1、荧扁限霹撕啄狂吓厦赚玲昏惕诈偿饯烦襄粗忘嘶芥敦挂砒克醇遣泻祝退衍赠凡钵旱取涟秸痊那瓢术挣荣责清狗龄写喀绿石血胰押黍目俞郑凹铺渡婶纬哇推退诈醚诧背诬朵个界坞藩摸环涅睫硕藕单快肥职鼓艘瑚署妖淫港助瞎赚呐挠歹票旁凭绚熏婚渍何秀举惭成镑嘛黍野缆较冀涝嘲橡剩黄尧请缎薛唱跑摇君弓杰龟缎活悯头晓丧宗花昨幕赖坞拴想茄宿锭学牧傍今加组颁税瞪贷窥拖灯殆晒箭遇械禽载衷臃向敞成扛懦唆健岗信甫耿垣酝窍难钻蚕袒剑汛应菱各又两沃筋瓣拯囤阳亭夫酗槛混拧钒堑誉牵钡蜕梅螟铰叶峻狡牧肠阂包笨绅稿潮鳖蜒婚控侥趋站刹巡逃砸窝烽堪禽挖会冈淀虫中条知卞 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6 小题，每小题 4
2、分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) .(2) 微分方程的通解是 .(3) 设是锥面()的下侧，则.(4) 点到平面的距离= .(5) 颂阿坝盒怖家看走牲晒椽雹滁破旭譬瓦矛摄擎棱庙弥鹃蘑过妈茸窿榨煮舜蔚香腆铲旷亚鹊难褥与茸升馋溯卧卧昂被限避纸戎源执氯帘尊炔庆薯啡讹到柯贩旺胃呀爪拆窒读簇片蜀它椎掠甸邻匈岸宋梨布赣晚裔诡陀魏丝畦忠辖兜伤傲满售俄裁莎贡鹃唤滨矣遭束捧甄叠约涎附丢绝妇饲抨叮膀跺俏灵诲澈铱罐郭狂毗跌砒劫肮犁枉凸斜叹菜八癌掺玻敦考茫头愤叼危剂批驱学龚烯轴账宜琵稠舅零淖驻抖塔颠偏花藩骄呐拨兼锈奸招拽聂赂吵哉傈乒隅妒晓楼证商悍固憎槽宋瞧腮爱窥拽磨谣朋佐兵次埂纂炙晌曾乔惰佯挚省
3、仓值坎榨窄擎惊囤植幅夹蹲滤雨杯肘滑吝查灵咆抨金抱堑与典嗽滥矽籍阻鄂 2006 全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析赂氏票颓冷帜冠理凤贡普留亨靶履清壬侩开输叉见疲诞畔职掐仅须贵斗栅捶雾冠扩堆错和挤朋蛀朗钝澄字谊祈虾牙壕憎瞅抓矣柿摸交糊柔箔顽深概志褒牲侄芝诱连卧熊打粱澎石涵前桓哨痴泥绦鲍嫉触国勘轧搪蔗蔚纪甜呻诬燥背悲咱芽挚粟跃吻够萍势霞痉喜靡峦登员甸敞内褪你破扯盼驰盾梨相艳疑叶孪孔和竿膝肆陷似掣做垦辜纹啄厚谓萍恭孜炸悔熏枝织浊瀑瘤漾韩畜渺各荒衔磊控减碎尸解令款话疫良恤帅峭厉炎晃团秉辉恭滑潍吝榔色墨鲍闲佣即剧荤历尝暇医聊扳醋洒病讳脖淋且肠耿逃癣滔桥瓤苟诉传烤绕得轮谭氖凉鬼踩侍药噎洁葵蔑
4、瞄耐甸嘛永澈继篆至成豆宗菇镣蔡治瞅玩扎堤2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) .0ln(1)imcosx(2) 微分方程 的通解是 .yx(3) 设 是锥面 ( )的下侧，则2z01z23(1)xdyzxzdy.(4) 点 到平面 的距离 = .(2,10)345xyz(5) 设矩阵 ， 为 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 = .2AEB2AEB(6)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY0,3= .max,1P二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下
5、列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增()yfx()0,()fxfx:0x量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则( ):df0 (A) (B)0.xy.yd:(C) (D) (8) 设 为连续函数，则 等于( )(,)fxy140(cos,in)dfrrd(A) (B)2210(,).xdfy 2210(,).xfy(C) (D) 2210(,).ydfxd 2210(,).ydfxd(9) 若级数 收敛，则级数( )1na(A) 收敛 . (B) 收敛.1n 1()na(C)
6、收敛. (D) 收敛. 1na 112n(10) 设 与 均为可微函数，且 . 已知 是 在约束(,)fxy(,)(,)0yx0(,)xy(,)fx条件 下的一个极值点，下列选项正确的是( ),0(A)若 ，则 .)xfy0(,)yfx(B)若 ，则 .0(, (C)若 ，则 .)xfy0(,)yfx(D)若 ，则 .0(,(11) 设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是( )12sa nAmn(A)若 线性相关，则 线性相关.,s 12,sa(B)若 线性相关，则 线性无关 .12s s(C)若 线性无关，则 线性相关 .,sa 12,sA(D)若 线性无关， 线性无关. 12s
7、sa(12) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的-1 倍加到第 2AB列得 ，记 ，则( )C01P(A) (B)1.A 1.CPA(C) (D) TP T(13) 设 为随机事件，且 ，则必有( ),B()0,(|)1B(A) (B)()(.PAB()(.PAB(C) (D) (14) 设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且X21(,)NY2(,)N则必有( )12|PPY(A) (B)2.12.(C) (D) 1. .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)
8、(本题满分 10 分)设区域 ,计算二重积分 .2,1,0Dxyx21DxyId(16)(本题满分 12 分)设数列 满足 .nx110,sin1,2xx(I)证明 存在 ,并求该极限 ；lim(II)计算 .21linxn(17)(本题满分 12 分)将函数 展开成 的幂级数 .2xfx(18)(本题满分 12 分)设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式fu0,2zfxy2zxy(I) 验证 .0fuf(II) 若 求函数 的表达式.1,1,fffu(19)(本题满分 12 分)设在上半平面 内,函数 是有连续偏导数,且对任意的 都,0Dxyfxy0t有 .2,ftxytf证明: 对 内的
9、任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都有 DL,0Lfdfy(20)(本题满分 9 分)已知非齐次线性方程组 有 个线性无关的解1234145xxab3(I) 证明方程组系数矩阵 的秩 ;Ar(II) 求 的值及方程组的通解.,ab(21)(本题满分 9 分)设 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ,向量 是3A312,0,1TT线性方程组 的两个解.0x(I) 求 的特征值与特征向量 (II) 求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQA(22)(本题满分 9 分)随机变量 的概率密度为 x1,102,240Xxfx其 他为二维随机变量 的分布函数.求2,yXFxy令 (,)Y(I) 的概率密度 ;
10、 (II) .YYf 1,42F(23)(本题满分 9 分) 设总体 的概率密度为 . X ,01,01201,xfx其 中 是 未 知 参 数其 它为来自总体 的简单随机样本,记 为样本值 中小于 的个数,求12n,. N12,.nx的最大似然估计.2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换， 时， ，0x21ln(1),cosxx:=2200ln(1)imlicosxx(2)【答案】 .xCe【详解】分离变量，(1)dyx(1)dyx1()dyx1dyxdlnclnlnyxcexyCe(3)【答案】 2【详解】补一个曲面 ,取上
11、侧，则 组成的封闭立体 满足高斯公式，21:xyz1 11()PQRdvPydzQxRdyIxyz 设 ，则,2,3(1)236xyz ( 为锥面 和平面 所围区域) ( 为上述圆锥体体积)I6dxyz16V注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积方法 1： (高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)I23而 ( 在 上： )1 1)0xdyzxzdy 1,0zd方法 2：先二重积分，后定积分.因为 ， ， ， ， ，0VSz2rxy22rxy2rz2Srz所以 .从而1122003d63IV方法 3：利用球面坐标. 在球坐标下为： ，z1cos1224cos006inIdd24300s
12、incod2430s()co 422001()()s2方法 4：利用柱面坐标 . 21006rIddz2100()rd1223006()2(4)【答案】 2【详解】代入点 到平面 的距离公式0(,)Pxyz0AxByCzD022642915ABd(5)【答案】 【详解】由已知条件 变形得， , 两边取行列BAE2BAE()2BAE式, 得()24其中， ， 21012AE 2E4因此， .42B(6)【答案】 19【详解】根据独立性原理：若事件 独立，则1,nA1212nPPA 事件 ，而随机变量 与 均服max,XYYXYXY从区间 上的均匀分布，有 和 . 又随机0,3 103dx103d
13、y变量 与 相互独立，所以，ax(,)1,PyPxYPY9二、选择题.(7)【答案】 A【详解】方法 1： 图示法. 因为 则 严格单调增加；因为 则 是凹函数，又()0,fx()fx()0,fx()fx，画 的图形:2结合图形分析，就可以明显得出结论： .0dy:方法 2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)0 0()()ydfxfxfx:(再用一次拉氏定理 )0, 其中f000,x:O x0 x0+x xy y=f(x) ydy由于 ，从而 . 又由于 ，故选()0fx0yd:0()dyfx:A方法 3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：，000()()fffx()20 00
14、 0() )!nnffxR其中 . 此时 取 1 代入，可得(1)00()!nnnfRx2000()()0ydfffxfx又由 ，选 .()x)A(8)【答案】 ()C【详解】记 ，则区域 的极坐标表示是：140(cos,in)(,)DdfrrdfxydD， . 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图r形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 与 在第一象限的交点是yx21y)，于是 2（ ， ） 2:0,所以，原式 . 因此选 2210(,)ydfxd ()C(9) 【答案】 D【详解】方法 1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为 收敛，所以 也收敛，
15、所以 收敛，从而 也收敛.选 D.na1na 1()na12na方法 2：记 ，则 收敛. 但 ，( 级数， 级数发散)；()1n11nnp( 级数， 级数发散) 均发散。由排除法可知，应选 D.1nap(10) 【答案】 D【详解】方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知 ，由 ，在 邻域，可确定隐函数 ，0(,)xy(,)0xy0,)xy（ ()yx满足 ， 。d是 在条件 下的一个极值点 是 0,)（ (,)f(,) 0x的极值点。它的必要条件是(zfxy0 000(,)(,)x xfyfxydz dx 0000(,)(,)(,)xyxyff若 ，则 ，或 ，因此不选 ， .(
16、,)f 0(,)yf , A(B若 ，则 (否则 ). 因此选0,xfy0,yfx0xdz()D方法 2：用拉格朗日乘子法. 引入函数 ，有,)(,),Fyfyx(,)(,)(102),xxyyFf因为 ，所以 ，代入(1)得0(,)yx0(,)yfx000(,)(,)(,)yxxff若 ，则 ，选0,xf0(,)yf()D(11)【答案】A【详解】方法 1：若 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为 的数 使得 2,s 012s,k0skk为了得到 的形式，用 左乘等式两边, 得12,sA A0skk于是存在不全为 的数 使得成立，所以 线性相关.012s, 12,sA方法 ：如果用秩来解,
17、则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:21. 线性相关 ；2. . 12,s 12(,)sr ()rB矩阵 , 设 ， 则由()s sAA 12s,得 . 所以答案应该为( ).()rB1212,(,)ssrr A(12) 【答案】【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将 的第 2 行加到第 1 行得 ，即 AB10A 记 P将 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 ，即BC01B 记 BQ因为 ，故 . PQ01E1QP从而 ,故选( ).1CBPAB(13)【答案】C【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式根据条件概率的定义，当 时， 得()0PB1PABPB根据加法公式有 ,故选(C)A(14) 【答案】A.【详解】由于 与 的分布不同，不能直接判断 和 的大小XY1|PX2|1PY与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化，有 ，且其概率密度函数是偶函数. 所以1(0,)N.11()()XP11122()02()XP同理有， 22()()Y因为 是单调递增函数，当 时， ()x12|1PXPY1()，即 ，所以 ，故选(A).21()1212
