1、 第 - 1 - 页 共 10 页 福安一中 2015-2016 学年上高三 半期考 数学（理科）试卷 一、 选择题 ：（本大题 共 12 小题 ， 每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 ） 1若集合 2 6 0 ,A x x x x N ，则 4 ,x N x Ax 中元素的个数（ ） A 3 个 B 4 个 C 1 个 D 2 个 2、 已知复数 1iz ，则21zz( ) A. 12 B. 12 C. 1i2D. 1i2 3、 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人 做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2， 960，分组后在第
2、一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9。 抽到的 32人中，编号落入区间 1,450 的人做问卷 A ，其余的人做 问卷 B 。 则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 ( ) A. 15 B. 16 C. 17 D.18 4、 已知直线 0 cbyax 与圆 22:1O x y相交于 A 、 B 两点，且 3AB ， 则 OBOA 的值是 （ ） A. 0 B 12 C 34 D 125、 执行右图的程序框图，若输出的 5n ，则输入整数 p 的最大值是（ ） A 15 B 14 C 7 D 6 正视图 左视图 俯视图 第 - 2 - 页 共 10 页 6、 一个几何体的三视图如图所示，其中
3、主视图和左视图 是腰长为 2 的两个全等的等腰 直 角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是 ( ) A 323 B 43 C 48 D 12 7、 已知等比数列 na 的首项 1 2015a ，公比为 12q ，记 1 2 3nnb a a a a ，则 nb 达到最大值时， n 的值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 8、 设 ,mn是两条不同直线， ,是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A / / , / / / / , / /m n m n 且 则 B ,mn 且 ，则 mn C ,m n m n ，则 D , , / / , / /m n m
4、 n ，则 / 9、 若将函数 5()f x x 表示为 250 1 2 5( ) (1 ) (1 ) (1 )f x a a x a x a x ，其中 0a 、 1a 、2a 、 、 5a 为实数，则 3a （ ） A 5 B 5 C 10 D 10 10、 已知 1F 、 2F 是双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy abab 的左、右 焦点，点 2F 关于渐近线的对称点恰好落在以 1F 为圆心， 1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 B 3 C 2 D 2 11、 已知函数2 2 1 , ( 2 0)()3 , ( 0)ax x xfx ax x 有 3 个
5、零点，则实数 a的取值范围 是（ ） A 3( ,1)4 B 1( ,1)4 C (0,1) D ( ,1) 12、 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 121aa， 2nnnS n a 为等差数列，则 na（ ） A12nnB1121nnC 2121nnD112nn第 卷 二填空题： （ 本大题共 4小题，每小题 5分 ，共 20分 。 ） 13、 已知向量 ( , 1)a ， ( 2, 1)b ，若 a b a b ，则实数 的值为 14、 设等差数列na的前 项和为 nS，且满足 2nna S An Bn C ，若 5A ， 1C ，则 B _ 第 - 3 - 页 共 10 页
6、15、 已知 ( , )2 ，若 3sin cos3，则 cos2 16、 已知函数 ( ) 1 1 2 , ( ) lnf x x g x x-，对于任意 12m ，都存在 (0,+ )n，使得( ) ( )f m g n ，则 nm 的最小值为 三 .解答题： （本大题共 6 小题，共 70分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 17、 （本小题满分 12分） 如图所示，在四边形 ABCD 中， E 为 AD 边上一点， AB DA ， 7CE ， 23ADC ； 1DE ， 2EA ， 3BEC . （） 求 sin CED 的值； （） 求 BE 的长 18、 （本小题满分
7、 12 分） 已知四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，120BAD ， PA b （ ） 求证：平面 PBD 平面 PAC ； （ ） 设 AC 与 BD 交于点 O ， M 为 OC中点，若二面角 O PM D的正切值为26，求 :ab的值 19、 （本小题满分 12 分） 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 23，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 25，中奖 可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 （ 1） 若小明选择方案甲
8、抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率； （ 2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖， 分别求两种方案下 小明、小红 累计得分的分布列，并指出 他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ D A C B E 第 - 4 - 页 共 10 页 (20)(本小题满分 12分 ) 已知 A 为椭圆 )0(12222 babyax 上的一个动点 ， 弦 AB 、 AC 别过焦点 1F 、 2F ， 当 AC垂直于 x 轴时 ， 恰好有 12|3AFAF . () 求椭圆离心率 ； () 设 1 1 1 2 2 2,A F F B A F F C,试判断
9、21 是否为定值 ?若是定值 ,求出该定值并证 明 ； 若不是定值 ,请说明理由 . （ 21）（本小题满分共 12 分） 已知函数 32( ) 4f x x ax (aR ). 若函数 )(xfy 的图象在点 1, 1Pf 处的切线的倾斜角为 4 ,求 ()fx在 1,1 上的最小值 ； 若存在 ),0(0 x ,使 0)( 0 xf ,求 a 的取值范围 . 请考生在第 22,23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清 楚题号。（本小题满分 10 分） 22. 在直角坐标系中，以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建坐标系 ,已知曲线2: s in 2 c o s
10、 ( 0 )C a a ,已知过点 ( 2, 4)P 的直线 l 的参数方程为： 222242xtyt （ t 为参数）直线 l 与曲线 C 分别 交于 M 、 N 两点 . （ 1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （ 2）若 ,PM MN PN成等比数列 , 求 a 的值 23. 已知函数 ( ) | 2 1 | | 2 3 | .f x x x （ ） 求不等式 6)( xf 的解集； （ ） 若关于 x的不等式 |1|)( axf 的解集非空 ，求实数 a 的取值范围 . 第 - 5 - 页 共 10 页 福安一中 2016 届高三上学期半期考 数学（理科）试卷参考答案 一选择题
11、： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D A D B B C C A A 二 填空题： 13. -1 14. 16 15. 5316. 1 三 、 解答题： 17.解 ：证明：（） 设 CED .在 CED 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 c o sC E C D D E C D D E C D E 2 分 得 CD2 CD 6 0，解得 CD 2(CD 3 舍去 ) 4 分 在 CED 中，由正 弦定理，得 21sin 7CED 6 分 （） 由题设知 0 3（ ， ） ，所以 27cos 7 8 分 ,而 23AEB ， 所以 2 2 2 1
12、 3c o s c o s = c o s c o s s in s in = c o s s in3 3 3 2 2AEB （ ） 1 2 7 3 2 1 72 7 2 7 1 4 . 10 分 ,在 Rt EAB 中， 2 47cosBE AEB . 12 分 18.【解析】 解 ： （ ） 因为 PA 平面 ABCD，所以 PA BD 1 分 又 ABCD 为菱形，所以 AC BD， 2 分 ,又 PA AC C ， 3 分 ,所以 BD 平面 PAC4 分 , 又 BD 平面 PBD， 5 分 ,从而平面 PBD 平面 PAC 6 分 （ ） 方法 1 过 O 作 OH PM 交 PM
13、 于 H，连 HD 因为 DO 平面 PAC，可以推出 DH PM,所以 OHD 为 O-PM-D 的平面角 8 分 又 33,2 4 4aaO D a O M A M ，且 OH APOM PM 10分 从而2 22 24 1916 69abOHb aaabb 11第 - 6 - 页 共 10 页 分 , 223 (1 6 9 )ta n 2 62baODOHD O H b 所以 229 16ab ，即 43ab 12 分 MODACBPH法二：如图 ,以 A 为原点 , ,ADAP 所在直线为 y 轴 ,z 轴建立空间直角坐标系(0,0, ), (0, ,0)P b D a, 3 3 3(
14、 , ,0)88M a a , 31( , ,0)44O a a 8 分 从而 3 3 3( 0 , , ) , ( , , )88P D a b P M a a b 33( , , 0)44OD a a 9 分 因为 BD 平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 33( , , 0)44OD a a 10 分 设平面 PMD 的法向量为 ( , , )n x y z ,由 ,PD n PM n得3 3 30 , 088P D n a y b z P M n a x a y b z 取 5 ,33x b y b z a ， 即 5( , , )33n b b a 11 分 ,设 OD
15、与 n 的夹角为 ，则二面角 O PM D大小与 相等 从而 tan 26 ，得 cos 15 ,225311 2 4c o s5| | | | 5 2124 2 7a b a bO D nO D n a ba 从而 43ba ，即 : 4:3ab 12 分 yzxMODACBP第 - 7 - 页 共 10 页 19. 解 ： (1)由已知得，小明中奖的概率为 23，小红中奖的概率为 25，且两人中奖与否互不影响 记 “这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A， 则事件 A 包含有 “X 0”， “X 2”， “X 3”三个两两互斥的事件， 1 分 因为 P(X 0) (1 23)(1 25)
16、 15， 2 分 P(X 2) 23(1 25) 25， 3 分 P(X 3) (1 23)25 215， 4 分 所以 P(A) P(X 0) P(X 2) P(X 3) 1115， 5 分 即这 2 人的累计得分 X3 的概率为 1115. 6分 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1、 X2 的分布列如下： X1 0 2 4 P 19 49 49 7 分 X2 0 3 6 P 925 1225 425 89 分 所以 E(X1) 019 249 449 83， 9 分 ,E(X2) 0925 31225 6425 125 .
17、10 分 因为 E(X1)E(X2)， 11 分 所以他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大 12 分 20. 解： ( )当 AC 垂直于 x轴时 , abAF 22 | , 1分 13| 21 ： AFAF , abAF 21 3| 2分 aab 24 2 , 22 2ba , 22 cb ,故 22e . 4分 第 - 8 - 页 共 10 页 () 由 () 得椭圆的方程为 222 22 byx ,焦点坐标为 )0,(),0,( 21 bFbF . 当弦 AC、 AB的斜率都存在时 ,设 ),(),(),( 221100 yxCyxByxA , 则 AC所在的 直线方程为
18、)(00 bxbx yy , 5 分 代入椭圆方程得 0)(2)23( 20200202 ybybxbyybxb . 6分 0220220 23 bxb ybyy , 7分 CFAF 222 , b xbyy 0202 23 . 8 分 同理 b xb 01 23 , 9 分 621 10分 当 AC 垂直于 x 轴时 ,则21 321, 5bbb ,这时 621 ; 11 分 当 AB垂直于 x轴时 ,则 5,1 21 ,这时 621 . 12 分 综上可知 21 是定值 21. 解 :(1) .23)( 2 axxxf 根据题意 , (1 ) ta n 1 , 3 2 1 , 2 .4f
19、a a 即 2 分 此时 , 32( ) 2 4f x x x ,则 2( ) 3 4f x x x . 令12 4( ) 0 0 , .3f x x x ， 得 3 分 x 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 fx 7 - 0 + 1 fx 1 4 3 5 分 第 - 9 - 页 共 10 页 当 1,1x 时 , fx最小值为 04f 6 分 (2) ).32(3)( axxxf 若 0 , 0 , ( ) 0 , ( ) ( 0 , )a x f x f x 当 时 在上单调递减 . 又 ( 0 ) 4 , 0 , ( ) 4 .f x f x 则 当 时 000 , 0 , ( )
20、0 .a x f x 当 时 不 存 在 使 8 分 若 220 , 0 , ( ) 0 ; , ( ) 0 .33aaa x f x x f x 则 当 时 当 时 从而 )(xf 在 (0,23a）上单调递增 ,在 (23a ,+ ) 上单调递减 . .4274494278)32()(,),0( 333m ax aaaafxfx 时当 10 分 根据题意 , 3 34 4 0 , 2 7 . 3 .27a aa 即 综上 ,a 的取值范围是 (3, ) 12 分 22. 解：（ ）根据极坐标与直角坐标的转化可得， C： sin2=2acos， 即 2sin2=2acos，即 y2=2ax，
21、 .（ 2 分） 直线 L 的参数方程为： ，消去参数 t 得：直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x 2 .（ 5 分） （ ）直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）， 代入 y2=2ax 得到 ， 则有 .（ 8 分） 因为 |MN|2=|PM|PN|，所以 即： 2 （ 4+a） 2 48（ 4+a） =8（ 4+a） 解得 a=1 .（ 10 分） 第 - 10 - 页 共 10 页 23.解： （ ）原不等式等价于 3 1 32 2 2( 2 1 ) ( 2 3 ) 6 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 6xxx x x x 或或12(2 1) (2 3) 6x xx 3 分 解，得 3 1 3 1212 2 2 2x x x 或 或 即不等式的解集为 21| xx 5 分 （ ） 4|)32()12(|32|12| xxxx 8分 4|1| a 35aa 或 。 10 分
