1、 第二讲 不等式的证明及著名不等式 1 基本不等式 (1)定理 ： 如果 a， b R， 那么 a2 b2 2ab， 当且仅当 a b 时 ， 等号成立 (2)定理 (基本不等式 )： 如果 a， b0， 那么 a b2 _ ab， 当且仅当 _时 ， 等号成立 也可以表述为 ： 两个 _的算术平均 _它们的几何平均 (3)利用基本 不等式求最值 ： 对两个正实数 x， y， 如果它们的和 S 是定值 ， 则当且仅当 _时 ， 它们的积 P 取得最 _值 ； 如果它们的积 P 是定值 ， 则当且仅当 _时 ， 它们的和 S 取得最 _值 2 三个正数的算术 几何平均不等式 (1)定理 如果 a
2、， b， c 均为正数 ， 那么 a b c3 _3 abc， 当且仅当 _时 ， 等号成立 即三个正数的算术平均 _它们的几何平均 (2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1， a2， ， an， 它们的算术平均 _它们的几何平均 ， 即 a1 a2 ann_n a1a2 an， 当且仅当 _时 ， 等号成立 3 柯西不等式 (1)设 a， b， c， d 均为实数 ， 则 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2， 当且仅当 ad bc 时等号成立 (2)设 a1， a2， a3， ， an， b1， b2， b3， ， bn是实数 ， 则 (a21 a22 a2n)(b21 b
3、22 b2n) (a1b1 a2b2 anbn)2， 当且仅当 bi 0(i 1,2， ， n)或存在一个数 k， 使得 ai kbi(i 1,2， ，n)时 ， 等号成立 (3)柯西不等式的向量形式 ： 设 ， 是两个向量 ， 则 | |， 当且仅当 是零向量 ， 或存在实数 k， 使 k 时 ， 等号成立 4 证明不等式的方法 (1)比较法 求差比较法 知道 ab a b0， ab， 只要证明 _即可 ， 这种方法称 为求差比较法 求商比较法 由 ab0 ab1 且 a0， b0， 因此当 a0， b0 时要证明 ab， 只要证明 _即可 ， 这种方法称为求商比较法 (2)分析法 从待证不
4、等式出发 ， 逐步寻求使它成立的 _， 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 (已知条件 、 定理等 ) 这种证法称为分析法 ， 即 “ 执果索因 ” 的证明方法 (3)综合法 从已知条件出发 ， 利用不等式的有关性质或定理 ， 经过推理论证 ， 推导出所要证明的不等式成立 ， 即 “ 由因寻果 ” 的方法 ， 这种证明不等式的方法称为综合法 (4)反证法的证明步骤 第一步 ： 作出与所证不等式 _的假设 ； 第二步 ： 从条件和假设出发 ， 应用正确的推理方法 ， 推出矛盾的结论 ， 否定假设 ， 从而证明原不等式成立 (5)放缩法 所谓放缩法 ， 即要把所证不等式的一边适当地 _， 以
5、利于化简 ， 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 ， 从而得到欲证不等式成立 (6)数学归纳法 设 Pn是一个与自然数相关的命题集合 ， 如果 ： (1)证明起始命题 P1(或 P0)成立 ； (2)在假设Pk成立的前提下 ， 推出 Pk 1也成立 ， 那么可以断定 Pn对一切自然 数成立 1 已知 a 1b2， 则 a， b 的大小关系为 _ 2 已知 a、 b、 m 均为正数 ， 且 a0， b0， 则 P lg(1 ab)， Q 12lg(1 a) lg(1 b)的大小关系为 _ 5 设 a、 b、 c 是正实数 ， 且 a b c 9， 则 2a 2b 2c的最小值为 _. 题型
6、一 柯西不等式的应用 例 1 已知 3x2 2y2 6， 求证 ： 2x y 11 . 思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式 (a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，当且仅当 ad bc时等号成立 若 3x 4y 2， 则 x2 y2的最小值为 _ 题型二 用综合法或分析法证明不等式 例 2 已知 a， b， c (0， )， 且 a b c 1， 求证 ： (1)(1a 1)(1b 1)(1c 1) 8； (2) a b c 3. 思维升华 用综合法证明不等式是 “ 由因导果 ” ，分析法证明不等式是 “ 执果索因
7、 ” ，它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 设 a， b， c0， 且 ab bc ca 1. 求证 ： (1)a b c 3； (2) abc bac cab 3( a b c) 题型三 放缩法或数学归纳法 例 3 若 n N*， Sn 1 2 2 3 nn 1， 求证 ： nn 12 1kk 1， 1k2k k 1.上面不等式中 k N*， k1. 求证 ： 32 1n 1|b|； a b
8、2； a2b 0， y0， M x y2 x y， N x2 x y2 y， 则 M、 N 的大小关系为 _ 6 若 a， b R ， 且 a b， M ab ba， N a b， 则 M、 N 的大小关系为 _ 7 若 a， b， c (0， )， 且 a b c 1， 则 a b c的最大值为 _ 8 已知 a， b， c 为正实数 ， 且 a 2b 3c 9， 则 3a 2b c的最大值为 _ 9 (2013天津 )设 a b 2， b0， 则当 a _时 ， 12|a| |a|b取得最小值 10 设 a0， b0， 则以下不等式 ab 2aba b， a|a b| b； a2 b24a
9、b 3b2； ab 2ab2中恒成立的序号是 _ B组 专项能力提升 1 已知 x0， y0， 且 1x 9y 1， 则 x y 的最小值为 _ 2 函数 y x2(1 3x)在 0， 13 上的最大值是 _ 3 (2013陕西 )已知 a， b， m， n 均为正数 ， 且 a b 1， mn 2， 则 (am bn)(bm an)的最小值为 _ 4 已知 a， b 为实数 ， 且 a0， b0. 则 a b 1a a2 1b 1a2 的最小值为 _ 5 P xx 1 yy 1 zz 1(x0， y0， z0)与 3 的大小关系是 _ 6 已知 x2 2y2 3z2 1817， 则 3x 2
10、y z的最小值为 _ 7 设 a， b， c 都是正数 ， 那么三个数 a 1b， b 1c， c 1a_.(填序号 ) 都不大于 2； 都不小于 2； 至少有一个大于 2； 至少有一个不小于 2. 答案 基础知识 自主学习 要点梳理 1 (2) a b 正数 不小于 (即大于或等于 ) (3) x y 大 x y 小 2 (1) a b c 不小于 (2)不小于 a1 a2 an 4 (1) a b0 ab1 (2)充分条件 (4)相反 (5)放大或缩小 夯基释疑 1 ab 2 Mbc 解析 分子有理化得 a 13 2， b 16 5， c 17 6 abc. 4 P Q 解析 12lg(1
11、 a) lg(1 b) lg 1 a1 b. (1 a)(1 b) 1 (a b) ab 1 2 ab ab (1 ab)2， 1 a1 b 1 ab， lg(1 ab) lg 1 a1 b 12lg(1 a) lg(1 b)， 即 lg(1 ab) 12lg(1 a) lg(1 b) P Q. 5 2 解析 (a b c) 2a 2b 2c ( a)2 ( b)2 ( c)2( 2a)2 ( 2b)2 ( 2c)2 a 2a b 2b c 2c 2 18. 2a 2b 2c 2. 2a 2b 2c的最小值为 2. 题型分类深度剖析 例 1 证明 由于 2x y 23( 3x) 12( 2y)
12、， 由柯西不等式 (a1b1 a2b2)2 (a21 a22)(b21 b22)得 (2x y)2 ( 23)2 ( 12)2(3x2 2y2) (43 12) 6 116 6 11， |2x y| 11 ， 2x y 11 . 跟踪训练 1 425 解析 由柯西不等式 (32 42)(x2 y2) (3x 4y)2， 得 25(x2 y2) 4，所以 x2 y2 425. 不等式 中当且仅当 x3 y4时等号成立， x2 y2 取得最小值，由方程组 3x 4y 2，x3y4，解得 x 625，y 825.因此当 x 625， y 825时， x2 y2取得最小值，最小值为 425. 例 2
13、证明 (1) a， b， c (0， )， a b 2 ab， b c 2 bc， c a 2 ca， (1a 1)(1b 1)(1c 1) b ca ca babc 2 bc2 ac2 ababc 8. (2) a， b， c (0， )， a b 2 ab， b c 2 bc， c a 2 ca， 2(a b c) 2 ab 2 bc 2 ca， 两边同加 a b c 得 3(a b c) a b c 2 ab 2 bc 2 ca ( a b c)2. 又 a b c 1， ( a b c)2 3， a b c 3. 跟踪训练 2 证明 (1)要证 a b c 3， 由于 a， b， c0
14、，因此只需证明 (a b c)2 3. 即证： a2 b2 c2 2(ab bc ca) 3，而 ab bc ca 1， 故需证明： a2 b2 c2 2(ab bc ca) 3(ab bc ca) 即证： a2 b2 c2 ab bc ca. 而这可以由 ab bc ca a2 b22 b2 c22 c2 a22 a2 b2 c2 (当且仅当 a b c时等号成立 )证得 原不等式成立 (2) abc bac cab a b cabc. 在 (1)中已证 a b c 3. 因此要证原不等式成立，只需证明 1abc a b c.即证 a bc b ac c ab 1， 即证 a bc b ac
15、 c ab ab bc ca. 而 a bc abac ab ac2 ， b ac ab bc2 ， c ab bc ac2 . a bc b ac c ab ab bcca (a b c 33 时等号成立 ) 原不等式成立 例 3 证明 n(n 1)n2， Sn1 2 n nn 12 . 又 nn 1k2k(k 1)， k 2， 1kk 1a2， a0， b0 得 ba. 又 c b 11 x (1 x) 1 1 x21 x x21 x0 得 cb，知 c 最大 4 4 解析 (1 1x)(1 1y) (1 1xy)2 4. 5 M x2 x y y2 x y x y2 x y M. 6 MN 解析 a b， ab b2 a， ba a2 b， ab b ba a2 a 2 b， ab ba a b.即 MN. 7. 3 解析 ( a b c)2 (1 a 1 b 1 c)2 (12 12 12)(a b c) 3. 当且仅当 a b c 13时，等号成立 ( a b c)2 3.故 a b c的最大值为 3. 8. 39 解析 3a 2b c 3 a 2b 133c
