1、试 卷 一一（33%）填空题（ 表示单位矩阵）：E1 设 ， ，则 -1 ； ；),(2),(1T9)(T2 设矩阵 ， ，则行列式 -1/70 ；03A765432B1AB3 若向量组 ，则当参数 =0 时，1132k, k线性相关；321,4 矩阵 的伴随矩阵 = ；dcbaA*Adbca5 设矩阵 及 均可逆， ，则 ；E1)(EG1G1A6 分块矩阵 的逆矩阵为 ；OA7 设 矩阵。若齐次线性方程组 的解空间是 2 维的，则齐次线性方5是Ax程组 的解空间是 3 维的；xT8 与向量 ， 均正交的一个单位向量为 T),(10T),(1 (1,0)2T；9 已知矩阵 ， ，则当数 满足条
2、件 k1 kM342TAk时， 是正定的；A10 若实对称矩阵 有两个不同的特征值, 且 则当参数 满足条OEA232件 k-1/2 时，矩阵 是正定的。E二（12%）求矩阵方程 的解，其中，BX21230013A,三（12%）设 3 阶方阵 有特征值 ， 是其相应于特和二 重 )( 021,征值 的特征向量， 是其相应于特征值 的特征向量。11031. 求 。9A及2. 若 3 阶实对称矩阵 的特征值也是 ，证明： 与 必定相似。B1和二 重 )(AB四（12%）设线性方程组 13232431 xpxq504321 )(1 问：当参数 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？qp,
3、2 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式） 。五（12%）矩阵 。2031A1. 求一 ;)(,24BOB且 秩使 得矩 阵2. 问：是否存在秩大于 2 的矩阵 使得 ？为什么？CA六（12%）设实对称矩阵 .相 似与 424031k1. 求参数 ；的 值k2. 求一正交矩阵 .,BAQT使 得七（7%）证明题：1 设 是矩阵 的两个互异的特征值， 是 的属于 的线性无关的2, 21,A1特征向量， 是 的属于 的特征向量。证明： 线性无关。323,证明：若 线性相关，则 可由 唯一的线性表示，设21,321,3k1212123,Ak若 ，则 ，由线性表示唯一可知，2031212k，
4、矛盾。12若 ，则 线性无关，0121,k21，若 ，矛盾；若 ，则 ，矛盾。120k12101230,k2 已知 阶方阵 相似于对角阵，并且，矩阵 的特征向量均是矩阵 的特征向nAAB量（注： ， 的特征值未必相同） 。证明 BB试 卷 二一（24%）填空题：1 假设矩阵 ，则 。102A102nnA2 假设向量组 A： ，则当参数 满足条件 t= -1 时，向量,1ttt组 A 的秩为 1； t=2 时 A 的秩为 2； 时 A 的秩为 3。1,2t3 若向量 是矩阵 的特征向量，则 。b0a,ab4 设矩阵 ， ，且 ，则参数 满足1aA1B2()AB,ab条件 a=b 。5 若矩阵 与
5、对角阵 相似，则 满足条件 x=3 。3041x解：A 与对角阵 相似，则 A 有 3 个线性无关的特征向量。由221330403411rIxxr2040,4A当 时，有 。1031.3,31rIIAx6. 若 是正交矩阵，则 满足条件 a = d = 0, c = 1. aAbc,abc7. 若对满足条件 的实对称矩阵 ， 都是正定矩阵，则实数234AEOAE必定满足条件 a 1.a二 （8%）求矩阵 的行列式 的值。(1xAdet)A)2det()1x三 （15%）已知矩阵 ，向量 。12Ap31,bq1 若 是线性方程组 的解，试求 的值，并求这时 的通解；xb,Axb2 若 有无穷多组
6、解，但 不是 的解，求 的值。Axbxb,p解：1. 若 是线性方程组 的解，则 ， 。Ax25q此时， 1110203的通解为Axb1,kkR33,20611ppqq若 有无穷多组解，但 不是 的解，则AxbAxb2,rAp2314,2pp3q四 （15%）解矩阵方程 。其中 ，2XAB3012A。102B五（15%）设二次型 22123131(,)fxxx1 写出二次型 的矩阵；2 求正交变换 将 化成标准形，并写出相应的标准形。XQYf六 （12%）设 3 阶矩阵 的特征值是 （二重）和 ，且 ，A2410T是 的相应于特征值 2 的特征向量， 是 的相应01T A于特征值是 4 的特征
7、向量。求矩阵 及 。()nAE1 1 1,2,2,nAPEPP 七 （5%）已知矩阵 ， 。问：当参数 满足什么条件时，2Ax3By,xy矩阵方程 有解，但 无解？XBY4,1/3xy八（6%）证明题：1 已知向量组 可以由 线性表示。若向量组 的秩为 2，证123,12,123,明： 线性无关。,所以 线性无关。1231212,rrr12,2 设 2 阶方阵 ，且 ， 。若 不全为零，证明：abAcdadbc,不与任何对角阵相似。 2101,abAEcd若 不全为零，则,b , 20abAErAErcd所以 A 没有两个线性无关的特征向量， 不与任何对角阵相似。试 卷 三一 （27%）填空题
8、1 若矩阵 , ，且 ，则 的值分别为 ；45aAb203BAB,ab0ab2 设对任意列向量 ， ，则矩阵 ；Xc3456cA1234563 设阶方阵 ， 。若 的行列式 123A231312B，则矩阵 的行列式 -6 ；B4 设 为 阶可逆方阵， 阶矩阵 的逆矩阵为 ；n2nEAO1EOA5 齐次线性方程组 的一个基础解系为 12330x123,01；6 若二次型 是正定的，则参数 的取值2212313123(,)fxxxtt范围是 ；t7 若 是正交矩阵, 则参数 的值分别为 ；2abAc,abc1,0abc8 假设阶矩阵 的特征值为 。则行列式 的值为 -10 ；2,11A9 若实二次
9、型 的矩阵分别为 ，则 的正惯性指,fg02aBb、 ,fg数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数 满足 。,0,ab二（14%）假设 阶矩阵 满足 。nA23EO1 证明矩阵 及 均可逆，并分别求 及 ；E1A1()2 证明：若 ，矩阵 肯定不可逆。三（14%）假设矩阵 ， 。已知线性方程组 有无穷多1A12bAxb组解。试求参数 的值，并求方程组的通解（要求用 的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示） 。四（15%）已知矩阵 相似于对角阵。0341Aa1 求参数 的值，并求 的特征值及相应的特征向量；a2 求一可逆矩阵 ，使得 为对角阵，并写出相应的对角阵；P13 问：是否存在
10、正交矩阵 ，使得 为对角阵？试说明你的理由。Q1A解： 22340103414IAa1,4当= 1 时，解 ，并且由 A 相似于对角阵知Ix321,rIA，所以 a=3. 取 ，所以对应于= 1 的3014IAa1234,01特征向量为 。21,0kk当= 4 时，解 ，Ix，34310105015IA 取 ，所以对应于= 4 的特征向量为 。3 3,0k(2) 110,1,.4PstPA(3) 不存在正交矩阵 ，使得 为对角阵。因为 A 不是实对称的，所以不同特征Q1值对应的特征向量只是线性无关的，而不是正交的。五（12%）已知矩阵 ，矩阵 ， 求矩阵021A120B203D，使得 。XDX
11、六（12%）假设 3 维向量 ； 。已知120,1ab231,c向量组 与向量组 等价。12,123,1 求 的秩及其一个最大线性无关组，并求参数 的值；3 ,abc2 令矩阵 ，求满足 的矩阵 。12123,ABAXB解：已知向量组 与向量组 等价。所以12312,rr213100,21rBAcabcab 10c,线性无关，所以 为 的一个极大无关组。2,12123,31 3201101,00r rAB 12X七（6%）假设 阶矩阵 满足 。nA21 证明：关于矩阵的秩有等式 ，并且 相似于对角阵；()(REAnA2 若 ，试求行列式 的值。()Rr试 卷 四一（30%）填空题1. 设 ,
12、则 ；10A1(2)AE102. 若矩阵 满足 ，则 的逆矩阵 ；2O1()AE3. 若向量组 的秩为 2，则参数 满足123,1,tttt条件 t= -2 ；4. 假设 3 阶矩阵 的特征值为 ，矩阵 ，其中， 是 的伴随矩A, *2B*A阵，则 的行列式 -165 ；B, , 的特征值为 ，即-11，-5，-126*1*EA1i3。5. 相似于对角阵的充要条件是 满足条件 ；0Axxx6. 若 与 相似，则 ； 12303By,1,y7. 设 是 3 阶实对称矩阵 的相应于某个非零二重特征值的特征(,0),()TTA向量。若 不可逆，则 的另一个特征值为 0 ，相应的一个特征向量为 A；,
13、18. 3 元非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 2, 已知 是它的 3 个解xb123,向量,其中 ,则该方程组的通解是 ；123(,)(46)TT的基础解系有 1 个解向量。且 ，2r2A所以 的基础解系为 ，则该方程组的通解是Ax0,0,4,TTk9. 若 4 阶矩阵 的秩都等于 1，则矩阵 的行列式 0 。BB二（10%）计算下述行列式 的值。 ( )+11xD4x三 （15%）设线性方程组 。问：当参数 取何值时, 线性方123014x程组有唯一解？ ( )四 当参数 取何值时，线性方程组有无穷多组解？ ( ), 1,当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示） 。13/
14、70xk五 （12%）假设矩阵 ，矩阵 满足 ，其中 是1AB*12AB*A的伴随矩阵，求 。AB六 （10%）已知向量组 线性无关，问：参数 满足什么条件时，向量组123,abc线性相关？123,abc解：设 为列向量组，123123101,aABabcCbc则 。B 的列向量组线性相关C301rBa七（15%）已知二次型，2212313123(,)4fxxx1. 写出二次型 的矩阵； 2. 求一正交变换 ，将 变成其标准形； Qyf3. 求当 时 的最大值。T123(,)f八（8%）证明题：1. 设向量组 中， 线性相关， 线性无关，证明：1234,123,234,能由 线性表示。12. 设 是 阶正定矩阵,证明：矩阵 也是正定矩阵。An1AE是 阶正定矩阵,则 的所有特征值 。并且 A 可逆，所以 为0i1ii的特征值，当 时， ，所以 的所有特征值1Ei 12ii1，所以矩阵 也是正定矩阵。0ii1AE
