1、第一讲 整数与数列 知识点拨 一、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一 项大(或小)一个常数( 固定不变的数)，这样的数列我们称它为等 差数列 譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二 项起，每一 项比前一项小 5 ，递减数列 首项：一个数列的第一项，通常用 表示1a 末项：一个数列的最后一项，通常用 表示，它也可表示数列的第 项。n n 项数：一个数列全部项的个数，通常用 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用 来表示；d 和 ：一个数列的前 项
2、的和，常用 来表示 nnS 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 通项 公式： 递增数列：末项 首项 (项数 ) 公差，11nad（ ） 递减数列：末项 首项 (项数 ) 公差， （ ） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末 项其实就是首项加上(末项与首 项的) 间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这 样一个有用的公式： ，nmad（ ） nm（ ） 项数公式：项数 (末项 首项) 公差+1 由通项公式可以得到： (若 )； (若 )1na（ ） 1na1nad（ ） 1na 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我 们是
3、常常用到的 譬如：找找下面数列的项数：4、7、 10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、 12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是 3 ，那么每 组有 3 个数，我们数列中的数都在每 组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位，4 到 48 有 项，每组 3 个数，所以共 组，原数列有 15 组 当然还可以有其他的配组方法81453 求和公式：和=( 首项 末项) 项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路 1) 29810 102938501共 50个 1（ ） （ ） （ ） （ ） 50
4、 (思路 2)这道题目，还可以这样 理解： 即，和 498110989732210100和 =+和倍 和 (10)5 (2) 中 项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于 首项与末项和的一半；或者换句话说，各 项和等于中间项乘以 项数 譬如： ，4812364392018 （ ） 题中的等差数列有 9 项，中间 一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于 ；209 ，6551309 （ ） 题中的等差数列有 33 项，中间 一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 3 例题精讲 模块一、等差数列基本概念及公式的应用 【例 1】 小朋友你会用等差数列的求和
5、公式会计算下面各题吗？ 【 计算： 24698103597 （ ；1371023670 0985143210 69 【 计算 _12319090 【 计算 46810346 以质数 71 做分母的最简真分数有 求这列数的和123,.,76970;1 计算： 57890133 【例 2】 把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？ 【 如果一个等差数列的第 4 项为 21，第 6 项为 33，求它的第 8 项. 如果一个等差数列的第 3 项为 16，第 11 项为 72，求它的第 6 项. 【 在等差数列 6，13，20，27，中，从左向右数，第 _个数是 1994 【 已
6、知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项 是多少？ 【例 3】 15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少？ 【 2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是 320，求它们中最 小的一个 【例 4】 编号为 的 9 个盒子里共放有 351 粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的1 糖如果 1 号盒子里放 11 粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？ 【 例题中已知如果改为 3 号盒子里放了 23 粒糖呢？ 【 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000 元工资，以
7、后每月多得 60 元；小高第一 个月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？ 【例 5】 如下图所示的表中有 55 个数，那么它们的和等于多少？ 17392513749561284068027384517329541596 【 下列数阵中有 100 个数，它们的和是多少？ 320114520289 【例 6】 1、4、7、10、13、这个数列中，有 6 个连续数字的和是 159，那么这 6 个数中最小的是 几？ 【 1、3、5、7、9、11、 是个奇数列，如果其中 8 个连续奇数的和是 256，那么这 8 个奇数 中最大的数是多少？ 【 在一次数
8、学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 656，且第一 名的分数超过了 90 分（满分为 100 分） 。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是 多少？ 模块二、等差数列的应用及提高 【例 7】 已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7， ，问 2009 是这个数列的第多少项？ 【 已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、 ，问:这个数列中第 2000 个数是多少？第 2003 个 数是多少？ 【 已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、 ，试问： 15 是这样的数列中的第几个到第几个数？ 这个数列中第 100 个数是几？ 这个数列前
9、 100 个数的和是多少？ 【 有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37， ，问这列数第 1001 个数是多少? 【例 8】 (04 年走进美妙数学花园) 黑板上写有从 1 开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，擦 去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是 2008，那么擦去的奇数是 【 小明住在一条胡同里一天，他算了算这条小胡同的门牌号码他发现，除掉他自己家的不 算，其余各门牌号码之和正好是 100请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？ 小明家的门牌号码是多少？ 【 一辆双层公共汽车有 66 个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三 站上三位乘客
10、，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？ 【 （第十一届“迎春杯” ）小明进行加法珠算练习，用 ，当加到某个数时，和是1234 1000在验算时发现重复加了一个数，这个数是多少？ 【例 9】 （第九届“迎春杯”决赛试题）某工厂 12 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始， 每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人 250 人如果 月底统计总厂工人的工作量是 9455 个工作日（1 人工作 1 天为 1 个工作日） ，且无 1 人缺 勤那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人 【例 10】 （第一届“奥数网杯” ）把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 1 列
11、为 1；第 2 列为 2，3，4；第 3 列为 5，6，7，8，9，每一列比前一列多排两个数，依次排下去， “以 1 开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图则在以 开头的行中，第 2008 个数是多少1526137489 【 将自然数按下图的方式排列，求第 10 行的第一个数字是几？ 1360152259448716 【 自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？ 357911229335744. . 【例 11】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 平方厘米，边长是 1 根火柴棍如果最大的三 角形共有 8 层，问：最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆
12、 成？ 【 (“走进美妙数学花园”试题) 如右图，25 个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个 数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列已知在大等边三角形的三个顶点放置 的数分别是 100，200，300求所有结点上数的总和 【 用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等 边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放 10 根火柴，那么一共要放多少根火柴？ 10根 【例 12】 如图，把边长为 1 的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色如果最底层有 15 个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正
13、方形？ 【 （2008 年第七届“小机灵杯”数学竞赛初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆 成如下图的图形照这样摆下去，到第 行为止一共用了 根火柴棒10 【 （2008 年第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛）如图所示，白色和黑色的三角形 按顺序排列当两种三角形的数量相差 个时，白色三角形有 个12 4 模块三、整数裂项 【例 13】 =_ 1234950 【 _12345678910 【例 14】 123435910 【 计算： 123456789810 【 1!23!208! 【例 15】 =_147104952 【 计算： 1357192 课后作业 练习 1. 已知一个等
14、差数列第 8 项等于 50，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是多少？ 练习 2. 把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那 么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？ 练习 3. 下面方阵中所有数的和是多少？ 1902190341950345621981901978 练习 4. 将自然数按下面的形式排列 12345678901561023245 问：第 10 行最左边的数是几？第 10 行所有数的和是多少？ 练习 5. 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从 1 开始求和，当加到某一个数的时候，和是 1997， 但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？
