1、专题提升 (九 ) 以全等为背景的计算与证明 【经典母题】 如图 Z9 1， 在 ABC中 ， AB AC， AD是 BC边上的中线求证： AD BC(填空 ) 证明：在 ABD和 ACD中 ， BD CD（ 中线的定义 ） ，AB AC （已知） ，AD AD （公共边） ， _ ABD_ _ ACD_(SSS)， ADB _ ADC_(全等三角形的对应角相等 ) ADB 12 BDC 90 (平角的定义 )， AD BC(垂直的定义 ) 【思想方法】 (1)证明两角相等 ， 可证它们所在的两个三角形全等； (2)由平行线可得同位角或者内错角相等； (3)要完成一般三角形全等的证明 ， 必须
2、以SAS， ASA， AAS， SSS作为依据 【中考变形】 1 2017宜宾 如图 Z9 2， 已知点 B， E， C， F在同一条直线上 ， 图 Z9 2 AB DE， A D， AC DF.求证： BE CF. 证明： AC DF， ACB F.在 ABC和 DEF中 ， A D， ACB F，AB DE， ABC DEF(AAS)， BC EF， BC EC EF EC， 即 BE CF. 2 2017南充 如图 Z9 3， DE AB， CF AB， 垂足分别是 E， F， DE CF，AE BF.求证： AC BD. 图 Z9 1 图 Z9 3 证明： AE BF， AE EF B
3、F EF， 即 AF BE. DE AB， CF AB， AFC BED 90 . 在 AFC和 BED中 ， AF BE， AFC BED，CF DE， AFC BED(SAS)， A B， AC BD. 3 2016南充 已知 ABN和 ACM位置如图 Z9 4所示 ， AB AC， AD AE， 1 2.求证： 图 Z9 4 (1)BD CE； (2) M N. 证明： (1)在 ABD和 ACE中 ，AB AC， 1 2，AD AE， ABD ACE(SAS)， BD CE； (2) 1 2， 1 DAE 2 DAE， 即 BAN CAM， 由 (1)得 ABD ACE， B C， 在
4、 ACM和 ABN中 ， C B，AC AB， CAM BAN， ACM ABN(ASA)， M N. 4 2016孝感 如图 Z9 5， BD AC于点 D， CE AB于点 E， AD AE.求证：BE CD. 图 Z9 5 证明： BD AC于点 D， CE AB于点 E， ADB AEC 90 ， 在 ADB和 AEC中 ， ADB AEC，AD AE， A A， ADB AEC(ASA)， AB AC， 又 AD AE， AB AE AC AD， BE CD. 5 如图 Z9 6， 在 ABC 中 ， C 90， AD平分 CAB， 交 CB于点 D， 过点 D作 DE AB于点 E
5、. (1)求证： ACD AED； (2)若 B 30， CD 1， 求 BD的长 图 Z9 6 解： (1)证明： AD平分 CAB， CAD EAD. DE AB， C 90 ， C AED 90 . 又 AD AD， ACD AED(AAS)； (2) ACD AED， DE CD 1. B 30 ， DEB 90 ， BD 2DE 2. 6 如图 Z9 7， 在 ABC与 DCB中 ， AC与 BD交于点 E， 且 A D， AB DC. (1)求证： ABE DCE； (2)当 AEB 50 时 ， 求 EBC的度数 图 Z9 7 解： (1)证明： 在 ABE和 DCE中 ， A
6、D， AEB DEC，AB DC， ABE DCE(AAS)； (2) ABE DCE， BE CE， EBC ECB. EBC ECB AEB 50 ， EBC 25 . 7 2017齐齐哈尔 如图 Z9 8， 在 ABC 中 ， AD BC 于 D， BD AD， DGDC， E， F分别是 BG， AC的中点 图 Z9 8 (1)求证： DE DF， DE DF； (2)连结 EF， 若 AC 10， 求 EF的长 解： (1)证明： AD BC， ADB ADC 90 ， 在 BDG和 ADC中 ，BD AD， BDG ADC，DG DC， BDG ADC(SAS)， BG AC， B
7、GD C， ADB ADC 90 ， E， F分别是 BG， AC的中点 ， DE 12BG EG， DF 12AC AF， DE DF， EDG EGD， FDA FAD， EDG FDA 90 ， DE DF； (2) AC 10， DE DF 5， 由勾股定 理 ，得 EF DE2 DF2 5 2. 8 我们把两组邻边相等的四边形叫做 “ 筝形 ” 如图 Z9 9， 四边形 ABCD是一个筝形 ， 其中 AB CB， AD CD.对角线 AC， BD相交于点 O， OE AB，OF CB， 垂足分别是 E， F.求证： OE OF. 图 Z9 9 证明： 在 ABD和 CBD中 ， AB
8、 CB，AD CD，BD BD， ABD CBD(SSS)， ABD CBD， BD平分 ABC. 又 OE AB， OF CB， OE OF. 【中考预测】 如图 Z9 10， 在 ABC中 ， AB CB， ABC 90， F为 AB延长线上一点 ，点 E在 BC上 ， 且 AE CF. 图 Z9 10 (1)求证： Rt ABE Rt CBF； (2)若 CAE 30， 求 ACF的度数 解： (1)证明： ABC 90 ， CBF ABE 90 . 在 Rt ABE和 Rt CBF中 ， AE CF，AB CB， Rt ABE Rt CBF(HL)； (2) AB BC， ABC 90 ， CAB ACB 45 ， BAE CAB CAE 45 30 15 . 由 (1)知 Rt ABE Rt CBF， BCF BAE 15 ， ACF BCF ACB 15 45 60 .
