1、1 20032008工程与科学计算历届试题类型 1. 直解法 例 1. 用列主元素 消去解下列线性方程组（结果保留 5 位小数）Gaus 0.1.210.3.183067.9.8.79. xx 例 2. 设线性方程组 ,其中 bA 23145 求 ，并分析线性方程组是否病态 ?)(Cond 2.迭代法 例 1. 设线性方程组 为bAx ， 212130 写出求解线性方程组的 Jacobi 迭代格式，并确定当 取何值时 Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组 的 Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中bAx 为 bAx 52286331xx 3.插值 例 1.
2、已知 ,14,0 （1 ）试用二次插值多项式计算 的近似值（数据保留至小数点后第 5 位）5 （2 ）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第 5 位） 例 2. 由下列插值条件x 1 2 4 6 7)(f 4 1 0 1 1 求 4 次 Newton 插值多项式, 并写出插值余项. 4. RungeKutta 格式 例 写出标准 方法解初值问题KutaRnge 的计算格式1)0(,)(si2 yxx 2 5. 代数精度 例 1. 数值求积公式形如 )1()0()1()0()()( 3210 fAffAfxSdxf 试确定其中参数 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度.,4321A 例 2
3、. 验证数值求积公式 20120 3()()()55fxdffAf 是 Gauss 型求积公式. 6 Romberg 方法 例 对积分 ，用 Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过 并将结果102dx 510 填入下表（结果保留至小数点后第五位）. k kT2 kS2 kC2 kR2 0 1 2 3 4 7证明 （1 ）设 为 上关于权函数 的 次正交多项式，以 的零点为节点建立)(x,ba)(xn)(x 插值基函数 ，Lagrne)(xli 证明： babaii nidxld,21,)()(2 证明: 设 n 次正交多项式 的零点为 ，则以这 n 个零点为节点建立的()12,n 插
4、值基函数 是 n-1 次多项式， 是 2n-2 次多项式. 故Lagre,2,ilxn 2()ilx 当 取 和 时 Gauss 型求积公式()fxil2()i 1 ()nbkaxfdAfx 等号成立, 即 1()() nbi kiiall 3 221()()nbi kiiaxldAlx 则有 babaii nidll ,21,2 （2 ）对线性方程组 ，若 是 阶非奇异阵， ， 是 的精确解，Axn0b*xbA 是 的近似解。记xbxbr 证明： Cod * 证明：由于 是 的精确解，则 ，xbAAxb()rAxAx 又 是 阶非奇异阵，则 n1xr ，且 ，则 11xrbxbx 故 *11
5、ArrCondAbx （3 ）初值问题 有解 ，若 ， 是用0)(,yaxy bxaxy21)(nhy Euler 格式解得的 在 处的近似值，证明： .)(n nay21) 证明：记 ，且 ， Euler 格式为nfyxfbyxf ),(, 0(x 则有)(1nnhy 121)nnhffyf nnn nbxahxhba xy 212)1( 2110 )()( . nn ahxyx 2121)( （4 ）设 为非奇异阵，试证：线性方程组 的数值解可用 Seidel 迭代方法求CAA 得. 4 证明：因为 为非奇异矩阵，故 与 是同解方程组，而 正定，则AbAxbAxTAT Seidel 格式收
6、敛，即用 Seidel 方法一定能求得 的解 . （5 ）试导出求解初值问题 bxayf ,)(0 的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题 所得数值解为 1)(0ynnhy2 证明 将 在 上积分, 得),(yxf ,1nx .)()(11nxn dfy 将右端的积分用梯形公式计算其近似值, 并用 分别代替 , 1,ny)(,1nxy 得 ),(),(211 nnnfyfhy 将 代入梯形公式xf),( 得 , 则有 )(121nhnyy )(121nhnyy 得 021hnnn 因为 , 得 .0yn （6 ）设 ，证明hxxhxCf 0102204 , ),(),2)()(1)( 204(
7、102 xfffff 证明： 的二次 Lagrange 插值多项式及余项形式为xf ),(),()(!3 )()()()()( 20210 1202110210 xxxf xxfff 5 其二阶导数为 ),(,)()(!3) )(!425 2)()()(2)() 2021210 2112 102201010 xxxf xffxxfxxfxf 注意到 ，有hxh0102, ),(,0!3)(!4)20!5)( 2()( 2021121 xfhff xxf 即 ),(),12)(2)(1)( 204(102 xfxffxfhxf （7 ）证明求积公式 2053853()(1)(1)99fxdfff 是稳定的. （8 ）设初值问题 中的 区域 D 上关于 满足 Lipschitz 条件，0(,)yfxab fy 证明：格式 是收敛的. 1121(3)4,()nnnhKfxy 倒数第三题，求 A0、A1、A2 参数的那道题，前面积分限是 0 到 1，而后面求积公式 的第一个求积节点居然小于 0！（1/2-根号 3/5） ，在积分限之外。
