯” 。所以包含 个样9本点，于是 。79)(AP1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？
7、解 用 表示“牌照号码中有数字 8”，显然 ，所以A 44109)(AP-1)(P4410910)(A1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1；解 (1) 答案为 。(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为5 5204(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含 个样本点。用事件2表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 ，则该数A a的立方的最后两位数字为
8、1 和 3 的个位数，要使 3 的个位数是 1，必须 ，因此 所包含的样本点只有 71aa7aA这一点，于是（）1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到 根草的情形。n2解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 种接法，同样对尾也有 种接法，所以样本点13 135总数为 。用 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 种连接法
9、，而对尾而言，2)15(A 3任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为 。所以 包含的样本点数为 ，于是2A)4(135(2) 根草的情形和(1)类似得158)35(24)APn21.13 把 个完全相同的球随机地放入 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是nN哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的） 。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 个球的概率为 ， (2)恰好有 个盒的概率为 ，knNk12nk0mnNm11Nn(3)指定
10、的 个盒中正好有 个球的概率为 ， 解 略。mj nNjj1.0,j1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。 解 所求概率为 53)(AP1.15 在 中任取一点 ，证明 的面积之比大于 的概率为 。ABCBC与 n12解 截取 ，当且仅当点 落入 之内时 的面积之比大于 ，因此所求Dn1 ABCP与 n1概率为 。2)(CABP的 面 积有 面 积 21Dn1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的
11、概率。解 分别用 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当yx,。因此所求概率为10,20xyx 12.02431)( AP1.17 在线段 上任取三点 ，求：(1) 位于 之间的概率。(2) 能构成一个三角形的概率。AB32,2x31与 3,Ax解 (1) (2) 1)(P)(B1.18 在平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为 （均小d cba,于 ） ，求三角形与平行线相交的概率。d解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显321,A然 所求概率为 。分别用 表示边 ，二边 与平行
12、线.0)(1PA)(3PbcacbaAA, c,bca,相交，则 显然 ， ，3.bcab)(P)(cabAP)(c4。所以 )(bcacAP21)(3)(aAP)(bcAP)(2cbad)(1cbad（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件 “该点命中 的中AB点”的概率等于零，但 不是不可能事件。A1.20 甲、乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，ab直到两人中有一人取到白球时停止。
13、试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白， ，123白黑黑表 示 个 bb1则样本空间 ， ， ，并且 ，121baP)(， ，)(2abP 2)(3 a)1()2(1 ibibi abaPb)1)(!)(1甲取胜的概率为 + + + 乙取胜的概率为 + + +)()(3P5 246P1.21 设事件 及 的概率分别为 、 及 ，求 ， ， ，BA,pqr)(AB)()(BA)(解 由 得 )()()( ABP rqpPP，rP pr)(BA1)(1)()(1.22 设 、 为两个随机事件，证明： (1) ;12 )()(1)( 2122
14、APAP(2) .)()( 2121APP证明 (1) =21AA)(2 )(211(2) 由(1)和 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。0)(1.23 对于任意的随机事件 、 、 ，证明：BC)()(APBCAP证明 )()()()(APAP1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正
15、好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件 表示订甲报，事件 表示订乙报，事件 表示订丙报。ABC(1) = =30% (2) )()(APCB)(ABP %7)()(ABCPAB5(3) %23)()()()( ABCPABPCABP0(+ + = + + =73%()()()(4) (5) ABCAP 14ABCPP %90)(CBAP(6) %109)(1)( 1.26 某班有 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考n没有被抽到的概率是多少？解 用 表示“第 张考签没有被抽到” ， 。要求 。iAi i,21)(
16、1NiAP， ，niNP1)( njiNP2)( 0)(1nNAPiiA1 n)1(， 所以nNiji NP2)(1 nN2)(12 nNiii iAP11)()(1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？n解 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 ，当且仅当 的排列niia21 n,2中存在 使 时这一项包含主对角线元素。用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元)(21ni kikAk素出现于展开式的某项中。则，niAPi 1!)()( )1(!)2)( njinPji 所以 !)()(111 iiiniNi 1.29 已知一个家庭中有三
17、个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的） 。解 用 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：gb, ),(,),(,),(,)( gbgbgb其中样本点依年龄大小的性别排列。 表示“有女孩” ， 表示“有男孩” ，则 AB 768/)(|(APB1.30 设 件产品中有 件是不合格品，从中任取两件，Mm(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品” ， 表示“所取产品都是不合格品” ，则 A B621)(M
18、mAP2)(MmBP)()(|(APBABP12mM(2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品” ， 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品” 。则CD21)( 21)( )()()|(CDC11.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：n(1)已知前 个人都没摸到，求第 个人摸到的概率； (2)第 个人摸到的概率。1k)(nkk)(n解 设 表示“第 个人摸到” ， 。 (1) iAi ni,21 1)(1|(1kAPkk(2) )(kP)(1kA n11.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ，证明：一个母)0(!ek p鸡恰有 个下
19、一代（即小鸡）的概率为 。r pr!)(解 用 表示“母鸡生 个蛋” ， 表示“母鸡恰有 个下一代” ，则kAkBr)|()(krkkAPBP rkrrkpe)1(!rkrkrpp)!(1! )1(!prepre!1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7 、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用 表示“任选一名射手为 级” ， ， 表示“任选一名射手能进入决赛” ，则kAk4,321kB)|()(41kkkBPBP 6
20、5.05.027.89.0241.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产” 表示“任取一只产品是乙台机器生产” 1A2A表示“任取一只产品是丙台机器生产” 表示“任取一只产品恰是不合格品” 。 则由贝叶斯公式：3 B76925)|()|(3111kkABPAP 6928)|()|(3122kkABP691)|()|(313kkABPP1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、
21、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则 ， ， ， ， ，159)(153)(252)(315)(4 7)|(1A72)|(， 由贝时叶斯公式得 73|ABP7|4ABP 9)|()|411kkBPP1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 、 、 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概4132率是多少？解 用 表示“朋友乘火车来” ， 表示“朋友乘轮船来” ，
22、表示“朋友乘汽车来” ， 表示“朋友乘飞机1A2A3A4A来” ， 表示“朋友迟到了” 。 则 B 21)|()|(411kkBPP1.37 证明：若三个事件 、 、 独立，则 、 及 都与 独立。BCC证明 （1） =)()()()( ACAP)(（2） ) PABC（3） =)()( BB )(P1.38 试举例说明由 不能推出 一定成立。CAPBA解 设 ， ， ，,54321641)(6418)(5， ， ， 则 )(2P)( ,21A,31,41， 641)CBA )()()()( CPBAPBC但是 )()(1PA1.39 设 为 个相互独立的事件，且 ，求下列事件的概率：n,21
23、 )1()(nkpAk(1) 个事件全不发生；(2) 个事件中至少发生一件；(3) 个事件中恰好发生一件。n解 (1) (2) nkkkk pAPn111 )()()( nkknknk pAP111 )()()(3) . 111 nkjjnkjkjknkkjj pP1.40 已知事件 相互独立且互不相容，求 （注： 表示 中小的一个数） 。BA, )(,miBPA),min(yx,8解 一方面 ，另一方面 ，即 中至少有一个等于 0，所以0)(,BPA0)()(ABP)(,BP.)(,minP1.41 一个人的血型为 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，
24、求下列事O,件的概率 。(1)两个人为 型，其它三个人分别为其它三种血型；(2) 三个人为 型，两个人为 型；(3)没有一人为 。OAAB解 (1)从 5 个人任选 2 人为 型，共有 种可能，在其余 3 人中任选一人为 型，共有三种可能，在余下25的 2 人中任选一人为 型，共有 2 种可能，另一人为 型，顺此所求概率为：BAB(2) (3) 0168.3.104.6.0352 157.04.6.032 857.0)3.(1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门
25、高射炮。解 用 表示“第 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机” ， ， 表示“击中飞机” 。则 ，kA ,21kB6.0)(kAP。 (1) ,21 84.0.1)(1)( 2221 APP(2) , 9.4.0(11 nnkn 026.5lg取 。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中飞机。n1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为 ，求在成功 次之前已失败了 次的概率。pnm解 用 表示“在成功 次之前已失败了 次” ， 表示“在前 次试验中失败了 次” ， 表示AmB1C“第 次试验成功” 则 m ppnCPBAP mn )1()()()mnp)1(1
26、.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用n完一盒时另一盒中还有 根火柴（ ）的概率。rr1解 用 表示“ 甲盒中尚余 根火柴” ， 用 表示“乙盒中尚余 根火柴” ， 分别表示“第 次在iAijBjDC, rn2甲盒取” ， “第 次在乙盒取” ， 表示取了 次火柴，且第 次是从甲盒中取的，即在前rn2CAr0rn2rn2在甲盒中取了 ，其余在乙盒中取。所以 1r1 211)(0 rnrAP由对称性知 ，所求概率为：)()(00DBAPCrr)(00DBCrr 10)(2rnrrCAP第二章 离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随
27、机变量的分布列？9(1) (2) (3) (4)2.035.11.07.32 n312132 2211n解 （1）是 （2） ，所以它不是随机变量的分布列。（3） ,所以它不是随机变量的分布列。4321n（4） 为自然数，且 ，所以它是随机变量的分布列。,02n 11n2.2 设随机变量 的分布列为： ，求(1) ; 5,432,5)(kP )21(或P(2) ) ； (3) 。251(P解 (1) ; (2) ;12或 5)()()2(3) .)1(5)()(P2.3 解 设随机变量 的分布列为 。求 的值。3,1iCi C解 ，所以 。132C38272.4 随机变量 只取正整数 ，且 与
28、 成反比，求 的分布列。N)(P2N解 根据题意知 ，其中常数 待定。由于 ，所以 ，即 的分布列为2)(C 16212C26， 取正整数。26)(NP2.5 一个口袋中装有 个白球、 个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取mn出了 个白球，求 的分布列。解 设“ ”表示前 次取出白球，第 次取出黑球，则 的分布列为：k1k.,0,)(1)()( mnP 2.6 设某批电子管的合格品率为 ，不合格品率为 ，现在对该批电子管进行测试，设第 次为首次测到合434格品，求 的分布列。 解 .,21,)(1kkPk2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、
29、5，从中同时取出 3 只球，以 表示取出球的取大号码，10求 的分布列。 解 .5,43,521)(kkP2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 ，设 为一直掷到正、反面都出现时所需要的p)10(次数，求 的分布列。 解 ，其中 。 ,32,)(11kqkPk pq12.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设 ， 表示第二名队员的投篮次数，则+ ；4.06.)(1kkP6.01k ,21,4.7k。02.10 设随机变量 服从普哇松分布，且 ，求 。)1(P)()4(P解 。由于
30、 得 （不合要求） 。所以,20)(!)(kekP,2e,210。2243!)(2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。解 设 为该种商品当月销售数， 为该种商品每月进货数，则 。查普哇松分布的数值表，得 。x 9.0)(xP 16x2.12 如果在时间 （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与 成正比的普哇松分布。已知在一分钟t t内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设 为时间 内通过交叉路口的汽车数，则 t ,210),(!)( kektt时， ，所以 ； 时， ，因而1t 2.0)(eP5ln2t5lnt。)()1(P83.0/)4(2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个） 。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率 ，因而，至少出现三个错误的概率为501pkkk 50503491 kk5020491利用普哇松定理求近似值，取 ，于是上式右端等于 15np 0831.251!120ek
