1、第十六章 动量守恒定律一、冲量和动量（一）知识要点1.动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量： p=mv动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2.冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量： I=Ft冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同） 。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。高中阶段只要求会用 I=Ft 计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间
2、内可能不作功，但一定有冲量。（二）例题分析例 1：质量为 m 的小球由高为 H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？解：力的作用时间都是 ，力的大小依次ggt2sin1i2是 mg、 mgcos 和 mgsin ，所以它们的冲量依次是：HmIIgING,ta,sin2合特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。例 2：一个质量是 0.2kg 的钢球，以 2m/s 的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以 2m/s 的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？解：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度 v=2
3、m/s，碰撞前钢球的动量为P=mv=0.22kgm/s=0.4kgm/s。碰撞后钢球的速度为 v =0.2m/s，碰撞后钢球的动量为p=m v =-0.22kgm/s=-0.4kgm/s。p= p-P =-0.4kgm/s-0.4kgm/s=-0.8kgm/s，且动量变化的方向向左。mHv vvv45 45例 3：一个质量是 0.2kg 的钢球，以 2m/s 的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是 45，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是 45，速度大小仍为 2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？解：碰撞前后钢球不在同一直线运动，据平行四边形定则，以 p和 P 为邻边做平行四边形，则
4、p 就等于对解线的长度，对角线的指向就表示的方向： smkgpp/24.0.)(22方向竖直向上。动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则：在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量的变化就可以简化为代数运算了。例 4（12 分）如图所示，在光滑、固定的水平杆上套着一个光滑的滑环 ，滑环下通过一根不可伸长的轻绳悬吊一重物 M，轻绳长为 L，将滑环固定在水平杆上，给 M 一个水平冲量作用，使 M 摆动，且恰好刚碰到水平杆。问（1）M 在摆动过程中，滑环对水平杆的压力的最大值是多少？（2）若滑环 不固定，仍给 M 以同样大小的冲量作用，则 M 摆起的最大高度为多少？解：（1）机械能守恒 （2
5、分）M 通过最低点 T 最大 （2 分）45 45 -pp p （1 分） 再对滑环受力分析 （2 分）（2）不固定机械能仍守恒 初速度： （2 分）水平动量守恒 （2 分） （1 分）二、动量定理（一）知识要点1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既 I=p动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和） 。动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。现代物理学把力定义为物体动量的变化率： （牛顿第二定律的动量形式） 。tPF动 量 定 理 的 表 达 式
6、是 矢 量 式 。 在 一 维 的 情 况 下 ， 各 个 矢 量 必 须 以 同 一 个 规 定 的 方 向为 正 。2.利用动量定理定性地解释一些现象3.利用动量定理进行定量计算利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行：明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选
7、定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和） 。根据动量定理列式求解。（二）例题分析例 1：以初速度 v0平抛出一个质量为 m 的物体，抛出后 t 秒内物体的动量变化是多少？解：因为合外力就是重力，所以 p=Ft=mgt有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量
8、差要方便得多。当合外力为恒力时往往用 Ft 来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用 p 来求。例 2：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据 Ft=p ，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。 （再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑
9、料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。 ）例 3：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。例 4：质量为 m 的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间 t1到达沙坑表面，又经过时间 t
10、2停在沙坑里。求：沙对小球的平均阻力 F；小球在沙坑里下落过程所受的总冲量 I。解：设刚开始下落的位置为 A，刚好接触沙的位置为 B，在沙中到达的最低点为 C。在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为 t1+t2，而阻力作用时间仅为 t2，以竖直向下为正方向，有：mg(t1+t2)-Ft2=0, 解得： 2tmgF仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在 t1时间内只有重力的冲量，在 t2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内） ，以竖直向下为正方向，有：mgt1-I=0, I=mgt1这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自
11、由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当 t1 t2时， Fmg。例 5：质量为 M 的汽车带着质量为 m 的拖车在平直公路上以加速度 a 匀加速前进，当速度为 v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为 ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为 v0/g ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定amM理可得：FABCm Mv0 v/000, vMgamvmMvgamM这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩
12、擦力，因此合外力大小不再是 。例 6：质量为 m=1kg 的小球由高 h1=0.45m 处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度为 h2=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为 t =0.6s，取 g=10m/s2。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小 F。解：以小球为研究对象，从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时 t1=0.3s 和t2=0.2s，因此与地面作用的时间必为 t3=0.1s。由动量定理得： mgt-Ft3=0 ， F=60N例 7、如图所示，质量为 2kg 的小车 静止在光滑水平面上 ， 的右端停放有一
13、个质量为 0.4kg、带正电荷 0.8C 的小物体 。 整个空间存在着垂直于纸面向里、磁感应强度 0.5的匀强磁场，现从小车的左端，给小车 A 一个水平向右的瞬时冲量I=26Ns，使小车获得一个水平向右的初速度，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求 （1）瞬时冲量使小车获得的动能（2）物体 的最大速度?（3）在 A 与 B 相互作用过程中系统增加的内能?（ 10m/s2）解析：（1）瞬时冲量和碰撞是一样的，由于作用时间极短，可以忽略较小的外力的影响，而且认为，冲量结束后物体的速度仍为零冲量是物体动量变化的原因，根据动量定理即可求的小车获得的速度，进而求出小车的动能 Mv, v=I/M=
14、13m/s, E=Mv2/2=169J(2)要想得知物体的速度何时最大，就要对瞬时冲量结束后 、 物体相互作用的过程做一个较具体的分析。小车 获得水平向右的初速度后，由于 、 之间的摩擦，向右减速运动， 向左加速运动，同时由于罗伦兹力的影响 、 之间的摩擦也发生变化，设 A、 刚分离时速度为 vBqvBB 即 vB 10/ 若 A 、 能相对静止，设共同速度为 ，由 v0（ m） =10.8m/s,因 vB 说明 、 在没有达到共同速度前就分离了所以， 的最大速度为 vB10/这一步的要害就是对两个临界状态进行分析和比较，最后确定 的最大速度。假如题中条件 20Ns,将得出 vB ，就说明 、
15、 在没有分离前就达到了共同速度则共同速度 就是 的最大速度，因为， 、 在达到共同速度后速度不再发生变化，也就不会再分离。做过这个题目后，对本题的分析和反思时应该想到这一步。(3) 由于罗伦兹力的影响 、 B 之间的摩擦力逐渐减少，因此无法用 fs 相对求摩擦产生的热量，只能根据机械能的减少等于内能的增加来求解。由于 物体在达到最大速度时，两个物体已经分离，就要根据动量守恒定律求这时 的速度，设当物体 的速度最大时物体 A 的速度为 vA 、 系统动量守： v vA vB vA(Mv 0mvB)/M=11/ v /2 vA/2 vB/2 28J例 8、设小车一辆玩具小车的质量为 3.0kg，沿
16、光滑的水平面以 2.0m/s 的速度向正东方向运动，要使小车的运动方向改变，可用速度为 2.4m/s 的水流由西向东射到小车的竖直挡板CD 上，然后流入车中求：要改变小车的运动方向，射到小车里的水的质量至少是多少？解：设射入小车中的水的质量分别为 M 和 m，对于小车和射入的水组成的系统，水平方向动量守恒，以向东为正方向，有 随着射入小车中水的质量增加，车与车中的水的速度 V 要减小，直到速度 V=0，射入小车的水质量再增加，V0，小车（包括车中的水）的速度方向变为向西。因此对应 V=0时的水的质量即为所求。m=2.5kg。三、动量守恒定律（一）知识要点1.动量守恒定律：一个系统不受外力或者受
17、外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。即： 2121vmvm2.动量守恒定律成立的条件系统不受外力或者所受外力之和为零；系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。3.动量守恒定律的表达形式除了 ，即 p1+p2=p1/+p2/外，还有：2121vmvmp 1+p 2=0， p 1= -p 2 和 14.动量守恒定律的重要意义从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。 ）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们
18、尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终。例如静止的原子核发生 衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。为解释这一反常现象，1930 年泡利提出了中微子假说。由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到 1956 年人们才首次证明了中微子的存在。 （2000 年高考综合题 23 就是根据这一历史事实设计的） 。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的。这时物理学家把动量的概念推广到了电磁
19、场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。（二）例题分析例 1：质量为 m=0.10kg 的小钢球以 Vo=10m/s 的水平速度抛出，下落 h=5.0m 时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平地面的夹角 =_.刚要撞击时小球的动量的大小为_（g=10m/s2)解：小钢球作平抛运动，撞击钢板时的竖直分速度 Vy= =10m/s.而水平方向作的是匀速运动，所以 Vx=Vo=10m/s.而 tgn=Vo/Vy=1，所以 =450，另外钢球的末速度为：Vt= m/s，于是刚要撞击时小球的动量大小等于：P=mVt= kgm/s例 2.质量为 m 的钢球自高处下落，以速度 V1 碰地，竖直向
20、上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为 V2，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为（ ）A.向下，m(V1-V2) B.向下，m（V1+V2）C.向上，m(V1-V2) D.向上，m(V1+V2)分析：将钢球作研究对象，钢球在碰地过程中的受力如图中的动画所示，图中 mg 为钢球受到的重力、N 是受到地面对它的弹力，由于弹力和重力对钢球的冲量使钢球的动量发生改变.图中钢球的碰地速度 V1，弹起速度为 V2，我们假设垂直地面向上为正，对钢球运用动理定理得：Nt-mgt=mV2-(-mV1)=mV2+mV1，由于碰撞时间极短，t 趋近于零，故 mgt 也趋于零可忽略不计，于是 Nt=m(V2+V
21、1),即弹力的冲量方向向上，大小等于 m(V1+V2),故答案选 D例题 3: 质量为 M 的小船以速度 Vo 行驶，船上有两个质量皆为 m 的小孩 a 和 b，分别静止站在船头和船尾.现小孩 a 沿水平方向以速率 V（相对于静水面）向前跃入水中，然后小孩 b 沿水平方向以同一速率（相对于静水面）向后跃入水中，求小孩 b 跃出后小船的速度。本题是由三个物体组成的物体系，和两个物体过程的动量守恒定律的应用问题，选择合理的研究对象和研究过程可使解题方便简捷.解答：选小孩 a、b 和船为一系统，在两小孩先后跳入水的整个过程中可忽略水的阻力.系统水平方向上动量守恒.设小孩 b 跃出后船向前行驶的速度为
22、 Vx，选 Vx 方向为正方向根据动量守恒定律有；（M+2m)Vo=MVx+mV-mV 整理得：Vx=（1+2m/M)Vo例题 4:一列火车在水平直轨道上做匀速运动，总质量为 M，速度为 V，某时刻火车后部有质量为 m 的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一段距离，这期间车牵引力保持不变，并且火车各部所受的阻力跟运动速度无关，当司机发现时，后面脱钩的车厢的速度已减为 V/3，求此时刻火车车厢前面部分的速度多大？ 解答：火车原在铁轨上匀速运动，故所受合外力等于零，一节车厢脱钩后，牵引力和阻力均不变，火车系统合外力等于零，动量守恒.当脱钩车厢速度为 V/3 时，设前面部分的速度为 V，根据动量守恒定律有：MV=（M-m)V+mV/3解得：例 5.(20 分) 用轻弹簧相连的质量均为 2 kg 的 A、B 两物块都以 v=6 ms 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量 4 kg 的物块 C 静止在前方，如图所示.B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动.在以后的运动中.求：(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体 A 的速度多大?(2)弹性势能的最大是多大 ?(3)A 的速度有可能向左吗 ?为什么?
